حاسبة القانون العام للمعادلة التربيعية
طبق القانون العام للمعادلة التربيعية x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a لإيجاد الحلول الدقيقة.
تصلح لأي معاملات مع شرح كامل خطوة بخطوة.
برنامج حل المعادلات التربيعية
يساعدك برنامج حل المعادلات التربيعية المجاني في إيجاد جذور أي معادلة تربيعية باستخدام القانون العام. احصل على المميز، وصيغة رأس المنحنى، ومحور التماثل، والصيغة التحليلية، وحلول كاملة خطوة بخطوة. يدعم الجذور الحقيقية والمركبة.
star
4.9
calendar_today
Updated: October 2026
auto_awesome
AI Insights
AI
حاسبة المعادلات التربيعية calculator
Equation
1x² - 5x + 6 = 0
Discriminant (Δ)
1
2 Real Roots
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
Quadratic Formula
x = (-b ± √Δ) / 2a
Solutions
x₁
3
x₂
2
Properties
Vertex (h, k)
(2.5, -0.25)
Axis of Symmetry
x = 2.5
Sum of Roots
5
Product of Roots
6
Forms
Factored:
(x - 3)(x - 2)
Vertex:
(x - 2.5)² - 0.25
Solution Steps
1. Δ = b² - 4ac = 25 - 24 = 1
2. x = (-(-5) ± √1) / 2(1)
3. x = (5 ± 1) / 2
4. x₁ = 3, x₂ = 2
lightbulb Tips
- •x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
- •Δ > 0: two real roots
- •Δ = 0: one repeated root
- •Δ < 0: complex roots
functions Reference
Discriminant (Δ = b²-4ac)
Δ > 0
Two real roots
Δ = 0
One repeated root
Δ < 0
Complex roots
Formulas
Vertex: (-b/2a, f(-b/2a))
Sum of roots: -b/a
Product of roots: c/a
How to Use the حاسبة المعادلات التربيعية
edit
أدخل المعاملات
أدخل قيم a و b و c في المعادلة ax² + bx + c = 0.
functions
عرض الجذور
شاهد الحلول x₁ و x₂ (حقيقية أو مركبة).
analytics
تحليل المعادلة
احصل على المميز، والرأس، ومحور التماثل، والصيغ المختلفة.
format_list_numbered
اتبع الخطوات
تعلم خطوات الحل الكاملة بالتفصيل.
The Formula
تقدم الحاسبة العلمية الحلول لأي معادلة تربيعية باستخدام القانون العام. يحدد المميز (Δ) ما إذا كانت الجذور حقيقية (Δ ≥ 0) أو مركبة (Δ < 0).
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
lightbulb Variables Explained
- a, b, c المعاملات في ax² + bx + c = 0
- Δ = b² - 4ac المميز (يحدد طبيعة الجذور)
- x₁, x₂ الجذران (الحلان)
tips_and_updates Pro Tips
1
إذا كان Δ > 0: يوجد جذران حقيقيان مختلفان
2
إذا كان Δ = 0: يوجد جذر حقيقي واحد مكرر (مربع كامل)
3
إذا كان Δ < 0: يوجد جذران مركبان مترافقان
4
صيغة رأس المنحنى: a(x - h)² + k حيث h = -b/2a
5
مجموع الجذرين = -b/a، وحاصل ضربهما = c/a
6
القطع المكافئ يفتح للأعلى إذا كان a > 0، وللأسفل إذا كان a < 0
حل أي معادلة تربيعية ax² + bx + c = 0 باستخدام القانون العام. احصل على الجذور الحقيقية أو المركبة، والمميز، ورأس المنحنى، ومحور التماثل، وحلول مفصلة خطوة بخطوة.
حاسبة المميز
احسب المميز Δ = b² - 4ac لتحديد طبيعة الجذور قبل الحل.
- القيمة الموجبة تعني وجود جذرين حقيقيين
- الصفر يعني وجود جذر واحد
- القيمة السالبة تعني وجود جذور مركبة
حاسبة صيغة رأس المنحنى
حوّل الصيغة القياسية إلى صيغة رأس المنحنى a(x - h)² + k.
أوجد إحداثيات رأس المنحنى وافهم موقع القطع المكافئ واتجاهه.
حاسبة تحليل المعادلة التربيعية
احصل على الصيغة المحللة إلى عوامل a(x - r₁)(x - r₂) عند إيجاد الجذور.
ونظراً لأن الجذور غالباً ما تكون كسوراً وليست أعداداً صحيحة، فإن حاسبة الكسور تسهل تبسيطها، وتكون الصيغة المحللة مفيدة لفهم بنية المعادلة وحل المتباينات.
برنامج حل الجذور المركبة
عندما يكون المميز سالباً، أوجد الجذور المركبة المترافقة على الصورة a ± bi.
يتعامل برنامج الحل لدينا مع الحلول الحقيقية والتخيلية على حد سواء.
حلول خطوة بخطوة
تعلم كيفية حل المعادلات التربيعية مع شروح تفصيلية.
مثالية للطلاب الذين يدرسون الجبر ويستعدون للامتحانات.
ما هي المعادلة التربيعية؟
تعد المعادلة التربيعية معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية تُكتب بالصيغة القياسية ax² + bx + c = 0، حيث a و b و c ثوابت و a ≠ 0.
وبما أن أعلى أس للمجهول x هو اثنان، فإن للمعادلة حلين على الأكثر، يُطلق عليهما الجذور. ومن الناحية الهندسية، فإن تمثيلها البياني عبارة عن قطع مكافئ يفتح لأعلى عندما يكون a > 0 ولأسفل عندما يكون a < 0.
وفقاً لموقع Wolfram MathWorld، فإن مصطلح "quadratic" مشتق من الكلمة اللاتينية quadratus والتي تعني مربع. وتظهر المعادلات التربيعية في مجالات الجبر والفيزياء والتمويل، مما يجعلها واحدة من أكثر أنواع المعادلات دراسة في الرياضيات الأساسية.
كيفية حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام
لحل معادلة تربيعية، طبق القانون العام للمعادلة التربيعية x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a بعد كتابة المعادلة في صورتها القياسية وتحديد قيم a و b و c.
احسب أولاً المميز b² - 4ac، ثم عوض في القانون العام واحسب كلا الحالتين (الجمع والطرح). على سبيل المثال، المعادلة 2x² - 4x - 6 = 0 تعطي مميزاً قيمته 16 + 48 = 64، وبالتالي x = (4 ± 8) / 4، مما ينتج عنه x = 3 و x = -1.
وتشير منصة خان أكاديمي (Khan Academy) إلى أن هذا القانون يصلح لكل المعادلات التربيعية، على عكس التحليل إلى عوامل أو إكمال المربع اللذين يعتمدان على الحالة. ويتم استنتاج هذا القانون عن طريق إكمال المربع للصيغة العامة.
شرح طريقة إكمال المربع
تقوم طريقة إكمال المربع بإعادة كتابة المعادلة التربيعية على صورة ثلاثي حدود مربع كامل مضافاً إليه ثابت، مما يحول المعادلة ax² + bx + c = 0 إلى صيغة رأس المنحنى a(x - h)² + k = 0.
بالنسبة للمعادلة x² + 6x + 5 = 0، اجمع واطرح (6/2)² = 9 للحصول على (x + 3)² - 4 = 0، وبالتالي (x + 3)² = 4 و x = -1 أو x = -5.
وتصف الموسوعة البريطانية (Encyclopaedia Britannica) هذه التقنية الكلاسيكية بأنها الأساس لاستنتاج القانون العام للمعادلة التربيعية نفسه. وإلى جانب الحل، يكشف إكمال المربع عن رأس القطع المكافئ مباشرة، مما يجعله قيماً للتمثيل البياني وحساب تكامل الدوال الكسرية في التفاضل والتكامل.
تطبيقات المعادلات التربيعية في الحياة الواقعية
تُستخدم المعادلات التربيعية لنمذجة العديد من مواقف الحياة الواقعية التي تشمل المساحة والحركة والتحسين.
- في الفيزياء، يتبع ارتفاع المقذوف المعادلة h = -½gt² + v₀t + h₀، وهي معادلة تربيعية بدلالة الزمن تكشف جذورها عن وقت اصطدام الجسم بالأرض.
- يستخدمها المهندسون لتحديد أبعاد المساحات المستطيلة.
- يستخدمها الاقتصاديون لتحديد الأسعار التي تحقق أقصى قدر من الأرباح حيث تمثل الإيرادات قطعاً مكافئاً.
وفقاً للمكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتقنية (NIST)، فإن جذور متعددات الحدود تشكل أساس التحليل العددي ومعالجة الإشارات. ويوضح موقع Wolfram MathWorld أن تماثل القطع المكافئ، الذي يمثله محور التماثل x = -b/(2a), يجعل المعادلات التربيعية مثالية لوصف الأطباق العاكسة، والمصابيح الأمامية، وهوائيات الأقمار الصناعية.
الأخطاء الشائعة عند حل المعادلات التربيعية
الخطأ الأكثر شيوعاً هو تطبيق القانون العام للمعادلة التربيعية قبل إعادة كتابة المعادلة في الصيغة القياسية ax² + bx + c = 0، بحيث تكون جميع الحدود في طرف واحد وتساوي الصفر.
- خطأ متكرر آخر هو التعامل الخاطئ مع الإشارات: قيمة b في المعادلة x² - 5x + 6 هي -5 وليست 5، مما يغير قيمة -b إلى +5.
- ينسى الطلاب أيضاً رمز ± ويذكرون جذراً واحداً فقط، أو يسقطون المقام 2a من تحت كلا الحدين.
- عندما يكون المميز سالباً، لا تستنتج أنه "لا يوجد حل"، بل تكون الجذور مركبة مترافقة، كما توضح منصة خان أكاديمي.
أخيراً، تحقق دائماً من صحة الجذور عن طريق تعويضها مرة أخرى في المعادلة الأصلية.
Frequently Asked Questions
sell
Tags
verified
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.