حاسبة الوقت

تُجري حاسبة الوقت عمليات الجبر الخطي على المصفوفات المستطيلة من الأرقام.

من الجمع البسيط إلى العمليات المعقدة مثل ايجاد المعكوسات والاختزال الصفّي، تتعامل حاسبتنا مع جميع عمليات المصفوفات القياسية مع تفسيرات كاملة خطوة بخطوة.

• الجمع/الطرح يتطلب أبعاداً متساوية ويعمل عنصراً بعنصر.
• الضرب يتطلب أعمدة A = صفوف B.
• المحدد هو قيمة عددية تشير إلى إمكانية العكس.
• المعكوس يلغي الضرب (A × A⁻¹ = I).
• RREF يستخدم حذف غاوس-جوردان لحل الأنظمة الخطية.

المصفوفة هي صفيف مستطيل من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة، وتُكتب داخل أقواس وتُحدد أحجامها بأبعادها كعدد الصفوف في الأعمدة (على سبيل المثال، تحتوي المصفوفة 2×3 على صفين و3 أعمدة). يُشار إلى كل عنصر بموقعه A[i][j]، وهو ما يعني الرقم الموجود في الصف i والعمود j.

وفقاً لموسوعة بريتانيكا، تقوم المصفوفات بإضفاء الطابع الرسمي على أنظمة المعادلات الخطية والتحولات الخطية في كائن مدمج واحد.

تحتوي المصفوفة المربعة على صفوف وأعمدة متساوية، ويمتد قطريها الرئيسي من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين. تحتوي مصفوفة الوحدة I على أصفار وآحاد على هذا القطر وأصفار في أماكن أخرى، لتلعب الدور الذي يلعبه الرقم 1 في الضرب العادي.

لضرب المصفوفتين A وB، يكون كل عنصر C[i][j] هو حاصل الضرب القياسي للصف i من A مع العمود j من B، مع جمع A[i][k]×B[k][j] عبر k. يتم تحديد ذلك فقط عندما يساوي عدد الأعمدة في A عدد الصفوف في B، لذا فإن حاصل ضرب مصفوفة m×n في مصفوفة n×p ينتج عنه نتيجة m×p.

على سبيل المثال، [[1,2],[3,4]] × [[5,6],[7,8]] يعطي C[1][1] = 1×5 + 2×7 = 19، وإكمال العملية ينتج عنه [[19,22],[43,50]].

تؤكد أكاديمية خان أن ضرب المصفوفات ليس تبادلياً: فـ A×B نادراً ما يساوي B×A. وتكمن قاعدة صف في عمود وراء كيفية تكوين التحولات الخطية.

محدد مصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]] يساوي ad − bc؛ وبالنسبة لـ [[1,2],[3,4]] فهذا يعني (1×4) − (2×3) = 4 − 6 = −2.

بالنسبة لـ مصفوفة 3×3، تقوم بالتوسيع على طول صف أو عمود باستخدام المعاملات المساعدة، وضرب كل عنصر في مححدد الصغير 2×2 المتبقي بعد حذف صفه وعموده، مع تبديل الإشارات.

يُعرّف وولفرام ماثوورلد المحدد بأنه كمية قياسية توضح كيف يقوم التخطيط الخطي بتوسيع المساحة أو الحجم الموقع. ويعني محدد الصفر أن المصفوفة مفردة (غير قابلة للاستلاف) لأنها تضغط الفضاء إلى بعد أقل. يتم العثور على المحددات الأكبر بكفاءة من خلال اختزال الصفوف.

المعكوس A⁻¹ هو المصفوفة التي تحقق A × A⁻¹ = I، ولا توجد إلا عندما يكون المحدد غير صفري.

بالنسبة لمصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]]، فإن المعكوس هو (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]. بأخذ [[1,2],[3,4]] مع محدد −2، يكون المعكوس (1/−2) × [[4,−2],[−3,1]] = [[−2,1],[1.5,−0.5]].

للمصفوفات الأكبر، قم بتوسيع A بالمصفوفة الواحدية لتكوين [A | I] وقم بتطبيق حذف غوص-جوردان حتى تصبح الكتلة اليسرى I، تاركاً A⁻¹ على اليمين.

يشير وولفرام ماثوورلد إلى أن المعكوس يحل مباشرة Ax = b كـ x = A⁻¹b، وهذا هو سبب مركزية قابلية الانعكاس للأنظمة الخطية.

حذف غاوس يحل الأنظمة الخطية من خلال تطبيق ثلاث عمليات صف أساسية حتى تصل المصفوفة إلى شكل درج الصف:

• تبديل الصفوف
• قياس صف بثابت غير صفري
• إضافة مضاعف لصف واحد إلى آخر

الاستمرار حتى يصبح كل محور 1 ويكون العنصر الوحيد غير الصفري في عموده ينتج عنه شكل صف المصفوفة المختزل (RREF)، وهو هدف حذف غاوس-جوردان.

توضح أكاديمية خان أن RREF يجعل مجموعة حلول النظام قابلة للقراءة الفورية. ونظراً لأن هذه عمليات لا تغير مجموعة الحلول هذه أبداً، فإن RREF هي الطريقة العامة الأكثر موثوقية لحل المعادلات، وحساب الرتبة، وعكس المصفوفات، وهي مستقرة عددياً عند دمجها مع المحورية الجزئية.

رتبة المصفوفة هي عدد الصفوف المستقلة خطياً، والتي تساوي عدد الأعمدة المستقلة خطياً وعدد مواضع المحاور في RREF الخاص بها.

وفقاً لوولفرام ماثوورلد، تقيس الرتبة بُعد المساحة الممتدة بواسطة صفوف المصفوفة أو أعمدتها.

تكون المصفوفة المربعة n×n قابلة للاستلاف بالضبط عندما يكون لها رتبة كاملة n؛ وتشير أي رتبة أدنى إلى مصفوفة مفردة ومحدد صفري. تكشف الرتبة أيضاً عن عدد المعادلات في النظام التي تحمل معلومات جديدة حقاً مقابل كونها مجموعات زائدة عن الحاجة من معادلات أخرى.

في علوم البيانات، تشير الرتبة المنخفضة إلى ارتباط الأعمدة ارتباطاً وثيقاً، وهو ما تدعمه تقنيات مثل تحليل المكون الرئيسي وضغط المصفوفات.

تدعم المصفوفات مجموعة رائعة من التقنيات.

في الرسومات الحاسوبية والألعاب، تقوم مصفوفات التحويل بتدوير وقياس وإسقاط المشاهد ثلاثية الأبعاد على شاشة ثنائية الأبعاد؛ ويؤدي ضرب هذه المصفوفات إلى تركيب عدة تحولات في تحول واحد.

في التعلم الآلي، أوزان الشبكات العصبية هي مصفوفات، ويعتمد التدريب على ضرب المصفوفات الهائل المتسارع بواسطة وحدات معالجة الرسومات (GPUs).

إن علاقة حركة واحدة مثل المسافة = السرعة × الزمن بسيطة بما يكفي لتكون ضمن حساب الساعات أو ما شابه، لكن موسوعة بريتانيكا تشير إلى أن المصفوفات تتولى الأمر بمجرد ارتباط العديد من الكميات ببعضها في الفيزياء والاقتصاد، كما هو الحال في الدوائر الكهربائية والنماذج الاقتصادية المدخلة والمخرجة.

يستخدمها المهندسون للتحليل الإنشائي وطرق العناصر المحددة، بينما يستخدمها الإحصائيون لموائمة مصفوفات التباين المشترك لوصف العلاقات بين المتغيرات.

حتى أن خوارزمية PageRank الأصلية لشركة جوجل صاغت الويب بأكمله كمسألة قيم ذاتية ضخمة للمصفوفة.

المتجه الذاتي للمصفوفة المربعة A هو متجه غير صفري v لا يتغير اتجاهه عند ضربه في A، بحيث يكون A·v = λ·v، حيث القياسي λ هو القيمة الذاتية المقابلة.

يصف وولفرام ماثوورلد القيم الذاتية بأنها جذور كثير الحدود المميز det(A − λI) = 0.

هندسياً، تشير المتجهات الذاتية إلى المحاور التي يمدد فيها التحويل الخطي الفضاء أو يضغطه ببساطة بمعامل λ، دون تدوير هذا الاتجاه.

تدعم القيم الذاتية تحليل الاستقرار، وأنماط الاهتزاز في الهندسة، ومستويات الطاقة الكمومية، وتقليل الأبعاد مثل تحليل المكون الرئيسي. يساوي حاصل ضرب جميع القيم الذاتية المحدد، ومجموعها يساوي الأثر (مجموع عناصر القطر).

• الخطأ الأكثر تكراراً هو افتراض أن ضرب المصفوفات تبادلي — فـ A×B لا يساوي عادة B×A، وعكس الترتيب يعطي نتيجة مختلفة أو غير معرفة.
• خطأ آخر هو محاولة ضرب مصفوفات لا تتطابق أبعادها الداخلية؛ يجب أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B.
• غالباً ما يحاول الطلاب عكس مصفوفة ذات محدد صفري، وهو أمر مستحيل لأن هذه المصفوفة مفردة.
• عند نقل حاصل الضرب، تذكر أن الترتيب ينعكس: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
• أثناء اختزال الصفوف، فإن نسيان تطبيق عملية على كل عنصر في الصف، أو القسمة على محور صفري، يؤدي إلى إفساد النتيجة.
• وأخيراً، فإن خلط مؤشرات الصفوف والأعمدة عند قراءة A[i][j] ينتج عنه إجابات خاطئة بصمت.