حاسبة الوقت

بدءاً من 1، 1، يكون كل رقم لاحق هو مجموع الرقمين السابقين.

وهذا ينشئ المتتالية الشهيرة: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144...

كلما نمت أرقام فيبوناتشي، اقتربت النسبة بين الحدود المتتالية من النسبة الذهبية φ ≈ 1.618.

تظهر هذه النسبة في جميع أنحاء الطبيعة والفن والهندسة المعمارية.

رقم فيبوناتشي هو أي حد في المتتالية تساوي فيه كل قيمة مجموع القيمتين السابقتين لها، بدءاً من 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55. القاعدة هي F(n) = F(n-1) + F(n-2)، مع قيمتي البداية F(1) = F(2) = 1.

سميت نسبة إلى عالم الرياضيات الإيطالي في القرن الثالث عشر ليوناردو بيزا، المعروف بفيبوناتشي، وقد شاعت المتتالية في كتابه الصادر عام 1202 ليبر أباتشي (Liber Abaci) من خلال لغز تكاثر الأرانب.

كما تشير وولفرام ماثوورلد (Wolfram MathWorld)، فهي واحدة من أكثر متتاليات الأعداد الصحيحة التي تمت دراستها في الرياضيات، وقد تمت جدولتها كمتتالية A000045 في موقع OEIS.

لإيجاد عدد فيبوناتشي النوني مباشرةً دون سرد كل حد سابق، استخدم صيغة بينيه: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5، حيث φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.6180339887 هي النسبة الذهبية و ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0.6180339887.

نظرًا لأن |ψ| أقل من 1، فإن ψⁿ ينكمش نحو الصفر، لذا فإن F(n) هو ببساطة أقرب عدد صحيح إلى φⁿ/√5. على سبيل المثال، φ¹⁰/√5 ≈ 55.004، والتي تقرّب إلى F(10) = 55.

توثق المكتبة الرقمية لدوال الرياضيات (DLMF) التابعة للمعهد الوطني المعايير والتقنية (NIST) هذا الشكل المغلق إلى جانب هويات أعداد لوكاس المرتبطة به.

إن عدد فيبوناتشي العاشر هو 55 عندما تبدأ فهرسة المتتالية عند F(1) = 1. عد الحدود بالترتيب يعطي 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، لذا فإن المدخلة العاشرة هي 55.

الفهرسة مهمة: بعض المراجع، بما في ذلك أجزاء من قائمة موسوعة أعداد صحيح OEIS، تبدأ عند F(0) = 0، مما يؤدي إلى إزاحة كل موقع بمقدار واحد ويجعل القيمة العاشرة المدرجة 34.

تستخدم هذه حاسبة الوقت الاصطلاح الشائع القائم على 1 حيث F(1) = F(2) = 1. تأكد دائمًا مما إذا كان المصدر يبدأ العد من F(0) أو F(1) قبل مقارنة الإجابات.

العدد الصحيح الموجب N هو عدد فيبوناتشي إذا وفقط إذا كان 5N² + 4 أو 5N² − 4 مربعًا كاملًا. يأتي هذا الاختبار من البنية الجبرية الكامنة وراء صيغة بينيه ويسمح لك بالتحقق من العضوية دون توليد المتتالية بأكملها.

خذ N = 13: 5 × 13² − 4 = 5 × 169 − 4 = 841 = 29²، وهو مربع كامل، لذا فإن العدد 13 هو عدد فيبوناتشي.

على النقيض من ذلك، يفشل N = 20 في كلا الاختبارين (5 × 400 + 4 = 2004 و 5 × 400 − 4 = 1996 ليس كلاهما مربعين)، لذا فإن 20 ليس عدد فيبوناتشي.

تغطي أكاديمية خان (Khan Academy) استدلال المربع الكامل الذي تدعم هذه الهوية.

مجموع أول n من أعداد فيبوناتشي يساوي F(n+2) − 1، وهي هوية أنيقة تتجنب جمع الحدود واحدًا تلو الآخر. بالنسبة لأول 10 أعداد، 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143، وهو ما يتطابق مع F(12) − 1 = 144 − 1 = 143.

تستحق هويتان مرتبطتان معرفتهما أيضًا:

• مجموع أول n من الحدود ذات الفهرس الفردي يساوي F(2n)
• مجموع المربعات F(1)² + … + F(n)² يساوي F(n) × F(n+1)

تدرج موسوعة وولفرام للرياضيات (Wolfram MathWorld) صيغ المجموع هذه ضمن نتائج الشكل المغلق الكلاسيكية للمتتالية.

تتقارب نسبة أعداد فيبوناتشي المتتالية نحو النسبة الذهبية φ ≈ 1.6180339887 مع نمو الحدود. تتذبذب النسب المبكرة حول φ: 55/34 ≈ 1.6176 و 89/55 ≈ 1.6182، وتضيق مع كل خطوة.

يحدث هذا لأن صيغة بينيه تجعل φⁿ هو الحد المهيمن. وفقًا لموسوعة بريتانيكا (Encyclopaedia Britannica)، تحقق φ المعادلة φ² = φ + 1، لذا فإن φ ≈ 1.618 ومقلوبها 1/φ ≈ 0.618 يختلفان بمقدار 1 بالضبط.

يظهر الثابت نفسه في أقطار الشكل الخماسي وفي الحلزونات اللوغاريتمية، وهذا هو سبب تكرار نسب فيبوناتشي عبر الهندسة والتصميم.

تظهر أعداد فيبوناتشي في أكثر بكثير من مجرد الكتب المدرسية.

• في الطبيعة، تترتب رؤوس بذور عباد الشمس، وحراشف الصنوبر، وقواقع نوتيلوس على طول حلزونات مرتبطة بفيبوناتشي تتجمع بكفاءة، وهي ظاهرة وثقتها موسوعة بريتانيكا.
• في علوم الكمبيوتر، فإنها تقيس أداء العودية (Recursion) والبرمجة الديناميكية — بالطريقة نفسها التي تعمل بها حاسبة العوامل للتعريف العودي الكلاسيكي الآخر — وتظهر في أكداس فيبوناتشي وخوارزميات البحث.
• في التمويل، يستخدم المتداولون مستويات ارتداد فيبوناتشي (23.6%، 38.2%، 61.8%) المستمدة من نسب المتتالية.
• تستخدم فرق البرمجيات الرشيقة (Agile) حتى مقياسًا بأسلوب فيبوناتشي (1، 2، 3، 5، 8، 13) لتقدير نقاط القصة لأن الفجوات المتسعة تعكس عدم اليقين المتزايد في المهام الأكبر.

هناك العديد من الأخطاء الشائعة التي تقع فيها الناس:

• الخطأ الأكثر تكرارًا هو الخلط في الفهرسة: خلط اصطلاح F(0) = 0 مع اصطلاح F(1) = 1 يؤدي إلى إزاحة كل حد بمقدار موضع واحد وينتج إجابات تكون خاطئة بمقدار خطوة واحدة.
• المأزق الثاني هو الوثوق بصيغة بينيه لقيم n الكبيرة جدًا على آلة حاسبة قياسية، حيث يمكن أن تنتج تقريب الفاصلة العسارية أقرب عدد صحيح خاطئ؛ بينما يظل الجمع التكراري أو الحساب ذو الأعداد الكبيرة دقيقًا.
• يفترض آخرون خطأً أن كل عدد كبير هو عدد فيبوناتشي دون تطبيق اختبار المربع الكامل 5N² ± 4، أو ينسون أن العدد 1 يظهر مرتين في البداية.
• أخيرًا، تذكر أن أي فهرس عد سلبي لا يعطي حدًا أقل من F(1) في هذه الأداة.

تنتنمي أعداد فيبوناتشي إلى عائلة أوسع من التكرارات من الرتبة الثانية التي تشارك قاعدة الحد = السابق + ما قبل السابق، لكنها تستخدم قيم بداية مختلفة.

تبدأ أعداد لوكاس بـ 2، 1، 3، 4، 7، 11، 18 ومفهرسة كمفردة OEIS رقم A000032؛ وهي تحقق L(n) = φⁿ + ψⁿ وترتبط ارتباطًا وثيقًا بفبوناتشي من خلال هويات مثل F(2n) = F(n) × L(n). تتبع أعداد بيل (1، 2، 5، 12، 29) مضاعفًا مختلفًا.

توضح دراسة هذه الأقارب، كما تفصل موسوعة وولفرام للرياضيات، سبب سيطرة النسبة الذهبية على معدل نمو العائلة بأكملها.