حاسبة طاقة الوضع

طاقة وضع الجاذبية = mgh، حيث m هي الكتلة (kg)، وg هو تسارع الجاذبية (9.81 m/s² على الأرض)، وh هو الارتفاع عن نقطة المرجع (بالأمتار). وتعد نقطة المرجع اختيارية — فالمهم هو التغير في الارتفاع.

تتمتع سيارة كتللتها 1,000 kg عند قمة تلة ارتفاعها 50 متراً بطاقة وضع PE = 1,000 × 9.81 × 50 = 490,500 J (490.5 kJ) بالنسبة للقاع. وتتحول هذه الطاقة إلى طاقة حركية أثناء هبوط السيارة — وعند القاع (بافتراض عدم وجود احتكاك)، تصل إلى سرعة v = √(2gh) = √(2 × 9.81 × 50) = 31.3 m/s (70 mph).

تستغل السدود الكهرومائية هذا المبدأ: إذ يعمل تدفق المياه الهابطة عبر ارتفاع معين على إدارة التوربينات. يولد ارتفاع سد هوفر البالغ 180 متراً طاقة هائلة لكل متر مكعب من الماء: PE = 1,000 × 9.81 × 180 = 1,765,800 J لكل m³.

طاقة الوضع المرونية = ½kx²، حيث k هو ثابت النابر (N/m أو lb/in) وx هي الإزاحة عن موضع الاتزان. وهذه العلاقة تربيعية — فمضاعفة الانضغاط تضاعف الطاقة المخزونة أربعة أضعاف.

نابر بثابت k = 500 N/m مضغوط بمقدار 0.1 m يخزن PE = ½ × 500 × 0.01 = 2.5 J. ونظام تعليق السيارة (k ≈ 25,000 N/m) المضغوط بمقدار 5 cm عند الاصطدام بمطب يخزن PE = ½ × 25,000 × 0.0025 = 31.25 J لكل نابر. وتخزن الأقواس والأقواس المستعرضة طاقة وضع مرونية — فالقوس المركب بثابت k ≈ 2,500 N/m عند سحب 0.7m يخزن نحو 612 J، وهو ما يكفي لإطلاق سهم بسرعة 90+ m/s.

يحدد ثابت النابر العلاقة بين القوة والإزاحة: F = kx (قانون هوك) — فالنابر الأكثر صلابة يتطلب قوة أكبر لضغطه ولكنه يخزن طاقة أكبر لكل وحدة إزاحة.

ينص مبدأ حفظ الطاقة على أن الطاقة الكلية (الحركية + الكامنة) تظل ثابتة في النظام المعزول (مع إهمال الاحتكاك ومقاومة الهواء). عند قمة تلة الأفعوانية، تكون الطاقة في الغالب طاقة كامنة (طاقة وضع)؛ وعند القاع، تتحول في الغالب إلى طاقة حركية.

يتيح هذا المبدأ إجراء حسابات بسيطة: فالكرة التي تسقط من ارتفاع 5 أمتار تصل سرعتها إلى v = √(2 × 9.81 × 5) = 9.9 م/ث عند مستوى الأرض بغض النظر عن كتلتها. ومع وجود الاحتكاك، يتحول جزء من الطاقة إلى حرارة — حيث تصل الأفعوانية الحقيقية عند قاع منحدر يبلغ 30 متراً إلى حوالي 85-90% من السرعة النظرية بسبب الفقد الناتج عن الاحتكاك ومقاومة الهواء.

في الهندسة، يعد تحليل طاقة الوضع أمراً بالغ الأهمية من أجل:

• تحديد حجم المضخات (يجب أن تتغلب على طاقة الوضع التثاقلية للمياه المراد رفعها)
• تصميم أنظمة السلامة (الطاقة التي تمتصها حواجز التصادم)
• تخزين الطاقة (تخزن الطاقة الكهرومائية بالضخ الطاقة كطاقة وضع تثاقلية عن طريق ضخ المياه إلى أعلى التل خلال فترات انخفاض الطلب)

لحساب طاقة الوضع التثاقلية، اضرب الكتلة في تسارع الجاذبية في الارتفاع: PE = m × g × h. تُقاس الكتلة m بالكيلوغرام، وg هو تسارع الجاذبية المحلي (9.81 م/ث² بالقرب من سطح الأرض)، وh هو الارتفاع بالأمتار فوق نقطة المرجعية التي تختارها. وتكون النتيجة بالجول (J).

على سبيل المثال، كتاب كتلته 2 كجم موضوع على رف يرتفع 3 أمتار يخزن طاقة وضع PE = 2 × 9.81 × 3 = 58.86 J بالنسبة للأرض. ونظراً لأن الصيغة خطية لكل متغير، فإن مضاعفة الارتفاع تضاعف الطاقة المخزنة. يمكنك استخدام الحاسبة العلمية لتسهيل هذه العمليات الحسابية.

يشير موقع HyperPhysics (جامعة ولاية جورجيا) إلى أن الصيغة mgh هي تقريب قريب من السطح حيث يتم التعامل مع g كقيمة ثابتة.

الوحدة الدولية لقياس طاقة الوضع هي الجول (J)، ويعرفها المكتب الدولي للأوزان والمقاييس (BIPM) بأنها كيلوغرام-متر مربع لكل ثانية مربعة (1 J = 1 kg·m²/s²)، وهو ما يعادل نيوتن-متر واحد. في صيغة PE = mgh، تتحد الوحدات لتصبح kg × (m/s²) × m = kg·m²/s² = J، مما يؤكد أن المعادلة متسقة من حيث الأبعاد. ويحافظ المعهد الوطني للمعايير والتقنية (NIST) على الجول باعتباره وحدة الطاقة المتسقة في النظام الدولي للوحدات.

تشمل التحويلات الشائعة ما يلي:

• 1 J = 0.7376 ft·lb
• 1 calorie = 4.184 J
• 1 kilowatt-hour = 3.6 × 10⁶ J
• 1 electron-volt = 1.602 × 10⁻¹⁹ J

احرص دائماً على إبقاء الكتلة بالكيلوغرام والطول بالأمتار لتظهر النتيجة مباشرة بالجول دون الحاجة إلى عوامل تحويل إضافية.

تتيح لك إعادة ترتيب الصيغة PE = mgh إيجاد أي متغير مجهول بمفرده.

• لإيجاد الارتفاع، اقسم الطاقة على حاصل ضرب الكتلة والجاذبية: h = PE / (m × g). على سبيل المثال، جسم كتلته 3 كجم يمتلك طاقة وضع قدرها 147.15 J على الأرض يقع على ارتفاع h = 147.15 / (3 × 9.81) = 5 m.
• لإيجاد الكتلة، استخدم الصيغة m = PE / (g × h).
• لإيجاد الجاذبية المحلية، استخدم الصيغة g = PE / (m × h).

نظراً لأن كل متغير يظهر مرفوعاً للقوة الأولى، فإن عمليات العكس هذه هي مجرد قسمة بسيطة. توصي منصة خان أكاديمي بالتحقق من الوحدات بعد إعادة الترتيب — حيث يجب أن تكون وحدة الارتفاع بالمتر، والكتلة بالكيلوغرام — لتفادي الأخطاء الجبرية قبل اعتماد الرقم النهائي.

عندما يسقط جسم سقوطاً حراً، تتحول طاقة الوضع التثاقلية إلى طاقة حركية بينما تظل الطاقة الميكانيكية الكلية ثابتة. وبمساواة الطاقتين، mgh = ½mv²، تُحذف الكتلة من الطرفين وتصبح سرعة الاصطدام v = √(2gh) — وهي مستقلة تماماً عن الكتلة.

الحجر الذي يسقط من ارتفاع 20 m على الأرض يصل إلى سرعة v = √(2 × 9.81 × 20) = √392.4 ≈ 19.81 m/s (حوالي 71 كم/ساعة) عند ملامسته للأرض، مع إهمال مقاومة الهواء. وإذا أردت حساب الوقت المستغرق في السقوط، يمكنك استخدام معادلات الحركة أو الاستعانة بـ حاسبة الوقت المخصصة لذلك.

تدرج الموسوعة البريطانية (Encyclopaedia Britannica) هذا تحت مفهوم حفظ الطاقة الميكانيكية: حيث تنتقل الطاقة بين أشكال مختلفة بدلاً من فنائها أو استحداثها من العدم. وفي الواقع، يؤدي السحب والاحتكاك إلى تبديد بعض الطاقة على شكل حرارة وصوت، لذا تكون السرعات المقاسة أقل قليلاً من القيمة المثالية.

تتناسب طاقة الوضع التثاقلية طردياً مع الجاذبية السطحية المحلية g، لذا فإن نفس الكتلة عند نفس الارتفاع تخزن طاقة مختلفة على كل كوكب. تشير مراجع المعهد الوطني للمعايير والتقنية (NIST) والمراجع الفلكية إلى أن g ≈ 1.62 m/s² على القمر، و3.72 m/s² على المريخ، و9.81 m/s² على الأرض، و24.79 m/s² على المشتري.

وبناءً على ذلك، فإن جسماً كتلته 5 kg يرتفع 10 m يخزن طاقة قدرها:

• 81 J على القمر
• 186 J على المريخ
• 490.5 J على الأرض
• 1,239.5 J على المشتري

تبلغ قيمة الطاقة على القمر حوالي 16.5% من قيمتها على الأرض لأن 1.62 / 9.81 ≈ 0.165. وهذا هو السبب في أن رواد الفضاء يمكنهم رفع أحمال ثقيلة إلى ارتفاعات شاهقة على القمر باستخدام طاقة أقل بكثير، ولماذا يؤدي السقوط نفسه إلى ارتطام أخف وطأة.

تُحسب طاقة الوضع المرنة باستخدام الصيغة PE = ½ × k × x²، حيث k هو ثابت النابض بالنيوتن لكل متر (N/m) وx هو الإزاحة عن موضع الاتزان بالأمتار. ونظراً لأن الطاقة تعتمد على x²، فإن تمديد النابض أو ضغطه لضعف المسافة يخزن أربعة أضعاف الطاقة.

النابض الذي يبلغ ثابته k = 800 N/m والمضغوط بمقدار 0.05 m يخزن طاقة وضع PE = ½ × 800 × (0.05)² = ½ × 800 × 0.0025 = 1.0 J. وتتبع قوة الإرجاع المرتبطة به قانون هوك، F = kx، كما هو موضح في موقع HyperPhysics.

تكون طاقة الوضع المرنة موجبة دائماً سواء كان النابض ممدداً أو مضغوطاً، لأن x² لا يمكن أن تكون سالبة أبداً — وهي نقطة تؤكد عليها منصة خان أكاديمي للمبتدئين.

يدعم تحليل طاقة الوضع العديد من الأنظمة الهندسية:

• تخزين الطاقة الكهرومائية بالضخ يخزن طاقة الوضع التثاقلية عن طريق ضخ المياه إلى أعلى التل خلال فترات انخفاض الطلب وإطلاقها عبر التوربينات في أوقات الذروة — حيث يمنح خزان بارتفاع 300 m كل متر مكعب طاقة وضع PE = 1,000 × 9.81 × 300 = 2,943,000 J.
• يستخدم مصممو الأفعوانيات تلة الرفع بالسلاسل كمستودع لطاقة الوضع يغذي كل منحدر وحلقة دوران.
• تخزن الأنظمة القائمة على النوابض طاقة وضع مرنة في نظام تعليق المركبات، وزنبركات الساعات، وأقواس الرماية، والمشابك الميكانيكية.
• تم تصميم حواجز التصادم ورغوة التعبئة لامتصاص الطاقة الحركية عن طريق تحويلها إلى تشوه هيكلي.

تشير مصادر Britannica وIEEE إلى أن أنظمة البطاريات والمكثفات تخزن الطاقة كهربائياً، مما يكمل مخازن طاقة الوضع الميكانيكية هذه في الشبكات الحديثة.

• الخطأ الأكثر شيوعاً هو خلط الوحدات — مثل استخدام الغرام بدلاً من الكيلوغرام، أو السنتيمتر بدلاً من المتر — مما يؤدي إلى انحراف نتيجة الجول بآلاف الأضعاف. قم بالتحويل إلى الكيلوغرام والمتر قبل تطبيق الصيغة PE = mgh، ويمكنك الاستعانة بـ الحاسبة العلمية لضمان دقة الحسابات.

• الخطأ الثاني هو استخدام g = 9.81 m/s² للمسائل التي لا تتعلق بالأرض؛ حيث يحتاج القمر والمريخ إلى قيمهما الخاصة.

• بالنسبة لطاقة الوضع المرنة، من الشائع نسيان تربيع الإزاحة، أو تربيع جزء منها فقط: تتطلب الصيغة PE = ½kx² أن تكون x² بالمتر المربع.

• هفوة أخرى هي التعامل مع الارتفاع المرجعي كقيمة ثابتة بدلاً من نقطة صفرية مختارة — فالذي يهم فقط هو التغير في الارتفاع.

• أخيرًا، تفترض سرعة الاصطدام v = √(2gh) عدم وجود مقاومة للهواء، لذا فإن السرعات الحقيقية المقاسة تكون أقل.