Binární kalkulačka

Binární soustava (základ 2) používá pouze číslice 0 a 1. Pro převod do desítkové soustavy vynásobte každý bit mocninou 2 odpovídající jeho pozici a výsledky sečtěte.

Příklad: 10110 = 16+4+2 = 22.

Binární sčítání, odčítání, násobení a dělení se řídí stejnými principy jako desítková aritmetika, ale mají pouze dvě číslice.

Tato kalkulačka ukazuje přechody, vypůjčení a dílčí součty krok za krokem.

Bitové operace AND, OR, XOR a NOT pracují s jednotlivými bity a jsou základem výpočetní techniky.

Dvojkový doplněk umožňuje vyjádřit záporná čísla v binárním kódu, přičemž nejvýznamnější bit určuje znaménko.

Chcete-li převést desítkové číslo na binární, opakovaně ho dělte 2 a zaznamenávejte jednotlivé zbytky, poté zbytky přečtěte zdola nahoru.

Například číslo 22 se převede takto: 22/2=11 Z0, 11/2=5 Z1, 5/2=2 Z1, 2/2=1 Z0, 1/2=0 Z1, což dává 10110.

Binární soustava je poziční soustava o základu 2 definovaná v mezinárodním standardu ISO/IEC/IEEE 60559 a ISO 80000-1, kde každá pozice představuje mocninu 2.

Protože počítače ukládají všechna data jako dvoustavové signály, základ 2 je přirozeným kódováním a tato metoda zbytků spolehlivě převádí jakékoliv nezáporné celé číslo do jeho binární podoby.

Chcete-li převést binární číslo na šestnáctkové (hexadecimální), seskupte bity do čtveřic zprava a každou skupinu nahraďte jedním hexadecimálním znakem (0000=0 až 1111=F); pro osmičkovou soustavu je seskupte po třech (000=0 až 111=7).

Například binární číslo 11111111 = FF v šestnáctkové soustavě a 377 v osmičkové.

To funguje proto, že 16 = 2^4 a 8 = 2^3, takže každý hexadecimální znak kóduje přesně 4 bity a každý osmičkový znak přesně 3 bity.

Šestnáctková a osmičková soustava jsou standardizovány v normě ISO/IEC 9899 (standard jazyka C), což z nich činí kompaktní zkratky široce používané programátory pro čtení dlouhých binárních řetězců.

Chcete-li najít dvojkový doplněk binárního čísla, invertujte každý bit (jedničkový doplněk) a přičtěte 1.

Například v 8 bitech je +5 zapsáno jako 00000101, takže -5 je 11111010 + 1 = 11111011.

Dvojkový doplněk je standardní reprezentace celých čísel se znaménkem popsaná v normě ISO/IEC 9899 a používaná prakticky každým moderním procesorem, protože sčítání a odčítání funguje identicky pro hodnoty se znaménkem i bez znaménka.

Rozsah hodnot závisí na šířce bitů:

• V 8bitové šířce se hodnoty pohybují od -128 do 127
• V 16bitové od -32 768 do 32 767
• Ve 32bitové od zhruba -2,15 miliardy do 2,15 miliardy

Nejvýznamnější bit funguje jako znaménkový bit.

Počítače používají binární soustavu, protože elektronické obvody spolehlivě rozeznávají pouhé dva stavy, zapnuto a vypnuto, mapované na 1 a 0.

Tento dvoustavový signál snáší šum mnohem lépe než snaha udržet deset různých úrovní napětí pro desítkovou soustavu, takže binární soustava tvoří základ digitální logiky a paměti popsaných ve standardech IEEE a ISO/IEC. Každý znak, obrázek a instrukce se nakonec ukládá jako bity.

Mezinárodní elektrotechnická komise (IEC 80000-13) formalizuje bit jako základní jednotku informace a bajt jako 8 bitů, což je důvod, proč se velikosti dat a adresy pamětí v celé počítačové architektuře vyjadřují v mocninách 2.

Jeden bajt se rovná 8 bitům a velikosti dat používají dva různé systém předpon.

Binární předpony definované normou IEC 80000-13 používají mocniny 1024:

• 1 KiB (kibibajt) = 1024 bajtů
• 1 MiB = 1024 KiB
• 1 GiB = 1024 MiB

Desítkové předpony SI od BIPM používají mocniny 1000:

• 1 kB = 1000 bajtů
• 1 MB = 1 000 000 bajtů

Tento rozdíl vysvětluje, proč se disk označený jako 1 TB (10^12 bajtů) v operačních systémech, které počítají v mocninách 1024, zobrazuje jako přibližně 0,909 TiB. Používání KiB/MiB tuto nejednoznačnost eliminuje, a proto IEC zavedla binární předpony.

Binární soustava pohání téměř každou digitální technologii:

• Bitové příznaky a masky sdružují mnoho nastavení zapnuto/vypnuto do jediného celého čísla, čímž šetří paměť v softwaru a vestavěných systémech.
• Počítačové sítě využívají binární soustavu k výpočtu masek podsítí a rozsahů IP adres, kde každý oktet IPv4 má 8 bitů.
• Kódování znaků jako UTF-8, standardizované konsorciem Unicode, ukládá text jako posloupnosti bajtů, přičemž formáty souborů, hodnoty barev (24bitové RGB) a strojové instrukce jsou kompletně binární.
• Kryptografie silně spoléhá na operaci XOR.

Pochopení binárního převodu a aritmetiky pomáhá programátorům, síťovým inženýrům a hardwarovým designérům porozumět tomu, jak jsou data skutečně reprezentována a zpracovávána.

Binární sčítání se řídí čtyřmi pravidly, sloupec po sloupci zprava doleva:

• 0+0=0
• 0+1=1
• 1+0=1
• 1+1=10 (zapište 0, přeneste 1); tři jedničky dávají 11 (zapište 1, přeneste 1)

Například 1011 + 1101 = 11000, což odpovídá 11 + 13 = 24 v desítkové soustavě.

Odčítání využívá vypůjčování, kdy se při 0-1 vypůjčí hodnota z dalšího sloupce, čímž vznikne 10-1=1. V praxi většina počítačů odčítá přičtením dvojkového doplňku, což eliminuje potřebu samostatného obvodu pro vypůjčování.

Tato kalkulačka zobrazuje každý bit přenosu a vypůjčení, abyste si mohli aritmetiku ověřit krok za krokem.

Při práci s binárními čísly se lidé často dopouštějí několika chyb:

• Nejčastější chybou je čtení zbytků v nesprávném pořadí během převodu z desítkové do binární soustavy; vždy je čtěte zdola nahoru.
• Další chybou je špatné počítání pozic bitů, které začínají na 0 zprava, nikoli na 1.
• Při seskupování pro hexadecimální nebo osmičkovou soustavu doplňte zleva úvodní nuly, aby byla levá skupina kompletní.
• U dvojkového doplňku vede zapomenutí pevné šířky bitů k chybám se znaménkem, protože -5 vypadá jinak v 8bitové a jinak v 16bitové podobě.
• A konečně, zaměňování binárních předpon (1 KiB = 1024 bajtů podle IEC 80000-13) s desítkovými předponami (1 kB = 1000 bajtů podle BIPM) vede k chybám ve výpočtu kapacity úložiště.