حاسبة التردد والطول الموجي

ترتبط معادلة الموجة الأساسية λ = v/f (أو f = v/λ) بكل من الطول الموجي λ، والتردد f، وسرعة الموجة v. بالنسبة للموجات الكهرومغناطيسية في الفراغ: λ = c/f حيث c = 299,792,458 م/ث.

وحدات التردد الشائعة وتحويلاتها:

• 1 كيلوهرتز = 10³ هرتز
• 1 ميغاهرتز = 10⁶ هرتز
• 1 جيغاهرتز = 10⁹ هرتز
• 1 تيراهرتز = 10¹² هرتز

وحدات الطول الموجي الشائعة:

• 1 مم = 10⁻³ م
• 1 ميكرومتر = 10⁻⁶ م
• 1 نانومتر = 10⁻⁹ م
• 1 أنغستروم = 10⁻¹⁰ م

إشارة واي فاي بتردد 2.4 جيغاهرتز لها طول موجي λ = 3×10⁸ / 2.4×10⁹ = 0.125 م = 12.5 سم. يحدد هذا الطول الموجي حجم الهوائي (هوائي ربع موجي = 3.1 سم لتردد 2.4 جيغاهرتز) والقدرة على الاختراق عبر المواد.

يمتد الطيف الكهرومغناطيسي لأكثر من 15 مرتبة من مقاييس التردد:

• موجات الراديو (3 كيلوهرتز - 300 جيغاهرتز، الأطوال الموجية من كيلومترات إلى مليمترات) تنقل البث، والواي فاي، وإشارات الهواتف المحمولة.
• الميكروويف (300 ميغاهرتز - 300 جيغاهرتز) يسخن الطعام ويمكن الرادار.
• الأشعة تحت الحمراء (300 جيغاهرتز - 400 تيراهرتز) تنقل الإشعاع الحراري وبيانات الألياف الضوئية.
• الضوء المرئي (400-790 تيراهرتز، 380-750 نانومتر) — الأحمر عند 700 نانومتر، البنفسجي عند 380 نانومتر.
• الأشعة فوق البنفسجية (790 تيراهرتز - 30 بيتاهرتز) تسبب حروق الشمس وتحفز التألق.
• الأشعة السينية (30 بيتاهرتز - 30 إكساهرتز) تخترق الأنسجة الرخوة للتصوير الطبي.
• أشعة غاما (فوق 30 إكساهرتز) تنشأ عن التفاعلات النووية والأحداث الكونية.

تتميز كل منطقة بآليات توليد مختلفة، وتفاعلات مع المادة، وتطبيقات عملية يحددها ارتباط الطول الموجي بحجم الجسم.

الموجات الصوتية تسافر أبطأ بكثير من الضوء — تقريباً 343 م/ث في الهواء عند درجة حرارة 20°م، و1,480 م/ث في الماء، و5,960 م/ث في الفولاذ. السمع البشري يمتد من 20 هرتز إلى 20 كيلوهرتز، وهو ما يقابل أطوالاً موجية تتراوح من 17 متراً (20 هرتز) إلى 17 مليمتراً (20 كيلوهرتز) في الهواء.

النغمة الموسيقية A4 (440 هرتز) لها طول موجي قدره 343/440 = 0.78 متراً. الترددات الجهيرة المنخفضة (40-80 هرتز) لها أطوال موجية تتراوح بين 4-8 أمتار، ولهذا السبب تمر أصوات الباص عبر الجدران بسهولة ويسهل امتصاصها صوتياً.

تزيد سرعة الصوت مع ارتفاع درجات الحرارة: v ≈ 331.3 + 0.606 × T(°C) م/ث. عند درجة حرارة الجسم (37°م)، ينتقل الصوت بسرعة 353.8 م/ث، وهو أمر ذو صلة بتصوير بالموجات فوق الصوتية الطبية الذي يستخدم ترددات من 1-20 ميغاهرتز (بأطوال موجية 0.08-1.5 مم) لتوضيح الهياكل التشريحية.

لحساب الطول الموجي من التردد، اقسم سرعة الموجة على التردد: λ = v / f. للموجات الكهرومغناطيسية في الفراغ، استخدم v = c = 299,792,458 م/ث (قيمة دقيقة محددة من المعهد الوطني للمعايير والتقنية)، إذن λ = c / f.

مثال عملي: إشارة راديو إف إم بتردد 100 ميغاهرتز لها λ = 3×10⁸ / 1×10⁸ = 3 أمتار.

لعكس الحساب وإيجاد التردد من الطول الموجي، استخدم f = v / λ. كلا الشكلين ناتجان عن إعادة ترتيب معادلة الموجة v = f × λ، كما وضحها موقع (HyperPhysics) بجامعة جورجيا. يتم التعبير عن النتيجة بالمتر عندما تكون السرعة بالمتر لكل ثانية والتردد بالهرتز. طابق الوحدات دائماً قبل القسمة لتجنب أخطاء النطاق.

وحدة النظام الدولي للتردد هي الهرتز (Hz)، والمعرّفة من قبل المكتب الدولي للأوزان والمقاييس والمعهد الوطني للمعايير والتقنية على أنها دورة واحدة في الثانية، أو 1 هرتز = 1 s⁻¹. الطول الموجي هو مسافة تقاس بالمتر (م)، وهي وحدة الأساس في النظام الدولي. سرعة الموجة تجمع بين هذين الأمرين كمتر في الثانية (م/ث)، حيث أن v = f × λ تعطي هرتز × متر = s⁻¹ × م = م/ث، وهو متوافق أبعاديًا.

البادئات المترية الشائعة تقيس هذه الوحدات بمقاييس مختلفة:

• 1 كيلوهرتز = 10³ هرتز
• 1 ميغاهرتز = 10⁶ هرتز
• 1 جيغاهرتز = 10⁹ هرتز
• 1 تيراهرتز = 10¹² هرتز

أما بالنسبة للطول الموجي، 1 نانومتر = 10⁻⁹ م و1 أنغستروم (Å) = 10⁻¹⁰ م. سُمي الهرتز تكريماً للفيزيائي هاينريش هرتز، وفقاً للموسوعة البريطانية.

الفترة T هي الوقت اللازم لدورة موجية كاملة واحدة، وهي مقلوب التردد: T = 1 / f، وتقاس بالثواني. التردد الأعلى يعني فترة أقصر.

مثال عملي: إشارة بتردد 100 ميغاهرتز لها فترة T = 1 / (1×10⁸) = 1×10⁻⁸ ث = 10 نانوثانية.

على العكس، يساوي التردد مقلوب الفترة: f = 1 / T. التردد الزاوي، المستخدم في حسابات الاهتزاز والدوائر الكهربائية المتناوبة، هو ω = 2πf بالراديان في الثانية؛ وبالنسبة لـ 100 ميغاهرتز، فإن ω ≈ 6.283×10⁸ راديان/ثانية.

يقدم كل من (خان أكاديمي) و(HyperPhysics) الفترة والتردد كمقادير عكسية، وهي علاقة أساسية في التوقيت، ومعالجة الإشارات، وتحليل الرنين.

حساب الساعات وحساب الوقت للطاقة لفوتون مفرد تتناسب طردياً مع ترددها من خلال علاقة بلانك: E = h × f، حيث h هو ثابت بلانك، 6.62607015×10⁻³⁴ جول·ثانية (وهي قيمة دقيقة حددها إعادة تعريف النظام الدولي للوحدات لعام 2019، وفقاً للمكتب الدولي للأوزان والمقاييس والمعهد الوطني للمعايير والتقنية). يمكنك أيضاً كتابتها بدلالة الطول الموجي على هيئة E = hc / λ.

مثال عملي: الضوء الأخضر عند 5.45×10¹⁴ هرتز (حوالي 550 نانومتر) يحمل طاقة E = 6.626×10⁻³⁴ × 5.45×10¹⁴ ≈ 3.61×10⁻¹⁹ جول لكل فوتون.

نظراً لأن الطاقة ترتفع مع التردد، فإن أشعة غاما تعتبر أكثر طاقة بكثير من موجات الراديو. تدعم هذه العلاقة التأثيرات الكهروضوئية، والتحليل الطيفي، وفيزياء الخلايا الشمسية كما هو موضح في موقع HyperPhysics.

عندما تدخل الموجة وسيطاً أكثر كثافة، يظل ترددها ثابتاً بينما تنخفض سرعتها وطولها الموجي. بالنسبة للضوء، الطول الموجي في الوسيط هو λ_medium = λ_vacuum / n، حيث n هو معامل الانكسار.

مثال عملي: الضوء الأحمر بطول 600 نانومتر عندما يدخل الزجاج بمعامل n = 1.5 ينخفض إلى 600 / 1.5 = 400 نانومتر، بينما يظل تردده دون تغيير لأن مصدر الضوء، وليس الوسيط، هو ما يحدد التردد.

سرعة الموجة في الوسيط هي v = c / n، لذا في الزجاج الذي معامل انكساره n = 1.5 يسافر الضوء بسرعة حوالي 2.0×10⁸ متر/ثانية. هذا هو سبب انكسار الضوء وتكيّف العدسات، وهو مبدأ مفصل بواسطة الموسوعة البريطانية (Encyclopaedia Britannica) وHyperPhysics. احرص دائماً على تحديد الوسيط عند الإبلاغ عن الطول الموجي.

تؤدي عمليات تحويل التردد إلى الطول الموجي إلى تحفيز الهندسة العملية عبر العديد من المجالات:

• في تصميم الراديو والهوائيات، يساوي طول هوائي الربع موجي λ/4؛ بالنسبة لنطاق واي فاي 5 جيجاهرتز، يكون الطول الموجي λ = 3×10⁸ / 5×10⁹ = 0.06 متر، لذا فإن عنصر الربع موجي يبلغ حوالي 1.5 سم، وفقاً لممارسة هوائيات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE).
• في اتصالات الألياف الضوئية، يتم اختيار نطاق الاتصالات 1550 نانومتر لأجل الحد الأدنى من التوهين في الزجاج.
• تستخدم الموجات فوق الصوتية الطبية موجات صوتية تتراوح بين 1-20 ميغاهرتز (أطوال موجية بمقياس المليمتر) لدقة تفاصيل الأنسجة.
• يقوم علماء الفلك بتصنيف المصادر حسب المنطقة الطيفية، ويقوم مهندسو الصوت بضبط العلاج الصوتي لأطوال موجات الجهير التي تبلغ عدة أمتار.

يعتمد كل تطبيق على نفس علاقة v = f × λ المطبقة عند سرعة الموجة الصحيحة للوسيط.

بينما يحسب التردد f عدد الدورات في الثانية، يصف العدد الموجي الدورات لكل وحدة مسافة. العدد الموجي الزاوي هو k = 2π / λ بالراديان لكل متر، والعدد الموجي الطيفي هو ν̃ = 1 / λ، وغالباً ما يُعطى بوحدة سم⁻¹.

مثال عملي: ضوء بطول 500 نانومتر له عدد موجي ν̃ = 1 / (500×10⁻⁷ سم) = 20,000 سم⁻¹.

يحظى العدد الموجي بشعبية واسعة في الكيمياء والتحليل الطيفي للأشعة تحت الحمراء لأنه يتناسب طردياً مع طاقة الفوتون، لذا فإن العدد الموجي الأعلى يعني طاقة أعلى. تربط العلاقات k = 2π / λ = 2πf / v الوصاف المكانية والزمنية ببعضها البعض. يشير المعهد الوطني للمعايير والتقنية (NIST) والاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية (IUPAC) إلى سم⁻¹ بوصفه وحدة الطيف القياسية، مما يجعل العدد الموجي بديلاً ملائماً لكل من الطول الموجي والطاقة.

هناك العديد من الأخطاء التي تعرقل حسابات التردد والطول الموجي:

• الخطأ الأكثر تكراراً هو خلط الوحدات قبل القسمة - مثل قسمة الأمتار في الثانية على الميغاهرتز دون تحويل الميغاهرتز إلى هرتز، مما يلقي بالإجابة بعيداً بمعامل مليون.
• خطأ آخر هو استخدام سرعة الضوء لمشاكل الصوت؛ فالصوت ينتقل بسرعة تقارب 343 متراً في الثانية في الهواء، وليس 3×10⁸ متراً في الثانية.
• ينسى العديد من المتعلمين أيضاً أن التردد يبقى ثابتاً عندما تعبر الموجة إلى وسيط جديد، فيقومون بإعادة حسابه بشكل غير صحيح من الطول الموجي المختصر.
• الخلط بين الفترة الزمنية (بالثواني) والتردد (بالهرتز) أمر شائع أيضاً؛ فهما مقلوبان وليسا متساويين.
• وأخيراً، تجنب تقريب سرعة الضوء (c) قبل الأوان - يوصي موقعا HyperPhysics وNIST بالحفاظ على الدقة الكاملة حتى الخطوة الأخيرة لمنع تفاقم الأخطاء.