Ověření přestupného roku

Pravidlo přestupného roku se skládá ze tří vnořených podmínek, které postupně zpřesňují kalendář.

• Za prvé, každý rok dělitelný 4 je kandidátem na přestupný rok – tento základní cyklus koriguje roční přebytek 0,2422 dne.
• Za druhé, roky století (dělitelné 100) jsou z přestupných roků vyloučeny, protože čtyřletá korekce nadhodnocuje výpočet o 0,0078 dne na cyklus, což za 400 let naroste na přibližně 3 dny navíc.
• Za třetí, roky dělitelné 400 jsou opět zařazeny jako přestupné, čímž se vrací jeden ze tří vynechaných dnů.

Výsledek: 400 let obsahuje přesně 97 přestupných roků (nikoliv 100), což dává průměrnou délku roku 365,2425 dne.

Nedávné příklady toto pravidlo ilustrují:

• Rok 2024 byl přestupný (dělitelný 4, nejedná se o rok století).
• Rok 1900 nebyl přestupný (dělitelný 100, ale ne 400).
• Rok 2000 BYL přestupný (dělitelný 400).

Další výjimkou pro rok století bude rok 2100, který přestupný nebude, přestože je dělitelný 4.

Juliánský kalendář, který zavedl Julius Caesar roku 45 př. n. l., používal jednodušší pravidlo: každý čtvrtý rok je přestupný, tečka. To vedlo k průměrnému roku o délce 365,25 dne – blízko, ale ne dostatečně. Během 1 600 let se juliánský kalendář odchýlil od astronomické reality o 10 dní. V 16. století připadala jarní rovnodennost na 11. března namísto 21. března, což narušovalo výpočet Velikonoc.

Papež Řehoř XIII. pověřil provedením reformy gregoriánského kalendáře v roce 1582, která přeskočila 10 dní (po 4. říjnu následoval 15. říjen) a zavedla výjimky pro století a 400leté cykly.

Katolické země ji přijaly okamžitě, ale protestantské a pravoslavné státy odolávaly desítky až stovky let – Británie a její kolonie na něj přešly až v roce 1752, což v té době vyžadovalo vynechání 11 dnů. Rusko přijalo gregoriánský kalendář až v roce 1918. Dnes je gregoriánský kalendář mezinárodním občanským standardem, který používá prakticky každá země.

Lidé narození 29. února – nazývaní přestupníci – čelí jedinečným praktickým výzvám. Přibližně 4,1 milionu lidí na celém světě má narozeniny 29. února, což představuje asi 1 z 1 461 lidí. Ve většině právních řádů stárnou tito lidé v nepřestupných letech pro účely, jako je řidičský průkaz nebo volební právo, 1. března, ačkoliv některé země používají 28. únor. Pravděpodobnost narození 29. února je o něco nižší než 1/1 461, protože nemocnice v minulosti plánovaly méně vyvolaných porodů a císařských řezů na přestupný den.

Programátoři musí s přestupnými roky zacházet opatrně – problém roku 2000 se týkal toho, zda systémy správně identifikují rok 2000 jako přestupný (dělitelný 400), namísto toho, aby ho vynechaly jako rok století.

Přestupné sekundy, což je samostatný koncept, se občas přidávají do UTC, aby se zohlednilo zpomalování zemské rotace, ale ty s korekcí přestupného roku nesouvisí.

Přestupný rok je kalendářní rok obsahující 366 dní namísto obvyklých 365, přičemž den navíc je přidán jako 29. únor.

Tato úprava existuje proto, že Země neobíhá kolem Slunce v celém počtu dní – podle Námořní observatoře USA jí to trvá zhruba 365,2422 dne. Pokud by kalendář tuto zbývající čtvrť den ignoroval, roční období by se pomalu posouvala mimo soulad s daty a asi po 700 letech by prosinec připadl na období, které dnes nazýváme létem. Přidání jednoho dne každé čtyři roky pohltí většinu tohoto přebytku.

Únor byl pro den navíc vybrán proto, že v antickém římském kalendáři, ze kterého vychází, byl únor posledním a nejkratším měsícem v roce, jak uvádí Encyclopaedia Britannica.

Chcete-li zkontrolovat libovolný rok, aplikujte gregoriánské pravidlo ve třech seřazených krocích.

• Krok 1: vydělte rok 4 – pokud existuje zbytek, nejedná se o přestupný rok a můžete skončit.
• Krok 2: pokud je beze zbytku dělitelný 4, zkontrolujte, zda je také dělitelný 100; pokud není, jedná se o přestupný rok.
• Krok 3: pokud je dělitelný 100, zkontrolujte dělitelnost 400 – dělitelný znamená přestupný rok, nedělitelný znamená obyčejný rok.

Příklad výpočtu: 2024 ÷ 4 = 506 bez zbytku a rok 2024 není rokem století, takže rok 2024 je přestupný. Pro srovnání 2023 ÷ 4 = 505,75, takže 2023 je obyčejný rok. Tím se testuje základní dělitelnost, což je koncept, který Khan Academy pokrývá ve svém aritmetickém kurzu.

Test přestupného roku je kompaktní výraz v modulární aritmetice: rok Y je přestupným rokem, když (Y mod 4 = 0 A ZÁROVEŇ Y mod 100 ≠ 0) NEBO (Y mod 400 = 0). Operátor „mod“ vrací zbytek po dělení, což je funkce, kterou Wolfram MathWorld definuje jako relaci kongruence.

Obě klauzule se kombinují tak, že pravidlo dělitelnosti 4 platí obecně, klauzule dělitelnosti 100 vyčleňuje roky století a klauzule dělitelnosti 400 obnovuje každé čtvrté století.

Většina programovacích jazyků používá symbol procenta (%) jako operátor modulo, takže podmínka zní přesně takto: (year % 4 == 0 && year % 100 != 0) || (year % 400 == 0). Protože je logika založena na čisté celočíselné aritmetice, nevyžaduje žádnou vyhledávací tabulku kalendáře a vyhodnocuje se identicky pro libovolný rok, minulý či budoucí.

V každém 400letém gregoriánském cyklu je přesně 97 přestupných roků, nikoli 100.

Počítání funguje takto: 400 ÷ 4 = 100 roků dělitelných 4, poté odečteme 3 roky století, které jsou dělitelné 100, ale ne 400 (jako jsou 2100, 2200 a 2300), čímž získáme 100 − 3 = 97. To dává průměrnou délku kalendářního roku 365 + 97/400 = 365,2425 dne, což je pozoruhodně blízko astronomickému roku.

Úplný 400letý cyklus proto obsahuje 400 × 365 + 97 = 146 097 dní. Hezký důsledek: 146 097 je přesně dělitelné 7 (146 097 ÷ 7 = 20 871), takže gregoriánský kalendář opakuje svůj vzorec dnů v týdnu každých 400 let, což znamená, že jakékoli dané datum připadá na stejný den v týdnu jako o čtyři století dříve.

Přestupné roky obvykle připadají na roky dělitelné 4. Mezi nedávné přestupné roky patří 2016, 2020 a 2024 a nadcházejícími přestupnými roky jsou 2028, 2032, 2036, 2040 a 2044.

Tento vzorec se porušuje pouze v letech století: 1700, 1800 a 1900 byly obyčejné roky, zatímco rok 2000 byl přestupný, protože je dělitelný 400. Když se podíváme ještě dál do budoucna, roky 2100, 2200 a 2300 budou všechny obyčejné roky a dalším přestupným rokem století bude rok 2400.

Protože přestupné roky vycházejí na sudá čísla končící v rámci století na 0, 4 nebo 8, rychlou zkratkou pro dvouciferné kontroly je zjistit, zda poslední dvě číslice tvoří číslo dělitelné 4 – za předpokladu, že rok není rokem století vyžadujícím test 400.

Logika přestupných roků má velký význam i mimo pouhé zajímavosti.

• Vývojáři softwaru musí správně zpracovávat 29. únor v knihovnách dat, systémech plánování a finančním softwaru – závada při zpracování plateb v roce 2016 a známý problém roku 2000 pramenily z nesprávně ošetřených přestupných pravidel, kde hrozilo, že systémy budou považovat rok 2000 za obyčejný rok.
• Výpočty mezd a úroků, které využívají skutečný počet dní, závisí na zjištění, zda má rok 365 nebo 366 dní.
• Astronomové a tvůrci kalendářů používají průměr 365,2425 dne k udržení souladu občanského času s tropickým rokem.
• Genealogové a historici převádějící data v období přechodu z juliánského na gregoriánský kalendář v roce 1582 musí zohlednit odlišná pravidla přestupných roků.
• Dokonce i kalkulačka věku a výpočty narozenin potřebují logiku přestupných roků, aby se s lidmi narozenými 29. února zacházelo jednotně, což je důležité pro přestupníky sledující svůj právní věk.

• Nejčastější chybou je použití pouze pravidla „dělitelné 4“ a zapomenutí na výjimky pro století – to nesprávně označuje roky 1900 a 2100 za přestupné, přičemž oba jsou obyčejnými roky.
• Druhou chybou je opak: předpoklad, že všechny roky století se vynechávají, což nesprávně vylučuje roky 2000 a 2400, přestože jsou oba dělitelné 400 a jsou skutečnými přestupnými roky.
• Třetím úskalím je záměna přestupných roků s přestupnými sekundami; přestupné sekundy jsou nepravidelné jednosekundové úpravy koordinovaného světového času kvůli rotaci Země a neřídí se žádným pevným vzorcem, takže nesouvisí s pravidlem kalendářního přestupného dne.
• Nakonec si někteří lidé špatně pamatují pravidla juliánského oproti gregoriánskému kalendáři pro historická data před rokem 1582, kdy byl každý čtvrtý rok přestupný bez výjimky pro století, což může převody historických dat posunout o několik dní.

Přestupný rok a přestupná sekunda řeší dva zcela odlišné problémy s měřením času.

Přestupný rok přidává celý den (29. únor) podle předvídatelného harmonogramu, aby kalendář zůstal v souladu s oběhem Země kolem Slunce, který trvá přibližně 365,2422 dne. Přestupná sekunda naproti tomu přidává jedinou sekundu ke koordinovanému světovému času (UTC) na nepravidelném a nepředvídatelném základě jako kompenzaci za postupné a nerovnoměrné zpomalování zemské rotace, jak dokumentuje Námořní observatoř USA.

Přestupné sekundy byly od roku 1972 vloženy jen asi dvacetkrát a jsou oznamovány pouhých několik měsíců předem, zatímco přestupné roky se řídí pevným 400letým matematickým pravidlem, které si můžete spočítat o několik staletí dopředu. Koncem roku 2022 hlasovaly mezinárodní orgány pro měření času pro postupné zrušení přestupné sekundy do roku 2035, ale pravidlo přestupného roku zůstává beze změny a nedotčeno.