الحاسبة العلمية

عامل n (ويُكتب n!) هو حاصل ضرب جميع الأصحاحات الموجبة حتى n. على سبيل المثال، 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

تعتبر العوامليّات أساسيّة في العدّ والاحتمالات.

تحسب التباديل الترتيبات حيث يكون الترتيب مهمّاً (nPr). وتحسب التوافيق الاختيارات حيث لا يكون الترتيب مهمّاً (nCr).

استخدم التباديل للتصنيفات، والتوافيق للمجموعات.

لحساب العامليّة n!، اضرب كل عدد صحيح موجب من 1 حتى n معاً. على سبيل المثال، 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120، و6! = 6 × 120 = 720.

أسرع طريقة يدويّة تستخدم قاعدة التكرار n! = n × (n−1)!، بحيث تكون كل عامليّة جديدة عبارة عن النتيجة السابقة مضروبة في العدد الصحيح التالي. تطبق هذه الحاسبة هذا التكرار داخليّاً، ثم تعرض كل عمليّة ضرب كخطوة.

وكما يشير موقع Wolfram MathWorld، فإن العامليّة معرّفة لجميع الأصحاحات غير السالبة، ويتم تثبيت 0! عند 1 للحفاظ على استقرار التكرار.

صيغة العامليّة هي n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1، مع الحالة الأساسيّة 0! = 1. وبالمثل، تفي العوامليّات بالعلاقة التكراريّة n! = n × (n−1)!، والتي تتيح لك بناء كل قيمة من القيمة التي تسبقها.

توسع مكتبة NIST الرقميّة للدوال الرياضيّة هذه الفكرة إلى ما بعد الأصحاحات من خلال دالة جاما، حيث n! = Γ(n+1).

بالنسبة للتحليلات التوافيقيّة، تستخدم أيضاً صيغتين مشتقّتين:

• التباديل nPr = n!/(n−r)!
• التوافيق nCr = n!/[r!(n−r)!]

تغطي هذه التعبيرات الثلاثة معظم مشكلات العدّ التي ستواجهها في الاحتمالات والرياضيّات المتقطّعة.

يساوي 0! الرقم 1 بحكم التعريف، وهو ليس خياراً تعسفياً. توجد طريقة واحدة تماماً لتصنيف مجموعة فارغة من الكائنات - وهي عدم فعل شيء - لذا فإن عدد الترتيبات هو واحد.

كما أن تعيين 0! = 1 يحافظ على صحة التكرار n! = n × (n−1)!، نظراً لأن 1! = 1 × 0! لا يعمل إلا إذا كان 0! = 1. وهو يجعل صيغاً مثل nCr = n!/[r!(n−r)!] تعيد الإجابة الصحيحة عندما تكون r = 0 أو r = n.

يعرض كل من موقع خان أكاديمي وموسوعة بريتانيكا 0! = 1 باعتبارها الاصطلاح القياسي الكامن وراء التوافيق ونظرية ذات الحدين.

تنمو العوامليّات بشكل أسرع من أي دالة أسيّة، وهذا هو سبب أن الحساب اليدوي يصبح غير عملي بسرعة. للتوضيح:

• 5! = 120
• 10! = 3,628,800
• 20! = 2,432,902,008,176,640,000 — أي أكثر من 2.4 كوينتيليون بالفعل

بحلول 170! تصبح القيمة تقريباً 7.26 × 10^306، وهي قريبة من حد الفاصلة العائمة القياسية مزدوجة الدقة، ولهذا السبب تقيد العديد من الأدوات الإدخال عند 170.

هذا النمو فائق الأسيّة (بشكل رسمي تنمو n! مثل تقريب ستيرلنج √(2πn)(n/e)^n، كما هو موضح في NIST DLMF) يوضح سبب ظهور العوامليّات في مقامات متسلسلات تايلور، حيث تتقلص الحدود بالسرعة الكافية لتتقارب المتسلسلة.

تقوم العامليّة المزدوجة n!! بضرب كل عدد صحيح آخر تنازلياً من n، متوقفة عند 1 (لـ n الفردي) أو 2 (لـ n الزوجي). بالنسبة للأعداد الفردية، 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105؛ وبالنسبة للأعداد الزوجية، 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384.

إنها ليست مثل أخذ العامليّة مرتين — فـ (n!)! ستكون هائلة بالمقارنة. تظهر العوامليّات المزدوجة في تكاملات قوى الجيب وجيب التمام وفي صيغ حجم الكرات عالية الأبعاد.

يفهرس Wolfram MathWorld العامليّة المزدوجة كدالة خاصة بها، وتدرج OEIS العوامليّات المزدوجة الفردية 1، 3، 15، 105، 945 كمتسلسلة A001147.

تحسب العامليّة الفرعية !n الترتيبات المختلطة — وهي التباديل التي لا يبقى فيها أي عنصر في مكانه الأصلي. بالنسبة لثلاثة عناصر {1، 2، 3}، فإن {2، 3، 1} و{3، 1، 2} فقط هي التي تنطبق، لذا !3 = 2؛ وبالمثل !4 = 9 و !5 = 44.

تتبع العامليّة الفرعية الصيغة !n = n! × Σ (−1)^k / k! لـ k من 0 إلى n، وهي مرتبطة ارتباطاً وثيقاً بألغاز الاحتمالات مثل مشكلة "فحص القبعة"، حيث تقترب فرصة ألا يحصل أحد على قبعته الخاصة من 1/e ≈ 0.3679 كلما زاد n.

تسجل OEIS أعداد الترتيبات المختلطة 1، 0، 1، 2، 9، 44، 265 كمتسلسلة A000166.

تدعم العوامليّات أي مشكلة تحسب الترتيبات أو الاختيارات.

• في الاحتمالات، عدد توزيعات بوكر المميزة لـ 5 بطاقات من مجموعة مكونة من 52 بطاقة هو التوافيق 52C5 = 2,598,960.
• في جدولة المهام واللوجستيات، تعطي n! عدد الترتيبات لـ n من المهام أو المحطات.
• في التفاضل والتكامل، توجد العوامليّات في مقامات متسلسلات تايلور وماكلورين، مما يتحكم في مدى سرعة تقلص الحدود حتى يمكن تقريب دوال مثل e^x وsin x.

كما تظهر أيضاً في نظرية ذات الحدين، والتوزيعات الإحصائية مثل بواسون وذات الحدين، وعلم التشفير. يستخدم موقع خان أكاديمي هذه الاعداد التوافيقية أساساً لمنهج الاحتمالات الخاص به.

هناك العديد من الأخطاء التي تقع في طريق الأشخاص عند التعامل مع العوامليّات:

• الخطأ الأكثر شيوعاً هو نسيان أن 0! = 1، مما يكسر صيغ التوافيق والتباديل عند أطرافها.
• خطأ آخر هو الخلط بين العامليّة المزدوجة n!! (كل عدد صحيح آخر) وتطبيق العامليّة مرتين — 5!! = 15، ولكن (5!)! أكبر بشكل فلكي.
• يخلط الطلاب أيضاً بين التباديل والتوافيق: استخدم nPr عندما يكون الترتيب مهمّاً وnCr عندما لا يكون كذلك، لذا 5P2 = 20 ولكن 5C2 = 10.
• احذر من قيم الإدخال السالبة أو غير الصحيحة، نظراً لأن العامليّة الأولية غير معرّفة هناك (دالة جاما وحدها هي التي توسعها).
• وأخيراً، تذكر أن العوامليّات تتجاوز السعة بسرعة — فبعد حوالي 170! تفقد معظم الحاسبات الدقة، كما يوضح تحليل النمو في Wolfram MathWorld بوضوح.

يتم بناء كل من التباديل والتوافيق مباشرة من العوامليّات.

تحسب التباديل nPr = n!/(n−r)! الترتيبات المرتبة، لذا فإن اختيار وترتيب عنصرين من أصل 5 عناصر يعطي 5P2 = 5!/3! = 120/6 = 20.

تحسب التوافيق nCr = n!/[r!(n−r)!] الاختيارات غير المرتبة، لذا 5C2 = 5!/(2!·3!) = 120/(2×6) = 10 — أي نصف 5P2 تماماً لأن كل زوج يمكن ترتيبه بطريقتين. تُسمى التوافيق أيضاً معاملات ذات الحدين وتولد مثلث باسكال. ونظراً لأن nC2 = n(n−1)/2 هي معادلة من الدرجة الثانية في n، فإن عكس السؤال — إيجاد عدد العناصر التي تنتج عدداً معيناً من الأزواج، كما في مسكلة المصافحة الكلاسيكية — يؤول إلى حل معادلة تربيعية.

تصف موسوعة بريتانيكا هذه العمليات بأنها العمليات الأساسية للتحليلات التوافيقيّة، وتحسب هذه الحاسبة nPr وnCr مع خطوات العمل الكاملة تفصيليّاً.