Kalkulačka faktoriálu

Faktoriál čísla n (zapsaný jako n!) je součin všech kladných celých čísel až do n. Například 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Faktoriály jsou základním stavebním kamenem v kombinatorice a pravděpodobnosti.

Permutace počítají uspořádání, kde na pořadí záleží (nPr). Kombinace počítají výběry, kde na pořadí nezáleží (nCr).

Permutace použijte pro žebříčky a pořadí, kombinace pro skupiny.

K výpočtu faktoriálu n! vynásobte všechna kladná celá čísla od 1 do n. Například 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 a 6! = 6 × 120 = 720.

Nejrychlejší ruční metoda využívá rekurzivní pravidlo n! = n × (n−1)!, takže každý nový faktoriál je jen předchozí výsledek vynásobený dalším celým číslem. Tato kalkulačka tuto rekurzi aplikuje interně a poté zobrazí každé násobení jako krok.

Jak uvádí Wolfram MathWorld, faktoriál je definován pro všechna nezáporná celá čísla a 0! je pevně stanoveno na 1, aby byla rekurze konzistentní.

Vzorec pro faktoriál je n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1, přičemž základní případ je 0! = 1. Ekvivalentně faktoriály splňují rekurentní vztah n! = n × (n−1)!, což umožňuje sestavit každou hodnotu z té předchozí.

NIST Digital Library of Mathematical Functions tuto myšlenku rozšiřuje za hranice celých čísel pomocí gama funkce, kde n! = Γ(n+1).

Pro kombinatoriku používáte také dva odvozené vzorce:

• permutace nPr = n!/(n−r)!
• kombinace nCr = n!/[r!(n−r)!]

Tyto tři výrazy pokrývají většinu počítacích úloh, se kterými se setkáte v pravděpodobnosti a diskrétní matematice.

0! se rovná 1 podle definice a nejde o libovolnou volbu. Existuje přesně jeden způsob, jak uspořádat prázdnou množinu objektů — nic neudělat — takže počet uspořádání je jedna.

Nastavení 0! = 1 také udržuje platnost rekurze n! = n × (n−1)!, protože 1! = 1 × 0! funguje pouze tehdy, když 0! = 1. Dále zajišťuje, že vzorce jako nCr = n!/[r!(n−r)!] vracejí správný výsledek, když r = 0 nebo r = n.

Khan Academy a Encyclopaedia Britannica uvádějí 0! = 1 jako standardní konvenci, na které stojí kombinatorika a binomická věta.

Faktoriály rostou rychleji než jakákoliv exponenciální funkce, což je důvod, proč se ruční výpočet rychle stává nepraktickým. Pro ilustraci:

• 5! = 120
• 10! = 3 628 800
• 20! = 2 432 902 008 176 640 000 — již více než 2,4 quintilionu

U 170! je hodnota přibližně 7,26 × 10^306, což se blíží limitu standardní plovoucí řádové čárky s dvojitou přesností, a proto mnoho nástrojů omezuje vstup na 170.

Tento superexponenciální růst (formálně n! roste jako Stirlingova aproximace √(2πn)(n/e)^n, popsaná v NIST DLMF) vysvětluje, proč se faktoriály objevují ve jmenovatelích Taylorových řad, kde zmenšují členy dostatečně rychle na to, aby řada konvergovala.

Dvojitý faktoriál n!! násobí každé druhé celé číslo směrem dolů od n, přičemž končí u 1 (liché n) nebo 2 (sudé n). Pro lichá čísla 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105; pro sudá čísla 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384.

Nejedná se o dvojnásobné použití faktoriálu — (n!)! by bylo v porovnání obrovské. Dvojité faktoriály se objevují v integrálech mocnin sinu a kosinu a ve vzorcích pro objem vícerozměrných koulí.

Wolfram MathWorld katalogizuje dvojitý faktoriál jako vlastní funkci a OEIS uvádí liché dvojité faktoriály 1, 3, 15, 105, 945 jako posloupnost A001147.

Subfaktoriál !n počítá deranže — permutace, ve kterých žádný prvek nezůstane na své původní pozici. Pro tři položky {1, 2, 3} vyhovují pouze {2, 3, 1} a {3, 1, 2}, takže !3 = 2; podobně !4 = 9 a !5 = 44.

Subfaktoriál se řídí vzorcem !n = n! × Σ (−1)^k / k! pro k = 0 až n a úzce souvisí s hádkami pravděpodobnosti, jako je problém "šatny", kde šance, že nikdo nedostane svůj vlastní klobouk, se blíží 1/e ≈ 0,3679 s rostoucím n.

OEIS zaznamenává čísla deranží 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265 jako posloupnost A000166.

Faktoriály jsou základem každého problému, který počítá uspořádání nebo výběry.

• V pravděpodobnosti je počet různých 5karetních pokerových kombinací z balíčku 52 karet roven kombinaci 52C5 = 2 598 960.
• V plánování a logistice dává n! počet uspořádání pro n úkolů nebo zastávek.
• V matematické analýze se faktoriály nacházejí ve jmenovatelích Taylorových a Maclaurinových řad a řídí, jak rychle se členy zmenšují, aby bylo možné aproximovat funkce jako e^x a sin x.

Objevují se také v binomické větě, statistických rozděleních, jako je Poissonovo a binomické, a v kryptografii. Khan Academy využívá tyto kombinatorické počty jako základ svých kurzů pravděpodobnosti.

Při práci s faktoriály lidé často dělají několik chyb:

• Nejčastější chybou je zapomenutí, že 0! = 1, což na okrajích boří vzorce pro kombinace a permutace.
• Další je zaměňování dvojitého faktoriálu n!! (každé druhé celé číslo) s dvojnásobnou aplikací faktoriálu — 5!! = 15, ale (5!)! je astronomicky větší.
• Studenti si také pletou permutace a kombinace: použijte nPr, když záleží na pořadí, a nCr, když nezáleží, takže 5P2 = 20, ale 5C2 = 10.
• Pozor na záporné nebo neceločíselné vstupy, protože elementární faktoriál tam není definován (rozšiřuje ho pouze gama funkce).
• Nakonec pamatujte, že faktoriály rychle přetékají — zhruba nad 170! většina kalkulaček ztrácí přesnost, jak jasně ukazuje analýza růstu ve Wolfram MathWorld.

Permutace i kombinace jsou postaveny přímo na faktoriálech.

Permutace nPr = n!/(n−r)! počítá uspořádané sestavy, takže výběr a uspořádání 2 z 5 položek dává 5P2 = 5!/3! = 120/6 = 20.

Kombinace nCr = n!/[r!(n−r)!] počítá neuspořádané výběry, takže 5C2 = 5!/(2!·3!) = 120/(2×6) = 10 — přesně polovinu z 5P2, protože každou dvojici lze uspořádat dvěma způsoby. Kombinacím se také říká binomické koeficienty a generují Pascalův trojúhelník. Protože nC2 = n(n−1)/2 je kvadratická funkce vzhledem k n, obrácení otázky — zjištění, kolik položek vytváří daný počet dvojic, jako v klasickém problému s podáváním rukou — se omezuje na řešení kvadratické rovnice.

Encyclopaedia Britannica popisuje tyto operace jako jádro kombinatoriky a tato kalkulačka vypočítává nPr a nCr s kompletním postupem krok za krokem.