Guia rápido para cálculos e regras básicas do logaritmo

1. Logaritmo comum (base 10)

• Escrito como log (x) ou log₁₀ (x)
• Mais frequentemente usado em aplicações científicas
• Exemplo: log (100) = 2 porque 10² = 100

2. Logaritmo natural (Base E)

• Escrito como ln (x) ou logₑ (x)
• Base E ≈ 2,71828 (número de Euler)
• Essencial em modelos de cálculo e crescimento exponencial
• Exemplo: ln (e) = 1 porque e = e

3. Logaritmo binário (base 2)

• Escrito como log₂ (x)
• Comumente usado na ciência da computação
• Exemplo: log₂ (8) = 3 porque 2³ = 8

4. LOGARITHM GERAL (qualquer base)

• Escrito como logₐ (x) onde 'a' é a base
• A base deve ser positiva e não igual a 1
• Exemplo: log₅ (25) = 2 porque 5² = 25

1. Regra do produto

logₐ (x × y) = logₐ (x) + logₐ (y)

Esta regra afirma que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos.

Exemplo: log₂ (8 × 4) = log₂ (8) + log₂ (4) = 3 + 2 = 5

Verificação: log₂ (32) = 5 porque 2⁵ = 32

2. Regra do quociente

logₐ (x ÷ y) = logₐ (x) - logₐ (y)

O logaritmo de um quociente é igual à diferença dos logaritmos.

Exemplo: log₃ (27 ÷ 9) = log₃ (27) - log₃ (9) = 3 - 2 = 1

Verificação: log₃ (3) = 1 porque 3? = 3

3. Regra de energia

logₐ (x^n) = n × logₐ (x)

O logaritmo de uma potência é igual ao expoente vezes o logaritmo da base.

Exemplo: log₂ (8³) = 3 × log₂ (8) = 3 × 3 = 9

Verificação: log₂ (512) = 9 porque 2⁹ = 512

4. Regra de mudança de base

logₐ (x) = logₑ (x) ÷ logₑ (a)

Esta regra permite calcular os logaritmos com qualquer base usando logaritmos naturais.

Exemplo: log₅ (25) = ln (25) ÷ ln (5) = 3,219 ÷ 1.609 = 2

5. Propriedades de identidade

• logₐ (1) = 0 (porque a⁰ = 1 para qualquer base a)
• logₐ (a) = 1 (porque a¹ = a)
• logₐ (a^x) = x (relacionamento inverso)
• a^(logₐ (x)) = x (relacionamento inverso)

Método 1: Usando a definição e matemática mental

Para casos simples em que o resultado é um número inteiro:

Etapa 1: pergunte a si mesmo: "Que poder da base me dá esse número?"

Etapa 2: use seu conhecimento de poderes para encontrar a resposta

Método 2: Usando propriedades do logaritmo

Para cálculos mais complexos, quebre o problema usando as regras do logaritmo:

Método 3: Usando a fórmula de mudança de base

Ao trabalhar com bases incomuns:

Método 4: Método da calculadora

Para resultados decimais precisos:

• Para logaritmos comuns: use o botão "Log"
• Para logaritmos naturais: use o botão "LN"
• Para outras bases: use a fórmula de mudança de base com sua calculadora

Tipo 1: equações logarítmicas básicas

Formulário da equação: logₐ (x) = b

Solução: x = a^b

Tipo 2: equações com propriedades do logaritmo

Formulário da equação: logₐ (x) + logₐ (y) = c

Solução: use a regra do produto para combinar e resolver

Tipo 3: Equações com variáveis ​​em vários lugares

Formulário da equação: logₐ (x) = logₐ (y)

Solução: se as bases forem iguais, então x = y

Erro 1: Aplicação incorreta de propriedades

Errado: log (a + b) = log (a) + log (b)

Correto: log (a × b) = log (a) + log (b)

Lembre -se: os logaritmos convertem multiplicação em adição, não adição à adição.

Erro 2: Esquecendo restrições de domínio

Problema: Tentativa de encontrar log (-5) ou log (0)

Solução: Lembre -se de que os logaritmos são definidos apenas para números positivos

Erro 3: confusão base

Problema: Misturando bases diferentes durante os cálculos

Solução: Sempre identifique claramente a base e fique com ela ao longo do problema

Erro 4: Erros de assinar

Errado: log (a/b) = log (a) + log (b)

Correto: log (a/b) = log (a) - log (b)

Aplicação 1: interesse composto

Calcule quanto tempo leva para um investimento dobrar:

Fórmula: t = log (2) / log (1 + r)

onde t = tempo, r = taxa de juros

Aplicação 2: Cálculos de pH

Fórmula: ph = -log [h⁺]

onde [h⁺] é a concentração de íons de hidrogênio

Aplicação 3: magnitude do terremoto

Fórmula: M = log (i/i₀)

onde m = magnitude, i = intensidade, i₀ = intensidade de referência

Técnica 1: Estratégias de estimativa

Para aproximações rápidas:

• log₂ (1000) ≈ 10 (desde 2¹⁰ = 1024)
• log₁₀ (3) ≈ 0,5 (desde 10⁰ · ⁵ = √10 ≈ 3,16)

Técnica 2: Usando a tecnologia efetivamente

Calculadoras científicas:

• Use parênteses para garantir a ordem correta de operações
• Verifique se sua calculadora está no modo correto

Ferramentas online:

• Verifique seu trabalho com vários métodos de cálculo
• Use ferramentas gráficas para visualizar funções logarítmicas

Técnica 3: Reconhecimento de padrões

Aprenda a reconhecer valores comuns do logaritmo:

• log₁₀ (10^n) = n
• log₂ (2^n) = n
• ln (e^n) = n

Problema: obtendo resultados indefinidos

Causa: Tentativa de calcular logaritmos de números negativos ou zero

Solução: verifique se todos os argumentos são positivos antes de calcular

Problema: resultados inconsistentes

Causa: misturando bases diferentes ou usando propriedades incorretas

Solução: Verifique a consistência da base e os aplicativos de propriedades da base

Problema: erros de arredondamento

Causa: arredondamento excessivo durante etapas intermediárias

Solução: carregue locais decimais extras durante os cálculos, apenas no final