Pythagorova věta je základním kamenem geometrie pravouhlého trojúhelníku: pro každý pravouhlý trojúhelník platí, že obsah čtverce nad přeponou se rovná součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami (a² + b² = c²). Tato kalkulačka vypočítá jakoukoli chybějící stranu – přeponu i odvěsny – a zároveň slouží jako kalkulačka 2D vzdálenosti. Zobrazuje kompletní algebraický postup krok za krokem, provádí výpočet plochy trojúhelníku (½ab), obvodu, ostrých úhlů pomocí arkustangens a rozpoznává přesné Pythagorské trojice jako 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 a 9-40-41. Je užitečná pro domácí úkoly, tesařství a konstrukce, zaměřování pravých úhlů základů, navigaci, velikosti vektorů ve fyzice, měření úhlopříček obrazovek a jakékoli inženýrské úlohy vedoucí na pravouhlý trojúhelník.
Úpravou vzorce vypočítáte neznámou: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²) nebo b = √(c² − a²). Při výpočtu odvěsny musí být přepona větší než známá odvěsna.
a² + b² = c²
Přepona je vždy nejdelší strana – leží naproti úhlu 90°.
Běžné Pythagorské trojice: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41, 20-21-29.
Jakýkoli násobek trojice je rovněž Pythagorskou trojicí (např. 6-8-10, 9-12-15).
Pro ověření pravého úhlu na stavbě naměřte 3 ft, 4 ft a 5 ft – pokud je úhlopříčka přesně 5, roh je pravý.
Větu lze rozšířit i do 3D: d = √(x² + y² + z²) pro tělesovou úhlopříčku kvádru.
Vzdálenost mezi dvěma body (x₁,y₁) a (x₂,y₂): d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
Spočítejte jakýkoliv pravouhlý trojúhelník během několika sekund. Zadejte dvě strany, zvolte neznámou a získejte chybějící stranu včetně výpočtu plochy, obvodu, úhlů a kompletního postupu řešení krok za krokem. Zvládne také vzdálenost dvou bodů v 2D.
Kdykoliv máte pravouhlý trojúhelník a znáte dvě ze tří stran.
Mezi běžná použití v praxi patří:
Celočíselná řešení rovnice a² + b² = c².
Mezi základní (primitivní) trojice patří:
Jakýkoliv násobek je také platnou trojicí, proto fungují i 6-8-10 a 9-12-15.
Přepona je nejdelší strana pravouhlého trojúhelníku, protilehlá k 90° úhlu, a vypočítá se jako c = √(a² + b²). Umocněte obě odvěsny na druhou, sečtěte je a pak získejte odmocninu.
Pro odvěsny 6 a 8: c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Pro odvěsny 5 a 12: c = √(25 + 144) = √169 = 13. Výsledek je vždy větší než kterákoliv odvěsna, ale menší než jejich součet.
Nastavte režim kalkulačky na 'Přepona c (dány odvěsny a a b)', zadejte obě odvěsny ve stejných jednotkách a kalkulačka vrátí c společně s výpočtem plochy, obvodem a ostrými úhly trojúhelníku.
To je nejčastější použití této věty — vyměřování pravého úhlu, dimenzování úhlopříčné vzpěry nebo výpočet délky rampy z její výšky a základny.
Pokud znáte přeponu a jednu odvěsnu, upravte větu pro chybějící odvěsnu: a = √(c² − b²). Odečtěte čtverec známé odvěsny od čtverce přepony a poté proveďte odmocninu.
Pro přeponu 13 a odvěsnu 5: a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Přepona musí být vždy větší než známá odvěsna — pokud c ≤ b, reálný pravouhlý trojúhelník neexistuje a kalkulačka na to upozorní.
Zvolte režim 'Odvěsna a' nebo 'Odvěsna b', zadejte přeponu a známou odvěsnu a nástroj vrátí chybějící stranu se zobrazeným postupem c² − b² krok za krokem.
Takto zjistíte bezpečnou vzdálenost základny žebříku od stěny na základě jeho délky a výšky stěny.
Vzorec pro vzdálenost v 2D d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) je skrytá Pythagorova věta: horizontální rozestup (x₂ − x₁) a vertikální rozestup (y₂ − y₁) jsou dvě odvěsny pravouhlého trojúhelníku a přímá vzdálenost je přepona.
Z bodu (1, 2) do (4, 6): d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Přepněte kalkulačku na 'Vzdálenost dvou bodů v 2D', zadejte čtyři souřadnice a získáte přesnou vzdálenost.
Tento princip využívá:
Jakmile jsou známy všechny tři strany, obsah a obvod pravouhlého trojúhelníku lze určit okamžitě. Protože obě odvěsny svírají úhel 90°, fungují jako základna a výška, takže výpočet plochy je jednoduše ½ × a × b — bez nutnosti goniometrie.
Trojúhelník 3-4-5 má obsah ½ × 3 × 4 = 6 plošných jednotek a obvod 3 + 4 + 5 = 12. Trojúhelník 6-8-10 má obsah ½ × 6 × 8 = 24 a obvod 24.
Tato kalkulačka zobrazí výpočet plochy, obvod a oba ostré úhly (zjištěné pomocí arkustangens, např. úhel A = arctan(a/b)) vedle chybějící strany, čímž poskytne kompletní řešení trojúhelníku ze dvou zadaných hodnot. Pro trojúhelníky bez pravého úhlu vypočítá naše kalkulačka trojúhelníku stejnou plochu, obvod a úhly pomocí věty sinové a kosinové.
Tato věta přetváří dva běžné rozměry v úhlopříčku.
Velikost obrazovky TV nebo monitoru představuje její úhlopříčku: obrazovka široká 1,21 m a vysoká 0,68 m má úhlopříčku √(1.21² + 0.68²) ≈ 1,39 m, což odpovídá přibližně 55palcové TV.
Úhlopříčka obdélníku je přeponou trojúhelníku tvořeného jeho délkou a šířkou, takže délka od rohu k rohu u poměru stran 16:9 je √(16² + 9²) ≈ 18,36 jednotek.
Tesaři a stavitelé vyměřují pravé úhly základů nebo teras pomocí pravidla 3-4-5: naměří 3 stopy podél jedné hrany, 4 stopy podél kolmé hrany, a pokud je úhlopříčka mezi těmito značkami přesně 5 stop, roh svírá přesný pravý úhel. Zvětšení měřítka na 6-8-10 nebo 9-12-15 poskytuje vyšší přesnost na delších stěnách.
Obrácená Pythagorova věta umožňuje ověřit, zda má trojúhelník pravý úhel:
Takto zkontrolujete pravý úhel pouze ze tří naměřených délek.
Věta se rozšiřuje i do tří rozměrů: prostorová úhlopříčka kvádru s hranami x, y a z je d = √(x² + y² + z²), což odvodíte dvojím použitím věty — nejprve napříč základnou a poté k protilehlému rohu.
Kvádr o rozměrech 3 × 4 × 12 má prostorovou úhlopříčku √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 jednotek, což se hodí k ověření, zda se dlouhý předmět vejde do krabice úhlopříčně.
Příklad řešení pro přeponu: odvěsny 9 a 12 → 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = √225 = 15.
Příklad řešení pro odvěsnu: přepona 25, odvěsna 7 → 25² − 7² = 625 − 49 = 576 → a = √576 = 24.
Kalkulačka zobrazuje každý z těchto kroků, abyste mohli postup sledovat nebo si algebru ručně zkontrolovat.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.