حاسبة الوقت

للمصفوفات 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc. للمصفوفات 3×3، تعطي قاعدة ساروس أو النشر المرافق: det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) للمصفوفة [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

للمصفوفات الأكبر، يعمل النشر المرافق على طول أي صف أو عمود: det(A) = Σ(-1)^(i+j) × a_ij × M_ij، حيث M_ij هو المحدد الصغير (محدد المصفوفة الفرعية الناتجة عن حذف الصف i والعمود j).

تكلفة الحساب تنمو بشكل عاملي مع حجم المصفوفة باستخدام النشر المرافق — O(n!) — مما يجعلها غير عملية للمصفوفات الكبيرة. تفكيك LU يحسب المحددات في O(n³) عبر التعبير عن A = LU واستخدام det(A) = det(L) × det(U) = حاصل ضرب عناصر القطر.

تسمح عدة خصائص باختصارات:

• محدد المصفوفة المثلثية (العليا أو السفلى) يساوي حاصل ضرب عناصر القطر.
• تبديل صفين يعكس إشارة المحدد.
• ضرب صف في عدد ثابت k يضرب المحدد في k.
• إضافة مضاعف صف إلى صف آخر لا يغيّر المحدد — وهذا هو أساس حذف غاوس للحساب الفعال.
• محدد حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب المحددات: det(AB) = det(A) × det(B).
• بالنسبة للمنقول: det(A^T) = det(A).
• المعكوس له det(A^(-1)) = 1/det(A).

هذه الخصائص تتيح اختصارات الحساب اليدوي: اختزل المصفوفة إلى شكل مثلثي أعلى باستخدام عمليات الصف، تتبع تغيرات الإشارة من تبديلات الصفوف، ثم اضرب عناصر القطر.

بالإضافة إلى حل الأنظمة الخطية (قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A))، للمحددات تطبيقات هندسية.

في البعد الثاني، المحدد المطلق لمصفوفة 2×2 مكونة من متجهين يعطي مساحة متوازي الأضلاع الذي يمتدانه. في البعد الثالث، محدد مصفوفة 3×3 لثلاثة متجهات يعطي حجم متوازي السطوح. يمكن حساب الضرب الاتجاهي باستخدام المحددات: a×b = det([[i,j,k],[a1,a2,a3],[b1,b2,b3]]).

في التفاضل والتكامل، يقيس محدد جاكوبي كيف يغير تحويل الإحداثيات قياس المساحات/الحجوم المتناهية في الصغر — وهو أمر أساسي لتغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة.

القيم الذاتية تحقق det(A - λI) = 0، وهي الكثيرة الحدود المميزة، التي تربط المحددات بالتحليل الطيفي ونظريات الاستقرار في المعادلات التفاضلية.

المحدد هو رقم قياسي واحد يُحسب من مدخلات مصفوفة مربعة ليوضح ما إذا كانت المصفوفة قابلة للانعكاس وكيف تقوم بتحجيم الفضاء.

كما يوضح Wolfram MathWorld، فإن محدد مصفوفة n×n المسمى A، والذي يكتب det(A) أو |A|، يكون غير صفري حصراً عندما يكون للمصفوفة معكوس وصفوفها مستقلة خطياً.

هندسياً، القيمة المطلقة للمحدد تساوي العامل الذي يمدد به التحويل الخطي المساحة في بعدين أو الحجم في ثلاثة أبعاد. يشير المحدد السالب إضافياً إلى أن التحويل يعكس الاتجاه.

يتم تعريف المحددات فقط للمصفوفات المربعة — فالمصفوفات المستطيلة ليس لها محدد.

لإيجاد محدد 3×3، انشر على طول الصف الأول باستخدام المرافقات: اضرب كل مدخل علوي في المحدد الصغير 2×2 المتبقي بعد حذف صفه وعموده، مع تبديل الإشارات +, −, +.

خذ المصفوفة [[2,1,3],[0,-1,2],[1,4,-1]]. المحددات الصغيرة الثلاثة هي [[-1,2],[4,-1]] = (-1)(-1)−(2)(4) = -7، [[0,2],[1,-1]] = (0)(-1)−(2)(1) = -2، و [[0,-1],[1,4]] = (0)(4)−(-1)(1) = 1.

الجمع مع الإشارات يعطي 2(-7) − 1(-2) + 3(1) = -14 + 2 + 3 = -9. توضح أكاديمية خان طريقة المرافق هذه تفاعلياً لأي مصفوفة 3×3.

لمصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]]، المحدد هو ad − bc: اضرب القطر الرئيسي، ثم اطرح حاصل ضرب القطر المعاكس.

على سبيل المثال، محدد [[3,8],[4,6]] هو (3)(6) − (8)(4) = 18 − 32 = -14. نفس قاعدة 2×2 تنتج متطابقة كاسيني، det([[F₍n+1₎,F₍n₎],[F₍n₎,F₍n-1₎]]) = (−1)ⁿ لأعداد فيبوناتشي المتتالية التي يمكنك إنشاؤها باستخدام حاسبة فيبوناتشي. هذه الصيغة، المفهرسة بواسطة Wolfram MathWorld، هي الحالة الأساسية لكل محدد أكبر لأن النشر المرافق يختزل تكرارياً مصفوفة n×n وصولاً إلى مجاميع المحددات الصغرى 2×2.

محدد 2×2 يساوي أيضاً المساحة الموقعة لمتوازي الأضلاع الذي يمتده متجها العمود، ولهذا السبب تعني القيمة الصفرية أن المتجهات متوازية خطياً وأن المصفوفة منفردة.

المحدد الذي يساوي صفراً تماماً يعني أن المصفوفة منفردة (singular): ليس لها معكوس، وتكون صفوفها وأعمدتها مرتبطة خطياً، وتؤدي إلى ضغط الفضاء إلى بُعد أقل.

وفقاً لموسوعة بريتانيكا، فإن النظام الخطي Ax = b الذي يحتوي على مصفوفة معاملات منفردة إما ألا يكون له حل أو أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول، ولا يحتوي أبداً على حل وحيد. يشير المحدد غير الصفر إلى مصفوفة غير منفردة (قابلة للعكس)، مما يضمن وجود حل وحيد تماماً.

ونظراً لأن المحدد يقوم بتغيير مقياس المساحة أو الحجم، فإن القيمة الصفرية تتوافق مع تحويل يقوم بتسطيح الفضاء - على سبيل المثال، إسقاط منطقة ثلاثية الأبعاد على مستوى، مما يمنحها حجماً صفرياً ويفقدها قابلية العكس.

من الأفضل العثور على المحددات الكبيرة عن طريق اختزال صفوف المصفوفة إلى صورة مثلثية عليا بدلاً من فك العامل المساعد (cofactor) البحت. وكما يشير موقع Wolfram MathWorld، فإن محدد المصفوفة المثلثية يساوي حاصل ضرب عناصرها القطرية، لذا يتيح لك حذف غاوس حساب محدد 4×4 أو 5×5 في حوالي n³ من العمليات بدلاً من n! من العوامل المساعدة التي يتطلبها الفك المباشر.

تتبع تأثيرين أثناء الاختزال:

• تبديل صفين يضرب المحدد في −1
• قياس الصف بـ k يضرب المحدد في k

إضافة مضاعف صف إلى صف آخر يترك المحدد دون تغيير. تتعامل هذه الحاسبة مع هذه العمليات الحسابية تلقائياً للمصفوفات التي تصل إلى 5×5.

تظهر المحددات إلى ما بعد الكتب المدرسية.

في الهندسة، تعطي القيمة المطلقة لمحدد 2×2 مساحة متوازي الأضلاع، ويعطي محدد 3×3 حجم متوازي السطوح الذي تمتد عليه ثلاثة متجهات. تحل قاعدة كرامر الأنظمة الخطية الصغيرة باستخدام نسب المحددات، ويتم التعبير عن الضرب الاتجاهي لمتجهين ثلاثي الأبعاد كمحدد رمزي 3×3.

في التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، يقيس محدد جاكوبيان (Jacobian determinant) - الموضح في مكتبة NIST الرقمية للوظائف الرياضية - كيف يؤدي تغيير المتغيرات إلى تغيير مقياس التكاملات.

يستخدم المهندسون المعادلة المميزة det(A − λI) = 0 لإيجاد القيم الذاتية التي تحكم أنماط الاهتزاز، والاستقرار الهيكلي، وسلوك نظام التحكم.

احذر من هذه الأخطاء المتكررة:

• الخطأ الأكثر شيوعاً هو نسيان إعلام العامل المساعد المتناوبة +, −, +, −؛ إشارة الموضع (i, j) هي (−1)^(i+j)، وليست موجبة ببساطة.
• الخطأ الثاني هو تطبيق اختصار ساروس القطري على مصفوفات 4×4 أو أكبر - يعمل ساروس فقط مع 3×3.
• يسقط الطلاب أيضاً علامة الناقص بعد تبديل الصف، نظراً لأن كل تبديل يقلب إشارة المحدد.
• فخ آخر هو التعامل مع المحدد مثل عملية المصفوفة: det(A + B) لا يساوي det(A) + det(B)، على الرغم من أن det(AB) يساوي det(A)·det(B).
• أخيراً، تذكر أن المحددات توجد فقط للمصفوفات المربعة؛ مصفوفة 2×3 ليس لها محدد.

تحقق من كل محدد جزئي (minor) 2×2 حسابياً قبل الدمج.

عدد قليل من الخصائص، وكلها يمكن إثباتها من تعريف العامل المساعد، تجعل المحددات قابلة للتنبؤ.

• محدد مصفوفة الوحدة هو 1، وأي مصفوفة بها صف أو عمود من الأصفار له محدد 0.
• صفان متطابقان أجبروا المحدد على الصفر لأن الصفوف مرتبطة خطياً.
• يؤدي نقل المصفوفة إلى ترك محددها دون تغيير، لذا det(Aᵀ) = det(A).
• ينقسم محدد الناتج كـ det(AB) = det(A)·det(B)، مما يعني أن det(A⁻¹) = 1/det(A) متى وجد المعكوس.
• ضرب مصفوفة n×n كاملة بعدد قياسي k يقيس المحدد بمقدار kⁿ، وليس بـ k.

يغطي موقع خان أكاديمي إثباتات كل خاصية.