Kalkulačka kvadratických rovnic
Použijte vzorec pro kvadratickou rovnici x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a k nalezení přesných řešení.
Funguje pro libovolné koeficienty s kompletním vysvětlením krok za krokem.
Kalkulačka kvadratických rovnic
Naše bezplatná kalkulačka kvadratických rovnic vám pomůže najít kořeny jakékoli kvadratické rovnice pomocí kvadratického vzorce. Získejte diskriminant, vrcholový tvar, osu symetrie, rozklad na součin a kompletní postup řešení. Funguje pro reálné i komplexní kořeny.
star
4.9
calendar_today
Updated: November 2026
auto_awesome
AI Insights
AI
Kvadratická kalkulačka calculator
Equation
1x² - 5x + 6 = 0
Discriminant (Δ)
1
2 Real Roots
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
Quadratic Formula
x = (-b ± √Δ) / 2a
Solutions
x₁
3
x₂
2
Properties
Vertex (h, k)
(2.5, -0.25)
Axis of Symmetry
x = 2.5
Sum of Roots
5
Product of Roots
6
Forms
Factored:
(x - 3)(x - 2)
Vertex:
(x - 2.5)² - 0.25
Solution Steps
1. Δ = b² - 4ac = 25 - 24 = 1
2. x = (-(-5) ± √1) / 2(1)
3. x = (5 ± 1) / 2
4. x₁ = 3, x₂ = 2
lightbulb Tips
- •x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
- •Δ > 0: two real roots
- •Δ = 0: one repeated root
- •Δ < 0: complex roots
functions Reference
Discriminant (Δ = b²-4ac)
Δ > 0
Two real roots
Δ = 0
One repeated root
Δ < 0
Complex roots
Formulas
Vertex: (-b/2a, f(-b/2a))
Sum of roots: -b/a
Product of roots: c/a
How to Use the Kvadratická kalkulačka
edit
Zadejte koeficienty
Zadejte hodnoty pro a, b a c v rovnici ax² + bx + c = 0.
functions
Zobrazit kořeny
Prohlédněte si řešení x₁ a x₂ (reálná nebo komplexní).
analytics
Analýza rovnice
Získejte diskriminant, vrchol, osu souměrnosti a jednotlivé tvary rovnice.
format_list_numbered
Postup řešení
Projděte si kompletní postup řešení krok za krokem.
The Formula
Vzorec pro výpočet kvadratické rovnice poskytuje řešení jakékoli kvadratické rovnice. Diskriminant (Δ) určuje, zda jsou kořeny reálné (Δ ≥ 0) nebo komplexní (Δ < 0).
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
lightbulb Variables Explained
- a, b, c Koeficienty v rovnici ax² + bx + c = 0
- Δ = b² - 4ac Diskriminant (určuje počet a typ kořenů)
- x₁, x₂ Dva kořeny (řešení)
tips_and_updates Pro Tips
1
Pokud Δ > 0: Dva různé reálné kořeny
2
Pokud Δ = 0: Jeden dvojnásobný reálný kořen
3
Pokud Δ < 0: Dva komplexně sdružené kořeny
4
Vrcholový tvar: a(x - h)² + k, kde h = -b/2a
5
Součet kořenů = -b/a, součin kořenů = c/a
6
Parabola je otevřená nahoru, pokud a > 0, a dolů, pokud a < 0
Vyřešte jakoukoli kvadratickou rovnici ax² + bx + c = 0 pomocí vzorce pro výpočet kořenů. Získejte reálné i komplexní kořeny, diskriminant, vrchol paraboly, osu souměrnosti a podrobný postup řešení krok za krokem.
Výpočet diskriminantu
Spočítejte diskriminant Δ = b² - 4ac a zjistěte typ kořenů ještě před samotným řešením.
- Kladný diskriminant znamená dva reálné kořeny
- Nula znamená jeden dvojnásobný kořen
- Záporný diskriminant znamená komplexní kořeny
Převedení na vrcholový tvar
Převeďte standardní tvar na vrcholový tvar a(x - h)² + k.
Najděte souřadnice vrcholu a pochopte polohu i směr paraboly.
Rozklad kvadratického trojčlenu
Získejte součinový tvar a(x - r₁)(x - r₂) po nalezení kořenů.
Jelikož kořeny často bývají zlomky místo celých čísel, usnadňuje jejich úpravu kalkulačka zlomků. Součinový tvar je navíc užitečný pro pochopení struktury rovnice a řešení nerovnic.
Řešení komplexních kořenů
Pokud je diskriminant záporný, najděte komplexně sdružené kořeny ve tvaru a ± bi.
Naše kalkulačka si poradí s reálnými i imaginárními řešeními.
Řešení krok za krokem
Naučte se řešit kvadratické rovnice díky podrobným vysvětlením.
Ideální pro studenty algebry a přípravu na zkoušky.
Co je kvadratická rovnice?
Kvadratická rovnice je polynomická rovnice druhého stupně zapsaná ve standardním tvaru ax² + bx + c = 0, kde a, b a c jsou konstanty a a ≠ 0.
Jelikož nejvyšší mocnina neznámé x je dvě, rovnice má nejvýše dvě řešení zvaná kořeny. Geometricky je jejím grafem parabola, která je otevřená nahoru pro a > 0 a dolů pro a < 0.
Podle portálu Wolfram MathWorld pochází název „kvadratická“ z latinského quadratus (čtverec). Kvadratické rovnice se objevují napříč algebrou, fyzikou i financemi, což z nich dělá jeden z nejstudovanějších typů rovnic v základní matematice.
Jak vyřešit kvadratickou rovnici pomocí vzorce
Chcete-li vyřešit kvadratickou rovnici, upravte ji do standardního tvaru, určete koeficienty a, b, c a použijte vzorec pro výpočet kořenů x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
Nejprve spočítejte diskriminant b² - 4ac, poté jej dosaďte do vzorce a vyhodnoťte obě varianty (se znaménkem plus i mínus). Například pro 2x² - 4x - 6 = 0 dostaneme diskriminant 16 + 48 = 64, tedy x = (4 ± 8) / 4, z čehož vychází x = 3 a x = -1.
Khan Academy uvádí, že tento vzorec funguje pro každou kvadratickou rovnici – na rozdíl od rozkladu na součin nebo úpravy na čtverec, které nelze použít vždy. Vzorec je odvozen právě pomocí úpravy obecného tvaru na čtverec.
Metoda úpravy na čtverec
Úprava na čtverec přepisuje kvadratický trojčlen na druhou mocninu dvojčlenu plus konstantu, čímž převádí ax² + bx + c = 0 na vrcholový tvar a(x - h)² + k = 0.
Pro x² + 6x + 5 = 0 přičteme a odečteme (6/2)² = 9, čímž získáme (x + 3)² - 4 = 0, tedy (x + 3)² = 4 a x = -1 nebo x = -5.
Encyclopaedia Britannica popisuje tuto klasickou techniku jako základ pro samotné odvození vzorce pro kvadratickou rovnici. Kromě samotného řešení odhaluje úprava na čtverec přímo vrchol paraboly, což je velmi užitečné při kreslení grafů a integraci racionálních funkcí v matematické analýze.
Využití kvadratických rovnic v praxi
Kvadratické rovnice modelují mnohé reálné situace zahrnující výpočet plochy, pohyb a optimalizaci.
- Ve fyzice dráha šikmého vrhu odpovídá vzorci h = -½gt² + v₀t + h₀, což je kvadratická funkce času, jejímiž kořeny je moment dopadu objektu na zem.
- Inženýři je využívají pro výpočet plochy obdélníkových rozměrů.
- Ekonomové je používají k hledání cen maximalizujících zisk, kde příjmy tvoří parabolu.
Podle NIST Digital Library of Mathematical Functions jsou kořeny polynomů základem numerické analýzy a zpracování signálů. Wolfram MathWorld zdůrazňuje, že symetrie paraboly zobrazená osou x = -b/(2a) dělá z kvadratických funkcí ideální nástroj pro popis reflexních ploch, světlometů a satelitních antén.
Časté chyby při řešení kvadratických rovnic
Nejčastější chybou je použití vzorce pro kvadratickou rovnici předtím, než se rovnice upraví do standardního tvaru ax² + bx + c = 0, kdy jsou všechny členy na jedné straně a rovnají se nule.
- Dalším častým omylem je chyba v znaménkách: b v x² - 5x + 6 je -5, nikoli 5, což mění -b na +5.
- Studenti také zapomínají na symbol ± a uvedou pouze jeden kořen, případně opomenou jmenovatel 2a pro oba členy.
- Pokud je diskriminant záporný, nedospívejte k závěru „nemá řešení“ – kořeny jsou komplexně sdružené, jak vysvětluje Khan Academy.
Na závěr si kořeny vždy ověřte dosazením zpět do původní rovnice.
Frequently Asked Questions
sell
Tags
verified
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.