حاسبة الانحراف المعياري

يكمن الاختلاف الرئيسي في المقام: حيث يقسم الانحراف المعياري للعينة على (n-1) بينما يقسم الانحراف المعياري للمجتمع على n.

استخدم الانحراف المعياري للعينة عندما تكون بياناتك جزءًا من مجتمع أكبر (وهو الأمر الأكثر شيوعًا في السيناريوهات الواقعية).

استخدم الانحراف المعياري للمجتمع فقط عندما تتوفر لديك بيانات لكل فرد من أفراد المجتمع بأكمله الذي تدرسه.

بالنسبة لـ المجتمع: σ = √[Σ(xi - μ)² / N]، حيث μ هو متوسط المجتمع و N هو حجم المجتمع.

بالنسبة لـ العينة: s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)]، حيث x̄ هو متوسط العينة و n هو حجم العينة.

يُطلق على القسمة على (n-1) في صيغة العينة اسم تصحيح بيسل، وهو يقدم تقديرًا غير متحيز للانحراف المعياري للمجتمع.

يساعدك الانحراف المعياري على فهم مدى تباين البيانات.

في التوزيع الطبيعي، تقع حوالي 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، و 95% ضمن انحرافين معياريين، و 99.7% ضمن ثلاثة انحرافات معيارية (قاعدة 68-95-99.7).

سواء كنت بحاجة إلى حساب الوقت بالدقائق أو حساب الساعات أو مقارنة مجموعات بيانات مختلفة، فإن فهم التباين يمنحك رؤية أدق للنتائج.

يُعد الانحراف المعياري مقياسًا لمدى تشتت مجموعة من الأرقام حول متوسطها الحسابي. فهو يجيب على السؤال التالي: ما هو متوسط المسافة التي تبعدها كل نقطة بيانات عن المركز؟

ويعني الانحراف المعياري الصغير أن القيم تتجمع بشكل وثيق حول المتوسط، بينما يعني الانحراف المعياري الكبير أنها منتشرة على نطاق واسع.

وفقًا للموسوعة البريطانية (Encyclopaedia Britannica)، فإن الانحراف المعياري هو مقياس التشتت الأكثر استخدامًا في الإحصاء لأنه يُعبر عنه بنفس وحدات البيانات الأصلية، على عكس التباين. وهو يدعم كل شيء بدءًا من مراقبة الجودة إلى التمويل، مما يتيح لك مقارنة الاتساق عبر مجموعات البيانات المختلفة بلمحة سريعة.

لحساب الانحراف المعياري يدويًا، اتبع خمس خطوات:

• أولاً، أوجد المتوسط الحسابي بجمع كل القيم وقسمتها على عددها، وهو تمامًا ما تفعله الحاسبة العلمية أو حاسبة المتوسط لدينا بنقرة واحدة إذا كنت تريد التحقق من هذا الرقم أولاً.
• ثانياً، اطرح المتوسط من كل قيمة للحصول على الانحرافات.
• ثالثاً، قم بتربيع كل انحراف حتى لا تلغي القيم السالبة القيم الموجبة.
• رابعاً، اجمع مربعات الانحرافات واقسمها على n للمجتمع الإحصائي بأكمله أو n-1 للعينة للحصول على التباين.
• خامساً، خذ الجذر التربيعي للتباين.

تقدم خان أكاديمي (Khan Academy) شرحاً وافياً لهذا الإجراء نفسه مع أمثلة عملية. تقوم هذه الحاسبة بأتمتة كل خطوة وعرض القيم الوسيطة حتى تتمكن من مراجعة عملك بنفسك.

لنأخذ مجموعة البيانات الكلاسيكية 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. المجموع هو 40 موزعة على 8 قيم، وبالتالي فإن المتوسط الحسابي هو 5.

الانحرافات عن المتوسط هي -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4، ومربعاتها هي 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16، ومجموعها يساوي 32.

بالنسبة لـ المجتمع الإحصائي، نقسم على N = 8 للحصول على تباين قدره 4، ويعطي الجذر التربيعي انحرافًا معياريًا للمجتمع يساوي 2 تمامًا. يظهر هذا المثال في إدخال الانحراف المعياري في موقع Wolfram MathWorld.

أما بالنسبة لـ العينة، فستقسم 32 على n-1 = 7، مما يعطي تباينًا يقارب 4.571 وانحرافًا معياريًا للعينة يقارب 2.138.

إن صيغة الانحراف المعياري للمجتمع هي sigma = sqrt(sum of (xi - mu)^2 / N)، حيث mu هو متوسط المجتمع و N هو عدد القيم.

أما صيغة العينة فهي s = sqrt(sum of (xi - xbar)^2 / (n-1))، حيث xbar هو متوسط العينة. الفرق الوحيد هو المقام.

يُعرّف دليل NIST/SEMATECH الإلكتروني للطرق الإحصائية كلا الصيغتين ويوضح أن القسمة على n-1، والمعروفة باسم تعديل بيسل (Bessel's correction)، تعطي تقديرًا غير متحيز لتباين المجتمع من خلال العينة.

التباين هو ببساطة القيمة الموجودة تحت الجذر التربيعي، لذا فإن الانحراف المعياري هو دائمًا الجذر التربيعي للتباين ويشترك مع البيانات الأصلية في نفس وحدات القياس.

يقسم الانحراف المعياري للعينة مجموع مربعات الانحرافات على n-1 بدلاً من n لأن العينة تميل إلى التقليل من تقدير الانتشار الحقيقي للمجتمع بأكمله.

عندما تحسب الانحرافات عن متوسط العينة بدلاً من متوسط المجتمع غير المعروف، فإنك تفقد درجة واحدة من درجات الحرية، وبالتالي يتم تقليل القاسم بمقدار واحد للتعويض. هذا التعديل، المسمى تعديل بيسل، ينتج تقديرًا غير متحيز لتباين المجتمع.

يؤكد دليل NIST الإلكتروني أن n-1 هو الخيار القياسي لبيانات العينة. استخدم n-1 كلما كانت أرقامك عبارة عن مجموعة فرعية مأخوذة من مجموعة أكبر، وهو ما يغطي معظم الاستبيانات والتجارب وجمع البيانات في العالم الحقيقي.

يظهر الانحراف المعياري في العديد من المجالات:

• في التمويل، يقيس تقلب عوائد الاستثمار، وبالتالي فإن الانحراف المعياري الأعلى يشير إلى مخاطر أعلى.
• في التصنيع ومراقبة الجودة، يوجه عمليات 'سيكس سيجما' (Six Sigma) التي تحافظ على المنتجات ضمن حدود التفاوت المسموح بها.
• في التعليم، يصف مدى تقارب درجات الاختبار حول متوسط الفصل الدراسي.
• في علوم الطقس والمناخ، يرصد تقلبات درجات الحرارة عبر الفصول.

تشير الموسوعة البريطانية إلى أن الانحراف المعياري أساسي للتوزيع الطبيعي، الذي يمثل عددًا لا يحصى من الظواهر الطبيعية. ونظرًا لأنه يُعبر عنه بنفس وحدات البيانات، يستخدمه المحترفون لمقارنة الاتساق، ووضع الحدود، وتحديد الملاحظات غير العادية. تمامًا كما تستخدم برنامج حساب الوقت أو حاسبة الوقت لإجراء حساب عدد الساعات أو حساب عدد الساعات والدقائق بدقة، فإن هذه الأداة تمنحك دقة متناهية في تحليل بياناتك الإحصائية.

بالنسبة للبيانات التي تتبع التوزيع الطبيعي (على شكل جرس)، تنص القاعدة التجريبية على أن حوالي 68% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، وحوالي 95% ضمن انحرافين معياريين، وحوالي 99.7% ضمن ثلاثة انحرافات معيارية.

لذا، إذا كان متوسط درجات الاختبار 70 والانحراف المعياري 10، فإن حوالي 68% من الطلاب يحصلون على درجات تتراوح بين 60 و 80.

يصف موقع Wolfram MathWorld هذا النمط بأنه خاصية محددة للتوزيع الطبيعي. تحول هذه القاعدة رقم الانتشار المجرد إلى احتمال ملموس، مما يساعدك على تقدير مدى شيوع أو ندرة قيمة معينة ضمن مجموعة البيانات الخاصة بك.

• الخطأ الأكثر شيوعًا هو الخلط بين صيغتي العينة والمجتمع باستخدام المقام الخاطئ؛ فالقسمة على n عندما يجب استخدام n-1 تقلل من حجم التشتت الفعلي لبيانات العينة.
• خطأ آخر هو نسيان تربيع الانحرافات، مما يجعل الفروق الإيجابية والسالبة تلغي بعضها البعض لتصل إلى الصفر.
• يقع البعض أيضًا في الخلط بين التباين والانحراف المعياري، حيث يذكرون القيمة المربعة بدلاً من جذرها التربيعي.
• تقريب المتوسط الحسابي في مرحلة مبكرة جدًا يؤدي إلى تراكم الأخطاء في كل خطوة لاحقة، لذا حافظ على الدقة الكاملة حتى النهاية.
• أخيرًا، يلخص الانحراف المعياري البيانات المتماثلة والقريبة من التوزيع الطبيعي بشكل جيد فقط؛ أما بالنسبة للبيانات شديدة الالتواء فقد يكون مضللاً، كما تحذر خان أكاديمي. وإذا كنت بحاجة إلى أدوات أخرى مثل حساب الوقت، أو تريد أن احسب ساعات العمل وتسهيل حساب ساعات العمل اليومية، أو إجراء حساب الساعات وحساب الوقت بالدقائق مع ميزة عد تنازلي، فإن موقعنا يوفر لك كافة هذه الحلول الحسابية المتكاملة.