Převaděč binárních, hexadecimálních a číselných soustav

Binární soustava (základ 2) používá pouze 0 a 1. Chcete-li převést binární číslo na desítkové, vynásobte každou čílici 2 umocněnou na pozici této číslice (začínající od 0 zprava) a výsledky sečtěte.

Příklad: 1101 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

Šestnáctková soustava (hexadecimální, základ 16) používá 0-9 a A-F. V programování je oblíbená, protože každá hexadecimální číslice představuje přesně 4 binární bity.

FF v hexu = 255 v desítkové soustavě = 11111111 v binární.

• Počítače interně používají binární soustavu.
• Šestnáctková soustava poskytuje kompaktní způsob reprezentace binárních dat.
• Osmičková soustava se používala ve starších systémech.
• Desítková soustava je přívětivá pro lidi.

Každá soustava má v informatice a matematice svůj účel.

Číselná soustava (též základ neboli radix) je počet unikátních číslic, které poziční číselná soustava používá k vyjádření hodnot. Základ 10 používá deset číslic (0-9); základ 2 používá dvě (0 a 1).

V jakémkoliv pozičním systému má místo každé číslice váhu rovnou základu umocněnému na příslušnou mocninu dané pozice, počítáno od nuly zprava. Desítkové číslo 253 tedy znamená 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰.

Podle Wolfram MathWorld tento poziční princip umožňuje malému souboru symbolů vyjádřit libovolně velká čísla, a proto je převod mezi soustavami v podstatě jen vyjádřením téže hodnoty pomocí jiných pozic.

Chcete-li převést desítkové číslo do libovolného cílového základu, opakovaně jej dělte tímto základem a sbírejte zbytky, které pak čtete od posledního k prvnímu.

Převod 156 do šestnáctkové soustavy: 156 ÷ 16 = 9 se zbytkem 12 (C) a 9 ÷ 16 = 0 se zbytkem 9, čteno směrem nahoru tedy získáme 9C. Ověření: 9×16 + 12 = 144 + 12 = 156.

Khan Academy učí tuto stejnou techniku dělení a zaznamenávání pro binární a další soustavy. Funguje pro jakýkoli základ od 2 do 36, protože každé dělení nejprve izoluje řádově nejnižší číslici a postupně tak skládá výsledek pozici po pozici.

Protože 8 a 16 jsou mocniny 2, můžete binární čísla převádět přímo seskupováním bitů namísto převodu přes desítkovou soustavu. Seskupte binární číslice do trojic (zprava) pro osmičkovou soustavu nebo do čtveřic pro šestnáctkovou soustavu, v případě potřeby s doplněním nul na začátku.

Příklad: binární 11010110 se seskupí jako 1101 0110 → D6 v hexu, nebo jako 011 010 110 → 326 v osmičkové soustavě. Ověřte obojí proti desítkové soustavě: 214.

Wolfram MathWorld poznamenává, že tato zkratka se seskupováním je přesná právě proto, že jedna osmičková číslice odpovídá třem bitům a jedna hexadecimální číslice odpovídá čtyřem bitům.

Základní vzorec pro převod libovolné soustavy do desítkové je Hodnota = Σ(dₙ × základⁿ), kde je každá číslice dₙ vynásobena základem umocněným na svou pozici n počítanou od nuly zprava.

Pro šestnáctkové číslo 2AF: 2×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 512 + 160 + 15 = 687.

Encyclopaedia Britannica popisuje tuto strukturu s váženým součtem jako určující rys poziční notace, čímž ji odlišuje od nepozičních systémů, jako jsou římské číslice. Stejný vzorec zvládá desetinnou část pomocí záporných exponentů, takže číslice za čárkou nese váhu základ⁻¹.

Různé soustavy dominují různým výpočetním úkolům:

• Šestnáctková soustava kódování paměťových adres, RGB barevných kódů jako #FF5733, MAC adres a výpisů paměti (byte dumps), protože dvě hexadecimální číslice přehledně reprezentují jeden 8bitový bajt.
• Osmičková soustava přežívá v přístupových právech souborů v systému Unix: chmod 755 uděluje práva čtení-zápis-spuštění pro vlastníka a čtení-spuštění pro ostatní, jelikož každá osmičková číslice odpovídá třem bitům oprávnění.
• Binární soustava je základem všeho na hardwarové úrovni, od logiky procesoru až po síťové masky podtít.

Porozumění těmto soustavám pomáhá programátorům ladit nízkoúrovňová data a Britannica zmiňuje ústřední roli binárního systému v návrhu všech moderních digitálních počítačů.

Základ 36 je největší základ, který se pohodlně vejde do standardní alfanumerické sady znaků, využívající deset číslic 0-9 plus 26 písmen A-Z pro hodnoty 10 až 35. To dává přesně 36 různých symbolů.

Je oblíbený pro kompaktní kódování velkých čísel do krátkých řetězců, jako jsou zkracovače URL a unikátní identifikátory, protože zabalí více informací na jeden znak než desítková nebo šestnáctková soustava.

Pro jakýkoli základ nad 10 písmena jednoduše rozšiřují sadu číslic: A=10, B=11 až po Z=35. Tento převodník podporuje každý základ od 2 do 36 pomocí této konvence.

Každá pozice v binárním čísle nese váhu, která je mocninou dvou, takže znalost těchto mocnin urychluje binární převod. Zprava jsou váhy 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 a dále 256, 512 a 1024 (což je 2¹⁰).

Proto 8bitový bajt pojme hodnoty 0 až 255: součet prvních osmi vah (1 až 128) je 255.

Wolfram MathWorld řadí mocniny dvou mezi nejzákladnější celočíselné posloupnosti v informatice. Jejich zapamatování až do hodnoty 1024 vám umožňuje převádět malá binární čísla zpaměti bez opakovaného dělení, zatímco u větších hodnot vám kalkulačka logaritmů rychle řekne, kolik bitů číslo potřebuje, protože počet bitů je jednoduše jeho binární logaritmus zaokrouhlený nahoru.

• Nejčastější chybou je špatné počítání exponentů pozic, kdy se začíná od jedné místo od nuly; krajní pravá pozice má vždy pozici 0, což jí dává váhu základ⁰ = 1.
• Dalším častým prohřeškem je zapomenutí na doplnění binárního čísla do úplných skupin po třech nebo čtyřech před převodem na osmičkové nebo šestnáctkové, což posune každou čílici.
• Lidé si také pletou písmena v hexadecimální soustavě a píší D jako 14 namísto 13 (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).
• A konečně, při použití metody dělení se zbytkem je nutné číst zbytky od posledního dělení směrem nahoru, nikoli v pořadí, v jakém byly vytvořeny.

Dvojitá kontrola pomocí pozičního vzorce odhalí všechny čtyři.