تُعد نظرية فيثاغورس حجر الأساس في هندسة المثلث القائم الزاوية: ففي أي مثلث قائم، يساوي مربع طول الوتر مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين (a² + b² = c²). تساعدك هذه الأداة في حساب أي ضلع مجهول — سواء كان الوتر أو أحد الضلعين الآخرين — كما تعمل كحاسبة للمسافة ثنائية الأبعاد باستخدام نفس الصيغة. تعرض الحاسبة خطوات الحل الجبري بالتفصيل، وتحسب مساحة المثلث (½ab)، والمحيط، والزوايا الحادة عبر ظل الزاوية العكسي (arctangent)، وتحدد ثلاثيات فيثاغورس الشهيرة مثل 3-4-5، و5-12-13، و8-15-17، و7-24-25، و9-40-41. إنها أداة مفيدة للواجبات المدرسية، وأعمال النجارة وهياكل البناء، وضبط زوايا الأساسات، والملاحة، وحساب مقادير المتجهات في الفيزياء، وتحديد مقاسات شاشات العرض قطريًا، وأي مهمة هندسية تؤول إلى مثلث قائم الزاوية. وإلى جانب الحاسبة العلمية، يقدم موقعنا أدوات متنوعة مثل حاسبة الوقت و برنامج حساب الوقت لتسهيل العمليات الحسابية اليومية.
أعد ترتيب المعادلة لإيجاد المجهول: c = √(a² + b²)، أو a = √(c² − b²)، أو b = √(c² − a²). عند حساب طول أحد الضلعين، يجب أن يكون الوتر أكبر من الضلع المعلوم.
a² + b² = c²
الوتر هو دائمًا الضلع الأطول، ويقع مقابل الزاوية القائمة (90 درجة).
ثلاثيات فيثاغورس الشائعة: 3-4-5، 5-12-13، 8-15-17، 7-24-25، 9-40-41، 20-21-29.
أي مضاعف لثلاثية فيثاغورس هو أيضًا ثلاثية فيثاغورس (مثل: 6-8-10، 9-12-15).
للتحقق من وجود زاوية قائمة في موقع العمل، قِس مسافة 3 أقدام و4 أقدام، فإذا كان القطر (الوتر) يساوي 5 أقدام تمامًا، فإن الزاوية قائمة (مربعة) تمامًا.
تمتد النظرية إلى الأبعاد الثلاثية: d = √(x² + y² + z²) لحساب أقطار الصندوق.
المسافة بين نقطتين (x₁,y₁) و(x₂,y₂): d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
حل أي مثلث قائم الزاوية في ثوانٍ معدودة. أدخل طولي أي ضلعين، واختر الضلع المجهول، لتبين لك الحاسبة الضلع الناقص بالإضافة إلى المساحة، والمحيط، والزوايا، مع حل كامل خطوة بخطوة. كما تدعم حساب المسافة ثنائية الأبعاد بين نقطتين. وإلى جانب هذه الأداة، نقدم في موقعنا مجموعة متنوعة من الأدوات المفيدة مثل الحاسبة العلمية، وأدوات حساب الوقت مثل برنامج حساب الوقت، حاسبة الوقت، وأدوات حساب ساعات العمل لتنظيم يومك بدقة.
في أي وقت يكون لديك فيه مثلث قائم الزاوية وتعرف طول ضلعين من أضلاعه الثلاثة.
وتشمل الاستخدامات الشائعة في الحياة العملية ما يلي:
الحلول الصحيحة للمعادلة a² + b² = c².
وتشمل الثلاثيات الأولية ما يلي:
كما أن أي مضاعف عددي لهذه الأرقام يمثل ثلاثية صالحة أيضاً، ولهذا السبب تصلح الأرقام 6-8-10 و 9-12-15 كذلك.
الـ وتر هو أطول ضلع في المثلث قائم الزاوية، ويقع مقابل الزاوية 90 درجة، ويمكنك حسابه باستخدام الصيغة c = √(a² + b²). قم بتربيع كل من ضلعي القائمة، ثم اجمع المربعين، ثم خذ الجذر التربيعي للناتج.
على سبيل المثال، لضلعين طولهما 6 و 8: c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. ولضلعين طولهما 5 و 12: c = √(25 + 144) = √169 = 13. وتكون النتيجة دائماً أكبر من أي من الضلعين الآخرين ولكنها أصغر من مجموعهما.
اضبط وضع الحاسبة على 'الوتر c (بمعلومية الضلعين a و b)'، وأدخل طولي الضلعين بنفس وحدة القياس، وستعطيك الحاسبة طول الوتر c بالإضافة إلى مساحة المثلث ومحيطه وزواياه الحادة.
هذا هو الاستخدام الأكثر شيوعاً للنظرية — مثل ضبط استقامة الزوايا القائمة، أو تحديد مقاس دعامة قطرية، أو حساب طول منحدر بناءً على ارتفاعه وامتداده الأفقي.
عندما تعرف طول الوتر وأحد الضلعين، يمكنك إعادة ترتيب صيغة النظرية لحساب الضلع المجهول: a = √(c² − b²). اطرح مربع الضلع المعلوم من مربع الوتر، ثم خذ الجذر التربيعي للناتج.
على سبيل المثال، لوتر طوله 13 وضلع طوله 5: a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. يجب أن يكون الوتر دائماً أكبر من الضلع المعلوم — فإذا كان c ≤ b، فلن يوجد مثلث قائم حقيقي وستنبهك الحاسبة إلى ذلك.
اختر وضع 'الضلع a' أو 'الضلع b'، وأدخل طولي الوتر والضلع المعلوم، وستعرض لك الأداة الضلع المجهول مع توضيح خطوات الحل الكاملة للمعادلة c² − b² خطوة بخطوة.
هذه هي الطريقة التي تحسب بها المسافة الآمنة لقاعدة السلم عن الحائط بناءً على طول السلم والارتفاع الذي يصل إليه.
إن صيغة المسافة ثنائية الأبعاد d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ما هي إلا تطبيق مستتر لنظرية فيثاغورس: حيث يمثل الفرق الأفقي (x₂ − x₁) والفرق الرأسي (y₂ − y₁) ضلعي القائمة لمثلث قائم الزاوية، وتكون المسافة المستقيمة بينهما هي الوتر.
المسافة من (1, 2) إلى (4, 6): d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. قم بتحويل الحاسبة إلى وضع 'المسافة بين نقطتين ثنائية الأبعاد'، وأدخل الإحداثيات الأربعة، وستعطيك المسافة الدقيقة.
هذا المبدأ هو أساس:
بمجرد معرفة الأضلاع الثلاثة، يمكن حساب مساحة ومحيط المثلث القائم مباشرة. ونظراً لأن ضلعي القائمة يلتقيان بزاوية 90 درجة، فإنهما يمثلان القاعدة والارتفاع، وبالتالي تكون المساحة ببساطة ½ × a × b — دون الحاجة لحساب المثلثات.
المثلث ذو الأبعاد 3-4-5 مساحته ½ × 3 × 4 = 6 وحدات مربعة ومحيطه 3 + 4 + 5 = 12. والمثلث ذو الأبعاد 6-8-10 مساحته ½ × 6 × 8 = 24 ومحيطه 24.
تعرض لك هذه الحاسبة المساحة والمحيط وكلتا الزاويتين الحادتين (باستخدام ظل الزاوية العكسي، مثل الزاوية A = arctan(a/b)) إلى جانب الضلع المجهول، مما يمنحك حلاً كاملاً للمثلث من مدخلين فقط. أما بالنسبة للمثلثات غير قائمة الزاوية، فإن حاسبة المثلثات الخاصة بنا تحسب المساحة والمحيط والزوايا نفسها باستخدام قانون الجيوب وجيوب التمام. وإذا كنت بحاجة لأدوات تنظيمية أخرى، فنحن نوفر أيضاً حاسبة الوقت و برنامج حساب الوقت لتسهيل مهامك اليومية، بالإضافة إلى أدوات متخصصة مثل حساب عدد الساعات والدقائق و حساب الوقت بالدقائق.
تحول هذه النظرية قياسين اعتياديين إلى طول قطري.
حجم شاشة التلفزيون أو الكمبيوتر هو طول قطرها: فالشاشة التي يبلغ عرضها 1.21 متر وارتفاعها 0.68 متر يكون قطرها √(1.21² + 0.68²) ≈ 1.39 متر، أي ما يعادل شاشة بحجم 55 بوصة تقريباً.
ويمثل قطر المستطيل وتر المثلث الناتج عن طوله وعرضه، لذا فإن الطول من الزاوية إلى الزاوية لإطار بنسبة 16:9 هو √(16² + 9²) ≈ 18.36 وحدة.
يستخدم النجارون طريقة 3-4-5 لـ ضبط استقامة زوايا الأساسات أو الأرضيات: حيث يقيسون 3 أقدام على طول أحد الحواف، و 4 أقدام على طول الحافة المتعامدة عليها، وإذا كان القطر بين هاتين العلامتين 5 أقدام تماماً، فإن الزاوية قائمة بالفعل. ويتيح استخدام مضاعفات أكبر مثل 6-8-10 أو 9-12-15 دقة أعلى في الجدران الطويلة.
يتيح لك عكس نظرية فيثاغورس اختبار ما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا:
هذه هي الطريقة التي تتأكد بها من أن الزاوية قائمة من خلال قياس الأطوال الثلاثة فقط.
كما تمتد النظرية لتشمل الأبعاد الثلاثية: فالـ قطر الفراغي لصندوق مستطيل بأبعاد x و y و z هو d = √(x² + y² + z²)، ويتم استنتاجه بتطبيق النظرية مرتين — الأولى عبر القاعدة، والثانية صعوداً إلى الزاوية المقابلة.
صندوق بأبعاد 3 × 4 × 12 يكون قطره الفراغي √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 وحدة، وهو أمر مفيد للتحقق مما إذا كان غرض طويل سيتسع بشكل قطري داخل الصندوق.
مثال تطبيقي لحساب الوتر: الضلعان 9 و 12 ← 9² + 12² = 81 + 144 = 225 ← c = √225 = 15.
مثال تطبيقي لحساب أحد الضلعين: الوتر 25، والضلع المعلوم 7 ← 25² − 7² = 625 − 49 = 576 ← a = √576 = 24.
تعرض لك الحاسبة كل خطوة من هذه الخطوات لتتمكن من متابعة الحل أو التحقق من المعادلات الرياضية بنفسك.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.