Kalkulačka šikmého vrhu

Čtyři základní rovnice (za předpokladu vrhu z úrovně země bez odporu vzduchu):

• Dolet R = v₀²sin(2θ)/g — maximální při θ = 45°.
• Maximální výška H = v₀²sin²(θ)/(2g).
• Doba letu T = 2v₀sin(θ)/g.

Tyto rovnice rozkládají počáteční rychlost na složky: v_x = v₀cos(θ) zůstává během celého letu konstantní; v_y = v₀sin(θ) - gt klesá až na nulu v nejvyšším bodě a poté roste směrem dolů.

V libovolném čase t: horizontální poloha x = v₀cos(θ)t, vertikální poloha y = v₀sin(θ)t - ½gt².

Příklad: dělová koule vystřelená rychlostí 100 m/s pod úhlem 45°: R = 100²×sin(90°)/9.81 = 1 019 m, H = 100²×sin²(45°)/(2×9.81) = 255 m, T = 2×100×sin(45°)/9.81 = 14,4 sekundy.

Ve vákuu nastává maximální dolet při 45° pro jakoukoli počáteční rychlost. Doplňkové úhly (např. 30° a 60°) však vedou ke stejnému doletu — úhel 30° dává plochou a rychlou trajektorii, zatímco 60° vysokou a pomalou.

Při vrhu z vyvýšeného místa (útes, kopec) se optimální úhel posouvá pod 45°, protože těleso musí překonat dodatečnou vertikální vzdálenost. Z výšky h je optimální úhel ≈ arctan(v₀/√(v₀² + 2gh)), což se s rostoucí rychlostí v₀ vůči h blíží k 45°.

S odporem vzduchu optimální úhel klesá u většiny reálných těles na 30–40°, protože vysoké trajektorie tráví více času ve vyšších výškách, kde se účinky odporu kumulují.

Dělostřelecké výpočty musejí navíc zohledňovat:

• vítr,
• Coriolisovu sílu (rotaci Země),
• a aerodynamické vlastnosti střely.

Využití ve sportu: basketbalový trestný hod (počáteční rychlost ~7 m/s, úhel ~52°, výška odhodu ~2,4 m, koš ve výšce 3,05 m, vzdálenost 4,6 m) má velmi úzké rozmezí úspěšných úhlů a rychlostí. Golfový odpal (počáteční rychlost 70 m/s, úhel 10–12° se zpětnou rotací) využívá Magnusův jev (vznos vyvolaný rotací) k dosažení doletu přes 250 metrů — což výrazně přesahuje předpověď pro vákuum při daném úhlu.

Odpor vzduchu (odporová síla Fd = ½ρv²CdA) výrazně ovlivňuje trajektorii: bejzbalový míček odpálený rychlostí 45 m/s pod úhlem 35° letí ve vákuu přibližně 120 metrů, ale s odporem vzduchu pouze 95–100 metrů — což je 20% pokles. Odporová síla roste s druhou mocninou rychlosti, takže rychlejší tělesa jsou ovlivněna poměrně více.

Mezní rychlost nastává, když se odporová síla vyrovná gravitaci:

• přibližně 30 m/s u bejzbalového míčku,
• 55 m/s u parašutisty (v roztažené poloze),
• a 90 m/s u parašutisty (hlavou dolů).

Pro výpočet horizontálního doletu na rovné zemi použijte vzorec R = v₀²·sin(2θ)/g, kde v₀ je počáteční rychlost, θ je úhel vrhu a g je gravitační zrychlení (9,81 m/s² na Zemi).

• Nejprve umocněte počáteční rychlost na druhou,
• poté vynásobte sinusem dvojnásobku úhlu vrhu,
• a vydělte hodnotou g.

Příklad: míč vrhnutý rychlostí 25 m/s pod úhlem 30°: R = 25² × sin(60°) / 9.81 = 625 × 0,8660 / 9.81 ≈ 55,2 metru. Člen s dvojnásobným úhlem vysvětluje, proč úhly 30° a 60° dávají stejný dolet.

HyperPhysics (Georgia State University) odvozuje tento výsledek z nezávislých rovnic horizontálního a vertikálního pohybu.

Při výpočtech šikmého vrhu se používají základní a odvozené jednotky SI definované BIPM a NIST.

• Rychlost (v₀) se měří v metrech za sekundu (m/s),
• úhel vrhu (θ) ve stupních nebo radiánech,
• vzdálenost a výška (R, H) v metrech (m),
• a doba letu (T) v sekundách (s).

Gravitační zrychlení g má jednotky metr za sekundu na druhou (m/s²) se standardní hodnotou 9,80665 m/s² podle NIST.

Ponechání všech veličin v konzistentních jednotkách SI zaručuje, že vzorce vrátí přímo metry a sekundy. Pokud zadáte rychlost v km/h nebo stopách, nejprve ji převeďte: 1 km/h = 0,2778 m/s a 1 stopa = 0,3048 m, jinak budou výsledky rozměrově nesprávné.

Dopadová rychlost je celková rychlost v momentě dopadu tělesa, kterou získáme spojením horizontální a vertikální složky rychlosti pomocí Pythagorovy věty: v = √(vₓ² + v_y²).

Horizontální složka zůstává konstantní vₓ = v₀·cos(θ), zatímco vertikální složka při dopadu je v_y = v₀·sin(θ) − g·t.

Pro těleso volně spuštěné z výšky h (θ = 0, v₀ = 0) se dopadová rychlost zjednoduší na v = √(2gh): při pádu z 45 m je v = √(2 × 9.81 × 45) = √882.9 ≈ 29,7 m/s.

Khan Academy vysvětluje, že ve vákuu se počáteční rychlost rovná dopadové rychlosti, pokud je výška odhodu a dopadu stejná, jelikož se zachovává energie.

Při šikmém vrhu se horizontální a vertikální směr analyzují odděleně, protože gravitace působí pouze ve vertikálním směru.

Horizontální rychlost vₓ = v₀·cos(θ) je konstantní (ve vákuu nepůsobí žádná horizontální síla), takže horizontální poloha roste lineárně: x = v₀·cos(θ)·t. Ve vertikálním směru vytváří gravitace stálé zrychlení g směrem dolů, což dává y = v₀·sin(θ)·t − ½g·t².

Tato nezávislost, poprvé formulovaná Galileem a podrobně popsaná v Encyclopaedia Britannica, znamená, že kulka vystřelená horizontálně a kulka volně puštěná ze stejné výšky dopadnou na zem ve stejný okamžik.

HyperPhysics přistupuje k těmto dvěma složkám jako ke dvěma jednorozměrným kinematickým úlohám, jejichž jedinou společnou proměnnou je čas t.

Pokud těleso startuje z vyvýšeného bodu, doba letu se získá vyřešením rovnice pro vertikální polohu 0 = h + v₀·sin(θ)·t − ½g·t² pomocí kvadratického vzorce: t = [v₀·sin(θ) + √((v₀·sin(θ))² + 2gh)] / g. Zde h představuje výšku odhodu nad povrchem dopadu.

Pro vrh z úrovně země (h = 0) se vzorec zjednoduší na standardní T = 2·v₀·sin(θ)/g.

Jelikož diskriminant roste s h, větší výška vždy zvyšuje jak dobu letu, tak horizontální dolet. Fyzikální smysl má pouze kladný kořen, protože těleso dopadne až po odhodu.

Khan Academy předvádí tento kvadratický postup u příkladů s vrhem z útesu či střechy.

Rovnice šikmého vrhu modelují řadu reálných činností.

• V basketbalu trestný hod odhozený rychlostí kolem 7 m/s pod úhlem přibližně 52° opisuje parabolu směřující do koše ve výšce 3,05 m.
• V balistice a dělostřelectvu nastavují dělostřelci úhly náměru pomocí tabulek doletu odvozených z R = v₀²·sin(2θ)/g a následně je upravují o odpor vzduchu, vítr a rotaci Země (Coriolisův jev).
• Stavební a strojní inženýři aplikují stejnou kinematiku při návrhu vodotrysků, dosahu hasičských hadic či sjíždění balíků z dopravníkových pásů.
• Letečtí inženýři používají základy šikmého vrhu jako vakuový základ před započítáním aerodynamického odporu a vznosu.

Encyclopaedia Britannica uvádí, že tyto idealizované parabolické výsledky zůstávají klíčovou první aproximací ve sportovní vědě i inženýrství.

Nejčastějšími chybami jsou záměny úhlových režimů a jednotek.

• Kalkulačky mají jako výchozí nastavení radiány, takže pro sin(45°) musíte použít režim stupňů nebo hodnotu v radiánech 0,7854, nikoli 45.
• Další chybou je zapomínání, že gravitace působí pouze na vertikální složku — horizontální rychlost vₓ = v₀·cos(θ) se ve vákuu nikdy nemění.
• Studenti také často nesprávně používají vzorec T = 2v₀sin(θ)/g, když se výška odpalu a dopadu liší; tato zkratka platí pouze pro rovnou zem.
• Záleží také na znaménkové konvenci: se zrychlením směrem dolů zacházejte důsledně jako s −g.
• Nakonec nezaměňujte maximální výšku s polovinou dostřelu a pamatujte, že tento model ignoruje odpor vzduchu, v souladu s předpoklady idealizovaného pohybu podle NIST a HyperPhysics.

Protože g vystupuje ve jmenovateli každého vzorce pro šikmý vrh, slabší gravitace vede k delšímu, vyššímu a pomalejšímu letu. Dostřel se mění nepřímo úměrně s g: R = v₀²·sin(2θ)/g.

Při použití standardních hodnot ve stylu NIST:

• g na Zemi je 9,81 m/s²,
• na Měsíci přibližně 1,62 m/s²,
• a na Marsu přibližně 3,72 m/s².

Projektil vystřelený rychlostí 20 m/s pod úhlem 45° urazí na Zemi přibližně 40,8 m, ale na Měsíci přibližně 246,9 m (40,8 × 9,81 / 1,62) — tedy asi šestkrát dále. Doba letu a maximální výška se zvyšují ve stejném poměru.

Proto vám kalkulačka umožňuje upravit hodnotu g a modelovat tak měsíční, marsovské nebo laboratorně upravené podmínky.