حاسبة الوقت

ثلاث صيغ تغطي كل موقف.

• القاعدة والارتفاع: المساحة = ½ × b × h. اختر أي ضلع كقاعدة؛ h هي المسافة العمودية من الرأس المقابل إلى تلك القاعدة (أو امتدادها). هذه هي الصيغة التي يتم تدريسها أولاً في المدرسة والتي تلجأ إليها عندما يتم توفير الارتفاع أو يكون من السهل إسقاطه.
• صيغة هيرون: المساحة = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] مع s = (a+b+c)/2. استخدمها عندما تكون الأضلاع الثلاثة معروفة ولكن بدون ارتفاع — وهي شائعة في المسح، والملاحة، وأي مسألة محددة بأطوال الأضلاع وحدها. من الناحية العددية، تفقد صيغة هيرون الدقة بالنسبة للمثلثات النحيلة جداً (الإبرية) حيث يكاد يساوي أحد الأضلاع مجموع الضلعين الآخرين؛ تستخدم الحاسبة متغيراً مستقراً عددياً في هذه الحالات.
• المثلثية (مساحة ضلع-زاوية-ضلع): المساحة = ½ × a × b × sin(C) حيث C هي الزاوية بين الضلعين a وb. وهي مدمجة بشكل خاص عند إعطاء بيانات ضلع-زاوية-ضلع ومفيدة في الجبر الخطي والفيزياء (مقدار الضرب الاتجاهي).

تعطي الثلاثة نتائج متطابقة — فهي صور جبرية مختلفة لنفس الكمية الهندسية.

لا تشكل كل مجموعة من ثلاثة أطوال موجبة مثلثاً صالحاً. تنص متباينة المثلث على أن مجموع كل زوج من الأضلاع يجب أن يكون أكبر تماماً من الضلع الثالث: a + b > c، وa + c > b، وb + c > a، في نفس الوقت.

هندسياً: إذا لم يستطع الضلعان القصيران الوصول عبر الضلع الطويل، فلا يوجد مثلث — تنهار الأضلاع القصيرة على الضلع الطويل.

الأطوال مثل 1، 2، 4 تفشل (1 + 2 = 3 < 4). الأطوال مثل 5، 5، 9 تنجح (5 + 5 = 10 > 9). التساوي (1 + 2 = 3 مع الأضلاع 1، 2، 3) يعطي مثلثاً منحلاً بمساحة صفرية — ثلاث نقاط على استقامة واحدة، وليست مثلثاً تقنياً.

تتحقق الحاسبة من المتباينة قبل الحساب وتظهر خطأً واضحاً إذا لم تستطيع الأضلاع تشكيل مثلث حقيقي. يجب أن يتعامل أي استخدام للهندسة الإنشائية أو المسح للحاسبة مع التحقق من متباينة المثلث كاختبار سلامة للقياسات الميدانية.

خمس حالات لتطابق المثلثات تحدد مجموعات القياس الثلاث المعروفة التي تحدد المثلث بشكل فريد (أو شبه فريد).

• ضلع-ضلع-ضلع — ثلاثة أضلاع: استخدم قانون جيب التمام لحل أي زاوية، ثم الزاوية الثالثة هي 180° ناقص الزاويتين الأخريين.
• ضلع-زاوية-ضلع — ضلعان والزاوية المحصورة: يعطي قانون جيب التمام الضلع الثالث؛ ثم يعطي قانون الجيوب (أو جيب التمام مرة أخرى) الزوايا المتبقية.
• زاوية-ضلع-زاوية — زابتان والضلع بينهما: الزاوية الثالثة هي 180° − (A + B)؛ ثم يعطي قانون الجيوب الضلعين الآخرين.
• زاوية-زاوية-ضلع — زاويتان وضلع غير محصور: نفس حالة زاوية-ضلع-زاوية بعد حساب الزاوية الثالثة.
• ضلع-ضلع-زاوية — ضلعان وزاوية غير محصور: هذه هي الحالة الملتبسة (القسم التالي)، مع احتمال وجود 0 أو 1 أو 2 مثلث صالح.
• زاوية-زاوية-زاوية وحدها (ثلاث زوايا، بدون ضلع) تحدد الشكل وليس الحجم — عدد لا نهائي من المثلثات المتشابهة تحقق ذلك، لذا فإن حالة زاوية-زاوية-زاوية غير قابلة للحل بمفردها.

توجه الحاسبة كل مجموعة مدخلات إلى الطريقة الصحيحة.

قانون الجيوب: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). نسبة أي ضلع إلى جيب الزاوية المقابلة له هي نفسها للأزواج الثلاثة. استخدمه لحالات زاوية-ضلع-زاوية، وزاوية-زاوية-ضلع، وضلع-ضلع-زاوية.

المشكلة تكمن في ضلع-ضلع-زاوية: نظراً للضلعين a وb والزاوية A (المقابلة للضلع a)، قد لا يكون هناك مثلث، أو قد يوجد مثلث واحد بالضبط، أو مثلثان متميزان. الهندسة:

• إذا كان a أقصر من المسافة العمودية من الرأس الثالث المجهول إلى القاعدة، فلا يوجد مثلث.
• إذا كان a مساوياً لتلك المسافة، يوجد مثلث (قائم) واحد بالضبط.
• إذا وقع a بين تلك المسافة وb، يوجد مثلثان — أحدها حاد والأخرى منفرج للزاوية B.
• إذا كان a أطول من b، يوجد مثلث واحد فقط.

تكتشف الحاسبة الأنظمة الثلاثة وتبلغ عن كلا الحلين عندما تكون حالة ضلع-ضلع-زاوية ملتبسة. هذا هو المكان الذي يأتي منه معظم أخطاء الطلاب في حساب المثلثات التمهيدي — وهو أحد الأسباب التي تجعل ممارسة الهندسة تتجنب تأطير ضلع-ضلع-زاوية عندما توجد بدائل.

قانون جيب التمام: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). إنه يعمم مبرهنة فيثاغورس — عندما تكون C = 90°، فإن cos(C) = 0 وتختزل الصيغة إلى a² + b² = c².

استخدمه كلما لم ينطبق قانون الجيوب: ضلع-ضلع-ضلع وضلع-زاوية-ضلع. من ضلع-ضلع-ضلع، أوجد أي زاوية: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)، ثم C = arccos(...). من ضلع-زاوية-ضلع، أدخل الضلعين المعروفين والزاوية المحصورة في الصيغة وخذ الجذر التربيعي للضلع الثالث.

من الناحية الحسابية، يعد قانون جيب التمام أكثر استقراراً من الناحية العددية من قانون الجيوب للزوايا الصغيرة جداً أو المنفرجة جداً، وهو ما تستخدمه معظم برامج التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) والمسح داخلياً. تختار الحاسبة قانون جيب التمام تلقائياً لمدخلات ضلع-ضلع-ضلع وضلع-زاوية-ضلع.

عندما تكون إحدى الزوايا 90° تماماً، يكون المثلث قائم الزاوية وتتبسط الرياضيات بشكل كبير. مبرهنة فيثاغورس: a² + b² = c²، حيث c هو الوتر (الضلع المقابل لزاوية 90°، وهو الأطول دائماً). لإيجاد ضلع: a = √(c² − b²). لإيجاد الوتر: c = √(a² + b²).

تصبح الزاويتان الحادتتان الأخريان متاحتين أيضاً عن طريق قواعد الجيب وجيب التمام والظل: sin(A) = المقابل/الوتر = a/c، cos(A) = المجاور/الوتر = b/c، tan(A) = المقابل/المجاور = a/b.

هناك نسبتان تجدر حفظهما.

• المثلث 30-60-90 له أضلاع بنسبة 1 : √3 : 2 — نصف مثلث متطابق الأضلاع، وهو موجود في كل مكان في اختبارات الهندسة وتقطيع البلاط.
• المثلث 45-45-90 (متطابق الساقين وقائم) له أضلاع بنسبة 1 : 1 : √2 — نصف مربع، وهو موجود في النجارة ورسوم الكمبيوتر.

لمشاكل المثلثات قائمة الزاوية بشكل أعمق تحديداً، استخدم حاسبة مبرهنة فيثاغورس المخصصة لدينا؛ تغطي هذه الحاسبة حالة المثلث قائم الزاوية كواحدة من سبعة أوضاع للحل.

نظامان تصنيف متوازيان، يتم استخدامهما معاً.

حسب الأضلاع:

• متطابق الأضلاع (جميع الأضلاع الثلاثة متساوية — تلقائياً جميع الزوايا 60°)،
• متطابق الساقين (ضلعان متساويان تماماً — له أيضاً زاويتان متساويتان، وهما الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين)،
• مختلف الأضلاع (جميع الأضلاع الثلاثة مختلفة الأطوال).

حسب الزوايا:

• حاد (كل زاوية أقل من 90°)،
• قائم (زاوية واحدة 90° تماماً)،
• منفرج (زاوية واحدة أكبر من 90° — ويجب أن تكون الزاويتان الأخريان حادتين).

كل مثلث له تسمية للضلع وتسمية للزاوية. المثلث 3-4-5 هو 'قائم مختلف الأضلاع'. المثلث 60-60-60 هو 'حاد متطابق الأضلاع' (النوع الوحيد الممكن — تطابق الأضلاع يعني الحدة). المثلث 45-45-90 هو 'قائم متطابق الساقين'. المثلث 100-40-40 (بالدرجات) مع ضلعين متساويين هو 'منفرج متطابق الساقين'. تُخرج الحاسبة كلا التصنيفين.

تمثل الثلاثية القائمة مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة (a, b, c) تحقق المعادلة a² + b² = c². وهي تُشكل مثلثات قائمة الزاوية بأطوال أضلاع صحيحة تماماً — وهو أمر مفيد في البناء، ورسومات الكمبيوتر، وفي أي مجال تكون فيه الهندسة ذات الأعداد الصحيحة الصافية مفيدة.

الثلاثيات الأولية (التي ليس لها عامل مشترك): 3-4-5، 5-12-13، 7-24-25، 8-15-17، 9-40-41، 11-60-61، 12-35-37، 20-21-29. أي مضاعف صحيح للثلاثية الأولية يُعد ثلاثية أيضاً — لذا فإن 6-8-10، 9-12-15، 30-40-50، وغيرها تعمل بنفس الطريقة.

يستخدم البناؤون طريقة 3-4-5 لضبط الزوايا القائمة: قِس 3 وحدات على أحد الجدران، و4 على الجدار العمودي عليه، وتأكد من أن الوتر يساوي 5 بالضبط. إذا كان القياس 5.0، فالزاوية قائمة تماماً بنسبة 90 درجة؛ وإذا كان مختلفاً، فيتم التعديل.

قام إقليدس والفيثاغوريون بفهرسة هذه القيم بشكل منهجي، وقام علماء الرياضيات بتعميمها عبر صيغة إقليدس a = m² − n²، وb = 2mn، وc = m² + n² للقيم الصحيحة بحيث m > n > 0.

تعطي صيغة هيرون، المنسوبة إلى هيرو الإسكندري (حوالي عام 60 م)، مساحة المثلث من أطوال أضلاع الثلاثة وحدها — دون الحاجة إلى الارتفاع: المساحة = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] حيث s = (a+b+c)/2 هو نصف المحيط. وتُعد الصيغة الأساسية لمشاكل حساب المساحة بمعلومية الأضلاع الثلاثة (SSS) ولأي تطبيق يقيس الأضلاع مباشرة (المساحة، المسافات المستمدة من نظام تحديد المواقع العالمي GPS، وفحص الأجزاء).

ملاحظة رقمية هامة: عندما يكون أحد الأضلاع قريبًا جدًا من مجموع الضلعين الآخرين (ما يسمى بالمثلث الإبري)، يفقد الشكل القياسي دقة الفاصلة العُشرية (الحسابية). الصيغة المستقرة عدديًا، التي وضعها دبليو. كاهان، هي: المساحة = ¼ × √[(a + (b + c)) × (c − (a − b)) × (c + (a − b)) × (a + (b − c))]، حيث يتم ترتيب الأضلاع تنازليًا بحيث يكون a ≥ b ≥ c.

تستخدم الحاسبة الصيغة المستقرة داخليًا للحفاظ على الدقة عبر جميع المثلثات الصحيحة.

يحتوي كل مثلث على دائرتين طبيعيتين. الدائرة الداخلية هي أكبر دائرة يمكن وضعها داخل المثلث، وتكون مماسّة للأضلاع الثلاثة — ونصف قطرها هو النصف الداخلي r = المساحة / s (نصف المحيط). أما الدائرة المحيطة فتمر عبر الرؤوس الثلاثة جميعها — ونصف قطرها الخارجي هو R = abc / (4 × المساحة)، أو ما يعادله R = a / (2·sin A) وفقًا لقانون الجيوب.

تتطابق 'المراكز' الكلاسيكية الأربعة في المثلث متساوي الأضلاع ولكنها تختلف في المثلثات العامة:

• المركز الداخلي (حيث تلتقي منصفات الزوايا، وهو مركز الدائرة الداخلية)،
• مركز الدائرة المحيطة (حيث تلتقي الأعمدة المنصفة للأضلاع، وهو مركز الدائرة المحيطة)،
• مركز الثقل (حيث تلتقي المتوسطات، وهو مركز الكتلة)،
• ملتقى الارتفاعات (حيث تلتقي الارتفاعات).

يربط خط أويلر بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الثقل وملتقى الارتفاعات لأي مثلث غير متساوي الأضلاع. تُخرج الحاسبة r و R إلى جانب القياسات الأساسية؛ أما المراكز نفسها فتعتمد على الإداثيات وتتطلب وضع المثلث في نظام إحداثي.

المثلثات هي اللبنة الهيكلية الأساسية للعالمين المادي والرقمي.

• الهندسة المعمارية: المثلث هو المضلع الصلب الوحيد — فهو لا يتشوه إلا بتغيير أطوال أضلاعه. تعتمد على ذلك جمالونات الأسقف، والقبب الجيوديسية، هياكل الجسور.
• المساحة: ظلت التثليث طريقة قياسية لقرون — قس زاويتين وخط أساس (ASA)، ويتم حل رأس المثلث الثالث (وهي نقطة يصعب الوصول إليها) باستخدام قانون الجيوب. لا تزال أنظمة الGPS الحديثة والمحطات الشاملة تستخدم الرياضيات الكامنة وراء ذلك.
• الملاحة: تحديد الموقع عن طريق التثليث 'بثلاثة محامل' يعطي نقطة تقاطع لثلاث زوايا لمعالم معروفة. تستخدم الملاحة الجوية والبحرية هذا كنسخة احتياطية عندما يتعذر استخدام GPS.
• تطوير الألعاب ورسومات الكمبيوتر: يتم تقديم كل نموذج ثلاثي الأبعاد كشبكة من المثلثات، لأن المثلث هو أبسط مضلع مستوٍ ويتم عرضه بكفاءة على وحدة معالجة الرسوميات GPU. تعتمد طرق النقطة الداخلية والإحداثيات المتجانسة المستخدمة لملء المثلثات على الشاشة مباشرة على حسابات المساحة بأسلوب هيرون.

الرياضيات التي تقوم بها باستخدام هذه الحاسبة هي نفس الرياضيات التي تقوم بها وحدات معالجة الرسوميات ملايين المرات في الإطار الواحد.

ستة أخطاء متكررة.

• خلط الدرجات والراديان: افتراضيًا، تستخدم معظم الحاسبات (وهذه الحاسبة) الدرجات؛ تحقق من زر التبديل. وعادةً ما تفترض لغات البرمجة الراديان افتراضيًا. خطأ بين 90 درجة و90 راديان هو خطأ كبير.
• نسيان متباينة المثلث: يُدخل الطلاب الأرقام 1، 2، 5 ويثقون بالنتيجة؛ ترفض الحاسبة الآن هذا الإدخال وتعطي خطأً واضحًا.
• استخدام قانون الجيوب لـ SSS أو SAS: تتطلب هذه الحالات قانون جيب التمام. يتطلب قانون الجيوب زاوية واحدة معروفة على الأقل للبدء.
• إغفال الحل الثاني لـ SSA: في الحالة الملتبسة، يمكن أن يكون كلا المثلثين صحيحين — وغالباً ما تتطلب إجابات الامتحانات كلا الحلول.
• تحديد الوتر بشكل خاطئ: إنه دائماً الضلع المقابل للزاوية 90 درجة وأطول ضلع — وليس أي ضلع يتم تسميته c.
• الخلط بين الارتفاع والضلع: الارتفاع هو المسافة العمودية من الرأس إلى الضلع المقابل (أو امتداده)، وليس أحد الأضلاع. بالنسبة للمثلث منفرج الزاوية، قد يقع الارتفاع لضلع معين خارج المثلث تماماً؛ وهذا مقبول تماماً في صيغة المساحة.