حاسبة حركة المقذوفات

تعد المعادلات الأربع الأساسية (بافتراض الإطلاق من مستوى الأرض وعدم وجود مقاومة للهواء) هي:

• المدى R = v₀²sin(2θ)/g — ويكون في أقصاه عند θ = 45°.
• أقصى ارتفاع H = v₀²sin²(θ)/(2g).
• زمن التحليق T = 2v₀sin(θ)/g.

تقوم هذه المعادلات بتحليل سرعة الإطلاق إلى مركبتين: تظل المركبة الأفقية v_x = v₀cos(θ) ثابتة طوال فترة الطيران؛ بينما تتناقص المركبة الرأسية v_y = v₀sin(θ) - gt حتى تصل إلى الصفر عند القمة، ثم تزداد باتجاه الأسفل.

عند أي لحظة زمنية t: الموضع الأفقي x = v₀cos(θ)t، والموضع الرأسي y = v₀sin(θ)t - ½gt².

مثال: قذيفة مدفع أُطلقت بسرعة 100 متر/ثانية وبزاوية 45 درجة: R = 100²×sin(90°)/9.81 = 1,019 م، H = 100²×sin²(45°)/(2×9.81) = 255 م، T = 2×100×sin(45°)/9.81 = 14.4 ثانية.

في الفراغ، يحدث أقصى مدى عند زاوية 45 درجة لأي سرعة إطلاق. لكن الزوايا المتكاملة (مثل 30 درجة و60 درجة) تنتج نفس المدى — حيث تعطي الزاوية 30 درجة مساراً مسطحاً وسريعاً بينما تعطي الزاوية 60 درجة مساراً مرتفعاً وبطيئاً.

عند الإطلاق من مرتفع (منحدر أو تلة)، تنخفض الزاوية المثالية عن 45 درجة لأن المقذوف يقطع مسافة رأسية إضافية. من ارتفاع h، تكون الزاوية المثالية ≈ arctan(v₀/√(v₀² + 2gh))، وتقترب من 45 درجة كلما زادت v₀ مقارنة بـ h.

ومع وجود مقاومة الهواء، تنخفض الزاوية المثالية إلى 30-40 درجة لمعظم المقذوفات الحقيقية لأن المسارات المرتفعة تقضي وقتاً أطول في الارتفاعات العالية حيث تتراكم مقاومة الهواء.

يجب أن تأخذ حسابات المدفعية في الاعتبار أيضاً:

• الرياح،
• تأثير كوريوليس (دوران الأرض)،
• والخصائص الديناميكية الهوائية للقذيفة.

التطبيقات الرياضية: رمية كرة السلة الحرة (السرعة الابتدائية تقارب 7 م/ث، الزاوية تقارب 52 درجة، ارتفاع الإطلاق حوالي 2.4 م، السلة على ارتفاع 3.05 م، والمسافة 4.6 م) لها نطاق ضيق جداً من الزوايا والسرعات الناجحة. أما ضربة الغولف (السرعة الابتدائية 70 م/ث، الزاوية 10-12 درجة مع دوران خلفي) فتستفيد من تأثير ماغنوس (الرفع الناتج عن الدوران) لتحقيق مدى يتجاوز 250 متراً — وهو ما يتجاوز بكثير التوقعات في الفراغ عند تلك الزاوية.

تؤثر مقاومة الهواء (قوة السحب Fd = ½ρv²CdA) بشكل كبير على المسار: فكرة البيسبول التي تُضرب بسرعة 45 م/ث وبزاوية 35 درجة تقطع حوالي 120 متراً في الفراغ، ولكنها تقطع 95-100 متر فقط مع وجود مقاومة الهواء — أي بانخفاض قدره 20%. تزداد قوة السحب مع مربع السرعة، لذا فإن المقذوفات الأسرع تتأثر بشكل أكبر نسبياً.

تحدث السرعة النهائية عندما تتساوى قوة السحب مع قوة الجاذبية:

• حوالي 30 م/ث لكرة البيسبول،
• 55 م/ث للمظلي (في وضعية الانتشار الأفقي)،
• و90 م/ث للمظلي (في وضعية الهبوط بالرأس لأسفل).

لحساب المدى الأفقي على أرض مستوية، استخدم الصيغة R = v₀²·sin(2θ)/g، حيث v₀ هي السرعة الابتدائية، وθ هي زاوية الإطلاق، وg هو تسارع الجاذبية (9.81 م/ث² على الأرض).

• أولاً، قم بتربيع السرعة الابتدائية،
• ثم اضرب الناتج في جيب ضعف زاوية الإطلاق،
• واقسم النتيجة على g.

على سبيل المثال، كرة أُطلقت بسرعة 25 م/ث وبزاوية 30 درجة: R = 25² × sin(60°) / 9.81 = 625 × 0.8660 / 9.81 ≈ 55.2 متراً. يوضح حد ضعف الزاوية سبب إعطاء الزاويتين 30 و60 درجة نفس المدى.

يشتق موقع HyperPhysics (جامعة ولاية جورجيا) هذه النتيجة من معادلات الحركة الأفقية والرأسية المستقلة.

تستخدم حركة المقذوفات الوحدات الأساسية والمشتقة للنظام الدولي (SI) المعتمدة من المكتب الدولي للأوزان والمقاييس (BIPM) والمعهد الوطني للمعايير والتقنية (NIST).

• تُقاس السرعة (v₀) بالمتر في الثانية (م/ث)،
• وزاوية الإطلاق (θ) بالدرجات أو الراديان،
• والمسافة والارتفاع (R, H) بالمتر (م)،
• وزمن التحليق (T) بالثواني (ث) (ويمكن تحويله لتسهيل حساب الوقت بالدقائق).

أما تسارع الجاذبية g فوحدته هي المتر لكل ثانية مربعة (م/ث²)، وقيمته القياسية هي 9.80665 م/ث² وفقاً لـ NIST.

إن الحفاظ على اتساق جميع الكميات بالوحدات الدولية يضمن أن تعطي المعادلات نتائج مباشرة بالمتر والثانية. إذا قمت بإدخال السرعة بوحدة كم/ساعة أو قدم، فقم بتحويلها أولاً: 1 كم/ساعة = 0.2778 م/ث، و1 قدم = 0.3048 م، وإلا ستكون النتائج غير متناسقة من حيث الأبعاد.

سرعة الارتطام هي السرعة الإجمالية للمقذوف لحظة هبوطه، ويتم حسابها بدمج مركبتي السرعة الأفقية والرأسية باستخدام نظرية فيثاغورس: v = √(vₓ² + v_y²).

تظل المركبة الأفقية ثابتة عند vₓ = v₀·cos(θ)، بينما تكون المركبة الرأسية عند الهبوط v_y = v₀·sin(θ) − g·t.

بالنسبة لجسم يسقط ببساطة من ارتفاع h (حيث θ = 0 و v₀ = 0)، تتبسط سرعة الارتطام إلى v = √(2gh): فإذا سقط من ارتفاع 45 متراً، تكون v = √(2 × 9.81 × 45) = √882.9 ≈ 29.7 م/ث.

توضح أكاديمية خان أنه في الفراغ، تتساوى سرعة الإطلاق مع سرعة الهبوط عندما يتطابق ارتفاع الإطلاق والهبوط، نظراً لقانون حفظ الطاقة.

في حركة المقذوفات، يتم تحليل الاتجاهين الأفقي والرأسي بشكل منفصل لأن الجاذبية تؤثر رأسياً فقط.

تكون السرعة الأفقية vₓ = v₀·cos(θ) ثابتة (لعدم وجود قوة أفقية تؤثر في الفراغ)، وبالتالي يزداد الموضع الأفقي خطياً: x = v₀·cos(θ)·t. أما رأسياً، فتنتج الجاذبية تسارعاً ثابتاً نحو الأسفل g، مما يعطي المعادلة y = v₀·sin(θ)·t − ½g·t².

هذا الاستقلال، الذي صاغه غاليليو لأول مرة وفسرته الموسوعة البريطانية بالتفصيل، يعني أن رصاصة تُطلق أفقياً ورصاصة أخرى تُسقط من نفس الارتفاع ستصلان إلى الأرض في نفس اللحظة.

يعامل موقع HyperPhysics المركبتين كمسألتين حركيتين أحاديتي البعد، والمتغير المشترك الوحيد بينهما هو الزمن t.

عندما يُطلق مقذوف من نقطة مرتفعة، يتم حساب الوقت الإجمالي للتحليق من خلال حل معادلة الموضع الرأسي 0 = h + v₀·sin(θ)·t − ½g·t² باستخدام الصيغة التربيعية: t = [v₀·sin(θ) + √((v₀·sin(θ))² + 2gh)] / g. حيث h هو ارتفاع الإطلاق فوق سطح الهبوط.

أما عند الإطلاق من مستوى الأرض (h = 0)، فإن هذه المعادلة تتبسط لتصبح الصيغة القياسية T = 2·v₀·sin(θ)/g.

ونظراً لأن المميز يزداد مع زيادة h، فإن الارتفاع الإضافي يزيد دائماً من زمن الطيران والمدى الأفقي معاً. الجذر الموجب فقط هو المقبول فيزيائياً، لأن المقذوف يهبط بعد إطلاقه.

تعرض أكاديمية خان هذا النهج التربيعي لحل مسائل الإطلاق من المنحدرات وأسطح المباني.

تُستخدم معادلات المقذوفات لنمذجة العديد من الأنشطة الواقعية.

• في كرة السلة، تتبع الرمية الحرة التي تُطلق بسرعة حوالي 7 م/ث وزاوية تقارب 52 درجة مساراً مكافئاً لتسقط في طوق يرتفع 3.05 م.
• في المقذوفات والمدفعية، يضبط الرماة زوايا الارتفاع باستخدام جداول المدى المشتقة من الصيغة R = v₀²·sin(2θ)/g، ثم يصححونها لمراعاة مقاومة الهواء والرياح ودوران الأرض (تأثير كوريوليس).
• يطبق مهندسو الهندسة المدنية والميكانيكية نفس قوانين الحركة لتصميم نافورات المياه، ومدى خراطيم الحريق، وإطلاق الطرود من أنظمة السيور الناقلة.
• يستخدم مهندسو الفضاء الجوي أساسيات حركة المقذوفات كخط أساس في الفراغ قبل إضافة قوى السحب والرفع الديناميكية الهوائية.

وتشير الموسوعة البريطانية إلى أن هذه النتائج المكافئة المثالية تظل التقريب الأولي الأساسي في علوم الرياضة والهندسة.

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين وضعيات وزوايا القياس.

• تضبط الحاسبة العلمية افتراضيًا على نظام الراديان، لذا يجب أن تستخدم sin(45°) وضع الدرجات أو قيمة الراديان 0.7854، وليس 45.
• خطأ آخر هو نسيان أن المركبة الرأسية فقط هي التي تتأثر بالجاذبية — فالسرعة الأفقية vₓ = v₀·cos(θ) لا تتغير أبدًا في الفراغ.
• يسيء الطلاب أيضًا استخدام الصيغة T = 2v₀sin(θ)/g عندما يختلف ارتفاع الإطلاق والهبوط؛ فهذا الاختصار يصلح فقط للأرض المستوية.
• إشارات الاتجاه مهمة أيضًا: تعامل مع التسارع لأسفل كقيمة −g باستمرار.
• أخيرًا، لا تساوِ بين أقصى ارتفاع ونصف المدى، وتذكر أن هذا النموذج يتجاهل مقاومة الهواء، وفقًا لافتراضات الحركة المثالية من NIST و HyperPhysics.

نظرًا لأن g تظهر في مقام كل صيغة للمقذوفات، فإن الجاذبية الأضعف تنتج رحلة أطول وأعلى وأبطأ. يتناسب المدى عكسيًا مع g: R = v₀²·sin(2θ)/g.

باستخدام القيم القياسية بأسلوب NIST:

• تبلغ جاذبية الأرض g حوالي 9.81 m/s²،
• وجاذبية القمر حوالي 1.62 m/s²،
• وجاذبية المريخ حوالي 3.72 m/s².

المقذوف الذي يتم إطلاقه بسرعة 20 m/s بزاوية 45° يقطع مسافة 40.8 m تقريبًا على الأرض ولكن حوالي 246.9 m على القمر (40.8 × 9.81 / 1.62) — أي أبعد بست مرات تقريبًا. يزداد حساب الوقت للتحليق وأقصى ارتفاع بنفس المعامل.

ولهذا السبب يتيح لك برنامج حساب الوقت والمقذوفات هذا تعديل قيمة g لنمذجة الظروف القمرية أو المريخية أو المخبرية المعدلة.