Kalkulačka frekvence a vlnové délky

Základní vlnová rovnice fundamental wave equation λ = v/f (nebo f = v/λ) dává do souvislosti vlnovou délku λ, frekvenci f a rychlost vlnění v. Pro elektromagnetické vlny ve vakuu platí: λ = c/f, kde c = 299 792 458 m/s.

Běžné jednotky frekvence a jejich převody:

• 1 kHz = 10³ Hz
• 1 MHz = 10⁶ Hz
• 1 GHz = 10⁹ Hz
• 1 THz = 10¹² Hz

Běžné jednotky vlnové délky:

• 1 mm = 10⁻³ m
• 1 μm = 10⁻⁶ m
• 1 nm = 10⁻⁹ m
• 1 Å = 10⁻¹⁰ m

Signál Wi-Fi 2,4 GHz má vlnovou délku λ = 3×10⁸ / 2,4×10⁹ = 0,125 m = 12,5 cm. Tato vlnová délka určuje velikost antény (čtvrtvlnová anténa = 3,1 cm pro 2,4 GHz) a průnik materiály.

EM spektrum pokrývá více než 15 řádů frekvence:

• Rádiové vlny (3 kHz – 300 GHz, vlnové délky od km po mm) přenášejí vysílání, Wi-Fi a mobilní signály.
• Mikrovlny (300 MHz – 300 GHz) ohřívají jídlo a umožňují fungování radaru.
• Infračervené záření (300 GHz – 400 THz) přenáší tepelné záření a data optickými vlákny.
• Viditelné světlo (400–790 THz, 380–750 nm) – červená na 700 nm, fialová na 380 nm.
• Ultrafialové záření (790 THz – 30 PHz) způsobuje spálení pokožky a vyvolává fluorescenci.
• Rentgenové záření (30 PHz – 30 EHz) proniká měkkými tkáněmi pro lékařské zobrazování.
• Gama záření (nad 30 EHz) vzniká při jaderných reakcích a kosmických událostech.

Každá oblast má odlišné mechanismy vzniku, interakce s hmotou a praktické aplikace určené vztahem mezi vlnovou délkou a velikostí objektu.

Zvukové vlny se šíří mnohem pomaleji než světlo – přibližně 343 m/s ve vzduchu při 20 °C, 1 480 m/s ve vodě a 5 960 m/s v oceli. Lidský sluch pokrývá rozsah od 20 Hz do 20 kHz, což ve vzduchu odpovídá vlnovým délám od 17 metrů (20 Hz) do 17 milimetrů (20 kHz).

Hudební tón A4 (440 Hz) má vlnovou délku 343/440 = 0,78 metru. Hluboké basové frekvence (40–80 Hz) mají vlnové délky 4–8 metrů, což je důvod, proč basové zvuky snadno procházejí stěnami a je obtížné je akusticky pohlcovat.

Rychlost zvuku roste s teplotou: v ≈ 331,3 + 0,606 × T(°C) m/s. Při tělesné teplotě (37 °C) se zvuk šíří rychlostí 353,8 m/s, což je důležité pro lékařské ultrazvukové zobrazování, které využívá frekvence 1–20 MHz (vlnové délky 0,08–1,5 mm) k zobrazení anatomických struktur.

Chcete-li vypočítat vlnovou délku z frekvence, vydělte rychlost vlnění frekvencí: λ = v / f. Pro elektromagnetické vlny ve vakuu použijte v = c = 299 792 458 m/s (přesná hodnota definovaná NIST), takže λ = c / f.

Řešený příklad: FM rádiový signál o frekvenci 100 MHz má λ = 3×10⁸ / 1×10⁸ = 3 metry.

Chcete-li výpočet obrátit a najít frekvenci z vlnové délky, použijte f = v / λ. Obě formy vycházejí z úpravy vlnové rovnice v = f × λ, kterou popisuje HyperPhysics (Georgia State University). Výsledek je vyjádřen v metrech, pokud je rychlost v m/s a frekvence v hertzích. Před dělením vždy sjednoťte jednotky, abyste předešli chybám v měřítku.

Jednotkou frekvence SI je hertz (Hz), definovaný BIPM a NIST jako jeden cyklus za sekundu, neboli 1 Hz = 1 s⁻¹. Vlnová délka je délka měřená v metrech (m), což je základní jednotka SI. Rychlost vlnění je kombinuje jako metry za sekundu (m/s), protože v = f × λ dává Hz × m = s⁻¹ × m = m/s, což rozměrově odpovídá.

Běžné metrické předpony tyto jednotky škálují:

• 1 kHz = 10³ Hz
• 1 MHz = 10⁶ Hz
• 1 GHz = 10⁹ Hz
• 1 THz = 10¹² Hz

Pro vlnovou délku platí 1 nm = 10⁻⁹ m a 1 ångström (Å) = 10⁻¹⁰ m. Hertz je pojmenován na počest fyzika Heinricha Hertze, jak uvádí Encyclopaedia Britannica.

Perioda T je doba jednoho úplného cyklu vlnění a je převrácenou hodnotou frekvence: T = 1 / f, měřená v sekundách. Vyšší frekvence znamená kratší periodu.

Řešený příklad: signál 100 MHz má periodu T = 1 / (1×10⁸) = 1×10⁻⁸ s = 10 nanosekund.

Naopak frekvence se rovná jedné dělené periodou: f = 1 / T. Úhlová frekvence, která se používá při výpočtech kmitání a obvodů střídavého proudu, je ω = 2πf v radiánech za sekundu; pro 100 MHz je ω ≈ 6,283×10⁸ rad/s.

Khan Academy i HyperPhysics uvádějí periodu a frekvenci jako inverzní veličiny, což je vztah zásadní pro načasování, zpracování signálu a analýzu rezonance.

Energie jednoho fotonu je přímo úměrná jeho frekvenci prostřednictvím Planckova vztahu: E = h × f, kde h je Planckova konstanta, 6,62607015×10⁻³⁴ J·s (přesná hodnota stanovená redefinicí SI v roce 2019 podle BIPM a NIST). Můžete ji zapsat také pomocí vlnové délky jako E = hc / λ.

Řešený příklad: zelené světlo o frekvenci 5,45×10¹⁴ Hz (přibližně 550 nm) přenáší E = 6,626×10⁻³⁴ × 5,45×10¹⁴ ≈ 3,61×10⁻¹⁹ joulů na jeden foton.

Protože energie roste s frekvencí, gama záření má mnohem větší energii než rádiové vlny. Tento vztah tvoří základ fotoelektrického jevu, spektroskopie a fyziky solárních článků, jak vysvětluje HyperPhysics.

Když vlna vstoupí do hustšího prostředí, její frekvence zůstává konstantní, ale její rychlost a vlnová délka klesají. Pro světlo platí vlnová délka v prostředí λ_prostředí = λ_vakuum / n, kde n je index lomu.

Řešený příklad: červené světlo o vlnové délce 600 nm vstupující do skla s n = 1,5 se zkrátí na 600 / 1,5 = 400 nm, zatímco jeho frekvence se nemění, protože frekvenci určuje zdroj světla, nikoliv prostředí.

Rychlost vlny v prostředí je v = c / n, takže ve skle s n = 1,5 se světlo pohybuje rychlostí přibližně 2,0×10⁸ m/s. To je důvod, proč se světlo láme a čočky zaostřují – princip, který podrobně popisují Encyclopaedia Britannica a HyperPhysics. Při uvádění vlnové délky vždy specifikujte prostředí.

Převody mezi frekvencí a vlnovou délkou pohánějí praktické inženýrství v mnoha oblastech:

• V návrhu rádiových zařízení a antén se délka čtvrtvlnové antény rovná λ/4; pro 5GHz pásmo Wi-Fi je λ = 3×10⁸ / 5×10⁹ = 0,06 m, takže čtvrtvlnový prvek měří přibližně 1,5 cm podle anténních standardů IEEE.
• V optovláknové komunikaci se 1550nm telekomunikační pásmo volí kvůli minimálnímu útlumu ve skle.
• Lékařský ultrazvuk využívá zvukové vlny o frekvenci 1–20 MHz (vlnové délky v řádu milimetrů) k rozlišení jemných detailů tkání.
• Astronomové klasifikují zdroje podle spektrální oblasti a zvukoví inženýři dimenzují akustické prvky pro basové vlnové délky v řádu několika metrů.

Každá aplikace závisí na stejném vztahu v = f × λ aplikovaném při správné rychlosti vlny pro dané prostředí.

Zatímco frekvence f udává počet cyklů za sekundu, vlnové číslo popisuje počet cyklů na jednotku vzdálenosti. Úhlové vlnové číslo je k = 2π / λ v radiánech na metr a spektroskopické vlnové číslo je ν̃ = 1 / λ, často udávané v cm⁻¹.

Řešený příklad: světlo o vlnové délce 500 nm má ν̃ = 1 / (500×10⁻⁷ cm) = 20 000 cm⁻¹.

Vlnové číslo je oblíbené v chemii a infračervené spektroskopii, protože je úměrné energii fotonu, takže vyšší vlnové číslo znamená vyšší energii. Vztahy k = 2π / λ = 2πf / v propojují prostorový a časový popis. NIST a IUPAC uvádějí cm⁻¹ jako standardní spektroskopickou jednotku, což činí z vlnového čísla pohodlnou náhradu za vlnovou délku i energii.

Výpočty frekvence a vlnové délky často komplikuje několik chyb:

• Nejčastějším omylem je smíchání jednotek před dělením – například dělení metrů za sekundu megahertzi bez převodu MHz na Hz, což výsledek zkreslí milionkrát.
• Další chybou je použití rychlosti světla pro úlohy se zvukem; zvuk se ve vzduchu šíří rychlostí zhruba 343 m/s, nikoliv 3×10⁸ m/s.
• Mnoho studentů také zapomíná, že frekvence zůstává pevná, když vlna přechází do nového prostředí, a nesprávně ji přepočítává ze zkrácené vlnové délky.
• Zaměňování period (sekundy) za frekvenci (hertz) je rovněž běžné; jde o převrácené hodnoty, nikoliv o rovnost.
• A konečně, vyhněte se předčasnému zaokrouhlování c – HyperPhysics a NIST doporučují zachovat plnou přesnost až do posledního kroku, aby se předešlo kumulaci chyb.