Kalkulačka hodu mincí

Režim simulátoru provádí skutečné náhodné hody mincí a hlásí pozorované počty líců a rubů plus graf průběžného procenta. Protože využívá skutečnou náhodnost, 100 hodů vám může dát 47 nebo 56 líců — kliknutím na „Hodit“ můžete znovu sledovat odchylku.

Režim pravděpodobnosti vypočítává přesné binomické pravděpodobnosti bez náhodnosti: odpověď je deterministická a odpovídá hodnotám v učebnicích.

Simulátor použijte k výuce zákona velkých čísel; pravděpodobnost použijte pro domácí úkoly a přesné odpovědi.

U 10 hodů férovou mincí je odchylka od poměru 50/50 obrovská — poměr 7:3 se stane v 11,7 % případů. U 1 000 hodů by byl styl 7:3 (700 líců) astronomicky nepravděpodobný (P ≈ 10^-38).

Série jsou běžné: ve 100 férových hodech je nejdelší řada líců v průměru kolem 7.

Chcete-li odhalit zkreslenou minci, proveďte alespoň 1 000 hodů a porovnejte je s očekávanou směrodatnou odchylkou √(n × p × (1-p)). Výsledky vzdálené více než 3 směrodatné odchylky od průměru silně naznačují zkreslení.

Kalkulačka modeluje každý hod jako nezávislý Bernoulliho pokus: jedna událost se dvěma výsledky, líc s pravděpodobností p a rub s pravděpodobností 1 - p.

V režimu simulátoru losuje pseudonáhodné číslo pro každý hod a počítá ho jako líc, když los spadne pod p, a poté sčítá pozorované líce a ruby. V režimu pravděpodobnosti vyhodnocuje binomické rozdělení, které udává šanci na přesně k líců v n hodech jako C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).

Wolfram MathWorld popisuje toto propojení Bernoulliho pokusu a binomického rozdělení jako základ diskrétní pravděpodobnosti. Kalkulačka proto odděluje skutečné vzorkování od přesné matematiky, takže můžete porovnat pozorované výsledky s teoretickým očekáváním.

Při jednom hodu férovou mincí jsou šance na líc 50 % a šance na rub 50 %, tedy přesný poměr 1:1. To je definující vlastnost férového Bernoulliho pokusu, kde jsou oba výsledky stejně pravděpodobné a vzájemně se vylučují.

Každý hod je také nezávislý, což znamená, že předchozí líc nemění šance dalšího hodu.

Podle studie ze Stanfordu, kterou vypracovali Diaconis, Holmes a Montgomery, nese fyzicky hozená mince velmi mírné zkreslení směrem k té straně, která začínala nahoře, řádově 0,51 namísto 0,50. Pro praktické či vzdělávací účely je považování jednoho hodu za čistých 50/50 přesné.

K výpočtu pravděpodobnosti přesně N líců v M hodech použijte binomický vzorec P(X = N) = C(M, N) × p^N × (1-p)^(M-N).

Nejprve najděte binomický koeficient C(M, N) = M! / (N! × (M-N)!), který počítá různá uspořádání N líců mezi M hody. Poté vynásobte p umocněným na N a (1-p) umocněným na zbývající hody.

Pro férovou minci házející 10krát je přesně 5 líců C(10, 5) × 0,5^10 = 252 / 1024 ≈ 24,61 %. Wolfram MathWorld považuje toto za kanonický binomický příklad. Režim pravděpodobnosti v kalkulačce provádí tyto výpočty faktoriálů přesně, čímž se vyhýbá chybám při zaokrouhlování, které jsou běžné při ruční práci.

Kumulativní pravděpodobnost odpovídá na otázky typu „alespoň N orlů“ nebo „nejvýše N orlů“ tak, že sečte několik přesných binomických členů namísto uvedení jediné hodnoty.

Pravděpodobnost nejvýše N orlů sčítá P(X = 0) až P(X = N), zatímco alespoň N orlů sčítá P(X = N) až P(X = M). Tyto kumulativní součty tvoří kumulativní distribuční funkci binomického rozdělení, kterou Wolfram MathWorld a standardní statistické texty používají k odvození pravděpodobností v chvostech rozdělení.

Například alespoň 60 orlů ze 100 poctivých hodů nastane s pravděpodobností zhruba 2,8 %, protože hodnota 60 leží dvě směrodatné odchylky nad průměrem 50. Kalkulačka spočítá všechny tři pohledy – přesně, nejvýše a alespoň –, takže můžete otázku položit jakýmkoli způsobem.

Zákon velkých čísel říká, že s rostoucím počtem hodů se pozorovaný podíl orlů blíží skutečné pravděpodobnosti, která u poctivé mince obvykle činí 50 %.

Neslibuje však, že se orli a panny v krátkodobém horizontu vyrovnají; série 10 hodů může klidně skončit poměrem 7:3, ale série 10 000 hodů se téměř vždy drží zhruba do jednoho procenta od 50 %. Encyclopaedia Britannica to popisuje jako základní teorém pravděpodobnosti, který se liší od hráčova klamu, podle nějž se určitý výsledek „už musí dostavit“.

Režim simulátoru tento jev zviditelňuje: hoďte mincí několik desítekkrát a uvidíte divoké výkyvy, pak hoďte tisíckrát a sledujte, jak se procento ustálí.

Kalkulačka hodů mincí slouží k několika praktickým účelům kromě urovnávání přátelských sporů.

• Učitelé používají režim simulátoru k demonstrování zákona velkých čísel, výběrového rozptylu a tvaru binomického rozdělení bez použití fyzických mincí.
• Studenti využívají režim pravděpodobnosti ke kontrole domácích úkolů pomocí přesných hodnot bez šumu.
• Vědci a analytici si půjčují stejnou binomickou matematiku pro intuici při A/B testování, protože podíl 50/50 je nulovým hypotetickým základem v mnoha experimentech.
• Herní návrháři a kutilové ji používají pro spravedlivé losování nebo k modelování zátěžových mincí.

Protože je každý hod nezávislý, nástroj představuje také přehledný úvod do Monte Carlo myšlení, kde opakované náhodné pokusy aproximují teoretickou pravděpodobnost.

Posuvník zkreslení nastavuje pravděpodobnost orla p libovolně od 0 do 1, což vám umožňuje simulovat zatíženou minci namísto poctivé.

Hodnota 0,6 padá jako orel v průměru asi v 60 % případů, zatímco 0,4 straní panně; koncové body 0 a 1 vynutí vždy pannu, respektive vždy orla. Režimy simulátoru i pravděpodobnosti tuto hodnotu respektují, takže binomický vzorec používá vámi zvolené p ve tvaru P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).

Skutečné fyzické mince vykazují zkreslení jen zřídka nad přibližně 0,51, jak zdokumentovala studie Stanford Diaconis, takže vysoké hodnoty p je nejlepší brát spíše jako výukové nebo modelové scénáře než jako modely běžných mincí.

Dlouhé série působí podezřele, ale jsou normálním rysem náhodného házení, nikoli důkazem zmanipulované mince.

V posloupnosti poctivých hodů roste nejdelší očekávaná série zhruba s logaritmem o základu 2 z počtu hodů, takže u 100 hodů dosahuje nejdelší série jedné strany v průměru zhruba šesti až sedmi za sebou. To znamená, že série o více hodech se během sezení objevují často, a brát je jako signál k sázce na opačnou stranu je hráčův klam, před kterým varuje Encyclopaedia Britannica.

Protože je každý hod nezávislý, série orlů nikdy nezvyšuje šanci, že v dalším hodu padne panna. Chcete-li odlišit skutečné zkreslení od náhody, porovnejte celkové součty s očekávaným rozptylem za mnoho hodů, namísto abyste reagovali na krátké série.

• Nejčastější chybou je hráčův klam – víra, že po několika orlech „už musí padnout“ panna. Každý hod je nezávislý, takže šance zůstávají 50/50 bez ohledu na historii.
• Druhou chybou je očekávání přesného poměru 50/50 v malých vzorcích; dokonce i 10 hodů skončí přesně 5 orly jen asi v 24,6 % případů.
• Třetí chybou je záměna „přesně N orlů“ za „alespoň N orlů“, což jsou velmi odlišné kumulativní veličiny.
• Lidé také přeceňují krátké série jako důkaz zatížené mince, přičemž série jsou přirozeným jevem.
• Nakonec, použití malého vzorku k posouzení poctivosti je nespolehlivé: Encyclopaedia Britannica uvádí, že pravou pravděpodobnost odhalí pouze velký počet pokusů, proto proveďte mnoho hodů, než usoudíte, že je mince zkreslená.