الحاسبة الثنائية

النظام الثنائي (الأساس 2) يستخدم الرقمين 0 و1 فقط. للتحويل إلى العشري، اضرب كل بت في 2 مرفوعة لقوة موقعه واجمع النتائج.

مثال: 10110 = 16+4+2 = 22.

الجمع والطرح والضرب والقسمة الثنائية تتبع نفس مبادئ الحساب العشري ولكن برقمين فقط.

توضح هذه الحاسبة عمليات الحمل، والاستئران، والنتائج الجزئية خطوة بخطوة.

عمليات AND وOR وXOR وNOT على مستوى البتات تعمل على بتات فردية وهي أساسية للحوسبة.

يمثل المتمم الثنائي الأرقام السالبة في النظام الثنائي، حيث يشير البت الأكثر أهمية إلى الإشارة.

لتحويل رقم عشري إلى النظام الثنائي، اقسمه مراراً وتكراراً على 2 وسجل كل باقٍ، ثم اقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى.

على سبيل المثال، يصبح الرقم 22: 22/2=11 والباقي 0، 11/2=5 والباقي 1، 5/2=2 والباقي 1، 2/2=1 والباقي 0، 1/2=0 والباقي 1، مما يعطي 10110.

النظام الثنائي هو نظام الموضع ذو الأساس 2 المُعرف في المعيار الدولي ISO/IEC/IEEE 60559 وISO 80000-1، حيث يمثل كل موضع قوة للعدد 2.

نظرًا لأن أجهزة الكمبيوتر تخزن جميع البيانات كإشارات ذات حالتين، فإن الأساس 2 هو الترميز الطبيعي، وتعمل طريقة الباقي هذه على تحويل أي رقم صحيح غير سالب بثقة إلى شكله الثنائي.

للتحويل من النظام الثنائي إلى الست عشري، قم بتجميع البتات في مجموعات من 4 من اليمين واشرح كل مجموعة إلى رقم ست عشري واحد (من 0000=0 إلى 1111=F)؛ أما بالنسبة للنظام الثماني، فقم بالتجميع في مجموعات من 3 (من 000=0 إلى 111=7).

على سبيل المثال، الثنائي 11111111 يساوي FF في الست عشري و377 في الثماني.

يعمل هذا لأن 16 = 2^4 و8 = 2^3، لذا فإن كل رقم ست عشري يرمز بدقة إلى 4 بتات وكل رقم ثماني إلى 3 بتات بدقة.

تم توحيد رموز النظامين الست عشري والثماني في المعيار ISO/IEC 9899 (معيار لغة C)، مما يجعلهما اختصارين مدمجين يستخدمهما المبرمجون على نطاق واسع لقراءة السلاسل الثنائية الطويلة.

لإيجاد المتمم الثنائي لرقم ثنائي، اقلب كل بت (متمم الآحاد) ثم أضف 1.

على سبيل المثال، في 8 بتات، +5 هو 00000101، لذا -5 هو 11111010 + 1 = 11111011.

المتمم الثنائي هو التمثيل القياسي للأرقام الصحيحة الموقعة والموصوف في المعيار ISO/IEC 9899 والمستخدم من قبل جميع المعالجات الحديثة تقريبًا لأن الجمع والطرح يعملان بشكل متطابق للقيم الموقعة وغير الموقعة.

يعتمد نطاق القيم على عرض البت:

• في عرض 8 بت، تتراوح القيم من -128 إلى 127
• في 16 بت، من -32,768 إلى 32,767
• في 32 بت، تقريبًا من -2.15 مليار إلى 2.15 مليار

يعمل البت الأكثر أهمية كبت إشارة.

تستخدم أجهزة الكمبيوتر النظام الثنائي لأن الدوائر الإلكترونية تميز موثوقية بين حالتين فقط، التشغيل والإيقاف، والمشفرة إلى 1 و0.

تتحمل هذه الإشارات ذات المستويات الثنائية الضوضاء بشكل أفضل بكثير من محاولة الحفاظ على عشر مستويات جهد مميزة للنظام الثنائي، لذا فإن النظام الثنائي يدعم المنطق الرقمي والذاكرة الموصوفة في معايير الحوسبة IEEE وISO/IEC. يتم تخزين كل حرف وصورة وتعليمات في النهاية كبتات.

تُضفي اللجنة الكهرتقنية الدولية (IEC 80000-13) الطابع الرسمي على البت باعتباره وحدة المعلومات الأساسية والبايت كـ 8 بتات، ولهذا السبب يتم التعبير عن أحجام البيانات وعناوين الذاكرة بأسس العدد 2 في جميع أنحاء هندسة الكمبيوتر.

يساوي البايت الواحد 8 بتات، وتستخدم أحجام البيانات نظامين مختلفين للبادئات.

البادئات الثنائية المحددة بواسطة IEC 80000-13 تستخدم أسس العدد 1024:

• 1 KiB (كيلوبايت ثنائي) = 1024 بايت
• 1 MiB = 1024 KiB
• 1 GiB = 1024 MiB

بادئات النظام الدولي للعشرية من BIPM تستخدم أسس العدد 1000:

• 1 kB = 1000 بايت
• 1 MB = 1,000,000 بايت

هذا التمييز يوضح سبب ظهور محرك أقراص مُسمّى بـ 1 TB (10^12 بايت) على أنه تقريبًا 0.909 TiB في أنظمة التشغيل التي تحسب بأسس العدد 1024. استخدام KiB/MiB يتجنب هذا الغموض، ولهذا السبب قدمت IEC البادئات الثنائية.

النظام الثنائي يشغل تقريبًا كل تكنولوجيا رقمية:

• تجمع العلامات والأقنعة الخاصة بالبتات العديد من إعدادات التشغيل/الإيقاف في عدد صحيح واحد، مما يوفر الذاكرة في البرمجيات والأنظمة المضمنة.
• تستخدم شبكات الاتصال النظام الثنائي لحساب أقنعة الشبكة الفرعية ونطاقات عناوين IP، حيث يكون كل ثماني في IPv4 مكونًا من 8 بتات.
• تقوم ترميزات الحروف مثل UTF-8، والموحدة من قبل اتحاد يونيكود، بتخزين النص كسلسلة بايتات، وتعتبر تنسيقات الملفات وقيم الألوان (24 بت RGB) وتعليمات الآلة كلها ثنائية.
• تعتمد التشفير بشكل كبير على عملية XOR.

يساعد فهم التحويل والحساب الثنائي المبرمجين ومهندسي الشبكات ومصممي الأجهزة على التفكير في كيفية تمثيل البيانات ومعالجتها فعليًا.

الجمع الثنائي يتبع أربع قواعد، عموداً بـ عمود من اليمين إلى اليسار:

• 0+0=0
• 0+1=1
• 1+0=1
• 1+1=10 (اكتب 0، واحمل 1)؛ ثلاثة أعداد 1 تعطي 11 (اكتب 1، واحمل 1)

على سبيل المثال، 1011 + 1101 = 11000، وهو ما يطابق 11 + 13 = 24 في النظام العشري.

الطرح يستخدم الاستئران، حيث يستئر 0-1 من العمود التالي ليصبح 10-1=1. في الممارسة العملية، تقوم معظم أجهزة الكمبيوتر بالطرح عن طريق إضافة المتمم الثنائي، مما يتجنب وجود دائرة استئران منفصلة.

تعرض هذه الحاسبة كل بت حمل واستئران لكي تتمكن من التحقق من العملية الحسابية خطوة بخطوة.

العديد من الأخطاء تقع عند العمل مع النظام الثنائي:

• الخطأ الأكثر تكرارًا هو قراءة البواقي بالترتيب الخاطئ أثناء التحويل من العشري إلى الثنائي؛ اقرأها دائمًا من الأسفل إلى الأعلى.
• خطأ آخر هو الخطأ في حساب مواضع البتات، والتي تبدأ من 0 على اليمين، وليس 1.
• عند التجميع للست عشري أو الثماني، أضف أصفارًا بادئة من اليسار لكي تكون المجموعة في أقصى اليسار مكتملة.
• مع المتمم الثنائي، فإن نسيان عرض البت الثابت يسبب أخطاء في الإشارة، حيث يختلف -5 في نموذج 8 بت مقابل 16 بت.
• أخيراً، الخلط بين البادئات الثنائية (1 KiB = 1024 بايت وفقًا لـ IEC 80000-13) والبادئات العشرية (1 kB = 1000 بايت وفقًا لـ BIPM) يؤدي إلى أخطاء في حساب حجم التخزين.