حاسبة الوقت

النظام الثنائي (الأساس 2) يستخدم 0 و1 فقط. لتحويل الثنائي إلى عشري، اضرب كل رقم في 2 مرفوعاً لقوته المكانية (بدءاً من 0 على اليمين) واجمع النتائج.

مثال: 1101 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

النظام السداسي عشر (الأساس 16) يستخدم الأرقام من 0 إلى 9 والحروف من A إلى F. وهو شائع في البرمجة لأن كل رقم سداسي عشر يمثل بدقة 4 بتات ثنائية.

FF في السداسي عشر = 255 في العشري = 11111111 في الثنائي.

• أجهزة الكمبيوتر تستخدم النظام الثنائي داخلياً.
• النظام السداسي عشر يوفر طريقة مدمجة لتمثيل البيانات الثنائية.
• النظام الثماني كان يُستخدم في الأنظمة القديمة.
• النظام العشري ملائم للبشر.

لكل أساس غرضه الخاص في الحوسبة والرياضيات.

أساس العدد (ويُسمى أيضاً الأساس الجذري) هو عدد الأرقام الفريدة التي يستخدمها نظام العد الموضعي لتمثيل القيم. الأساس 10 يستخدم عشرة أرقام (0-9)؛ والأساس 2 يستخدم رقمين (0 و1).

في أي نظام موضعي، يحمل موضع كل رقم وزناً يساوي الأساس مرفوعاً لقوة ذلك الموضع، عدداً من الصفر على اليمين. لذا فإن العدد العشري 253 يعني 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰.

وفقاً لموقع Wolfram MathWorld، تتيح هذه القاعدة الموضعية لمجموعة صغيرة من الرموز التعبير عن أعداد كبيرة بشكل تعسفي، ولهذا السبب فإن تحويل الأساس هو في جوهره مجرد إعادة للتعبير عن نفس الكمية بقيم مكانية مختلفة.

لتحويل عدد عشري إلى أي أساس مستهدف، قم بالقسمة المتكررة على هذا الأساس وجمع البواقي، ثم اقرأها من الأخير إلى الأول.

تحويل 156 إلى النظام السداسي عشر: 156 ÷ 16 = 9 والباقي 12 (C)، و 9 ÷ 16 = 0 والباقي 9، لذا فإن القراءة إلى أعلى تعطي 9C. التحقق: 9×16 + 12 = 144 + 12 = 156.

تعلم خان أكاديمي (Khan Academy) تقنية القسمة والتسجيل ذاتها للأساس الثنائي والأساسات الأخرى. وهي تعمل لأي أساس من 2 إلى 36 لأن كل عملية قسمة تعزل الرقم الأقل أهمية أولاً، مبنية النتيجة قيمة مكانية تلو الأخرى.

نظراً لأن 8 و 16 هما قوتان للعدد 2، يمكنك تحويل النظام الثنائي مباشرة عن طريق تجميع البتات بدلاً من المرور عبر النظام العشري. قم بتجميع الأرقام الثنائية في مجموعات من ثلاثة (من اليمين) للنظام الثماني، أو مجموعات من أربعة للنظام السداسي عشر، مع الحشو بالأصفار البادئة حسب الحاجة.

مثال: الثنائي 11010110 يتجمع كالتالي 1101 0110 ← D6 في السداسي عشر، أو كالتالي 011 010 110 ← 326 في الثماني. تحقق من كيهما مقابل العشري: 214.

يُشير موقع Wolfram MathWorld إلى أن اختصار التجميع هذا دقيق على وجه التحديد لأن رقماً ثمانياً واحداً يتقاطع مع ثلاث بتات ورَقماً سداسياً عشراً واحداً يتقاطع مع أربع بتات.

الصيغة الأساسية لقراءة أي أساس إلى النظام العشري هي القيمة = Σ(dₙ × الأساسⁿ)، حيث يتم ضرب كل رقم dₙ في الأساس مرفوعاً لقوته n محسوبة من الصفر على اليمين.

بالنسبة للسداسي عشر 2AF: 2×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 512 + 160 + 15 = 687.

تصف موسوعة بريتانيكا (Encyclopaedia Britannica) هذا الهيكل ذي الوزن المجموعي باعتباره الميزة المحددة للترميز الموضعي، مما يميزه عن الأنظمة غير الموضعية مثل الأرقام الرومانية. تتعامل نفس الصيغة مع الأجزاء الكسرية باستخدام أسس سالبة، بحيث يحمل الرقم الذي يليه نقطة جذرية وزناً قدره أساس⁻¹.

تسيطر الأسس المختلفة على مهام الحوسبة المختلفة:

• السداسي عشر يشفر عناوين الذاكرة، ورموز ألوان RGB مثل #FF5733، وعناوين MAC، وتفريغات البايتات لأن رقمين سداسيين عشريين يمثلان بدقة بايت واحد من 8 بتات.
• الثماني يبقى مستخدماً في أذونات ملفات يونكس (Unix): chmod 755 يمنح إذن القراءة والكتابة والتنفيذ للمالك والقراءة والتنفيذ للآخرين، نظراً لأن كل رقم ثماني يتطابق مع ثلاث بتات إذن.
• الثنائي يشكل الأساس لكل شيء على مستوى الأجهزة، من منطق وحدة المعالجة المركزية إلى قناع الشبكة الفرعية.

يساعد فهم هذه الأساسيات المبرمجين في تصحيح أخطاء البيانات منخفضة المستوى، وتلاحظ بريتانيكا الدور المركزي للنظام الثنائي في تصميم جميع أجهزة الكمبيوتر الرقمية الحديثة.

الأساس 36 هو أكبر أساس يناسب تماماً مجموعة الأحرف الأبجدية الرقمية القياسية، باستخدام الأرقام العشرة 0-9 بالإضافة إلى الحروف الـ 26 A-Z للقيم من 10 إلى 35. وهذا يعطي بالضبط 36 رمزاً متميزاً.

إنه شائع لترميز الأعداد الكبيرة بشكل مضغوط كسلاسل قصيرة، مثل مختصرات عناوين URL والمعرفات الفريدة، لأنه يحزم مزيداً من المعلومات لكل حرف مقارنة بالنظام العشري أو السداسي عشر.

بالنسبة لأي أساس أكبر من 10، تمد الحروف ببساطة مجموعة الأرقام: A=10، B=11، وصولاً إلى Z=35. يدعم هذا المحول كل أساس من 2 إلى 36 باستخدام هذا الاصطلاح.

يحمل كل موضع في العدد الثنائي وزناً هو قوة للعدد اثنين، لذا فإن معرفة هذه القوى يجعل التحويل الثنائي سريعاً. من اليمين، الأوزان هي 1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128، ثم 256، 512، و1024 (وهو 2¹⁰).

هذا هو السبب في أن بايت من 8 بتات يحمل قيماً من 0 إلى 255: مجموع الأوزان الثمانية الأولى (1 إلى 128) هو 255.

يفهرس Wolfram MathWorld قوى الاثنين باعتبارها واحدة من تسلسلات الأعداد الصحيحة الأساسية للغاية في الحوسبة. يتيح لك حفظها حتى 1024 تحويل الأعداد الثنائية الصغيرة ذهنياً دون قسمة متكررة، بينما بالنسبة للقيم الأكبر، يخبرك حاسبة اللوغاريتمات بسرعة بعدد البتات التي يحتاجها العدد، نظراً لأن عدد البتات هو ببساطة لوغاريتمه للأساس 2 مقرباً للأعلى.

• الخطأ الأكثر تكراراً هو سوء حساب أسس المواضع بالبدء من الواحد بدلاً من الصفر؛ فالرقم الأقصى يميناً له دائماً الموضع 0، مما يمنحه وزناً قدره أساس⁰ = 1.
• زلة شائعة أخرى هي نسيان حشو النظام الثنائي في مجموعات كاملة من ثلاثة أو أربعة قبل التخطيط للثنائي أو السداسي عشر، مما يزيح كل رقم.
• يخلط الناس أيضاً بين حروف السداسي عشر، كاتبين D كـ 14 بدلاً من 13 (A=10، B=11، C=12، D=13، E=14، F=15).
• أخيراً، عند استخدام طريقة القسمة والباقي، يجب قراءة البواقي من القسمة الأخيرة صعوداً، وليس بالترتيب الذي تم إنتاجها به.

التدقيق المزدوج بالصيغة المكانية يكشف الأخطاء الأربعة جميعها.