Kalkulačka směrodatné odchylky

Klíčový rozdíl spočívá ve jmenovateli: výběrová směrodatná odchylka dělí hodnotou (n-1), zatímco populační směrodatná odchylka dělí hodnotou n.

Použijte výběrovou směrodatnou odchylku, když jsou vaše data podmnožinou větší populace (což je v reálných scénářích nejčastější).

Použijte populační směrodatnou odchylku pouze tehdy, když máte data pro každého člena celé zkoumané populace.

Pro populaci: σ = √[Σ(xi - μ)² / N], kde μ je populační průměr a N je velikost populace.

Pro výběr: s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)], kde x̄ je průměr výběru a n je velikost výběru.

Dělení (n-1) ve vzorci pro výběr se nazývá Besselova korekce a poskytuje nestranný odhad populační směrodatné odchylky.

Směrodatná odchylka vám pomáhá porozumět variabilitě dat.

V normálním rozdělení spadá přibližně 68 % hodnot do jedné směrodatné odchylky od průměru, 95 % do dvou směrodatných odchylek a 99,7 % do tří směrodatných odchylek (pravidlo 68-95-99,7).

Porovnejte směrodatné odchylky napříč různými datovými sadami, abyste zjistili, která má větší variabilitu.

Směrodatná odchylka je měřítkem toho, jak jsou hodnoty v datovém souboru rozptýleny kolem svého průměru (střední hodnoty). Odpovídá na otázku: jak daleko je v průměru každý datový bod od středu?

Malá směrodatná odchylka znamená, že se hodnoty shlukují těsně kolem průměru, zatímco velká směrodatná odchylka značí, že jsou široce rozptýlené.

Podle Encyclopaedia Britannica je směrodatná odchylka nejpoužívanějším měřítkem variability v statistice, protože je vyjádřena ve stejných jednotkách jako původní data (na rozdíl od rozptylu). Je základem všeho od řízení kvality až po finance a umožňuje vám na první pohled porovnat konzistenci napříč různými datovými soubory.

Chcete-li vypočítat směrodatnou odchylku ručně, postupujte podle pěti kroků:

• Nejdříve najděte průměr sečtením všech hodnot a vydělením jejich počtem – což je přesně to, co v jednom kroku udělají naše kalkulačky, pokud si chcete toto číslo nejprve zkontrolovat.
• Za druhé, odečtěte průměr od každé hodnoty a získejte odchylky.
• Za třetí, umocněte každou odchylku na druhou, aby se záporné hodnoty neodečetly od kladných.
• Za čtvrté, sečtěte druhé mocniny odchylek a vydělte je počtem N pro základní soubor nebo n-1 pro výběrový soubor, čímž získáte rozptyl.
• Za páté, spočítejte druhou odmocninu z rozptylu.

Služba Khan Academy vysvětluje tento postup na řešených příkladech. Tato kalkulačka automatizuje každý krok a zobrazuje mezihodnoty, takže si můžete svou vlastní práci snadno zkontrolovat.

Uvažujme klasický datový soubor 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Součet 8 hodnot je 40, takže průměr je 5.

Odchylky od průměru jsou -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4 a jejich druhé mocniny jsou 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, jejichž součet dává 32.

Pro základní soubor (populaci) vydělte číslo N = 8, čímž získáte rozptyl 4. Druhá odmocnina dává směrodatnou odchylku základního souboru přesně 2. Tento příklad se objevuje v hesle o směrodatné odchylce na portálu Wolfram MathWorld.

Pro výběrový soubor byste dělili 32 číslem n-1 = 7, což dává rozptyl přibližně 4,571 a výběrovou směrodatnou odchylku přibližně 2,138.

Vzorec pro směrodatnou odchylku základního souboru je sigma = sqrt(suma (xi - mu)^2 / N), kde mu je průměr základního souboru a N je počet hodnot.

Výběrový vzorec je s = sqrt(suma (xi - xbar)^2 / (n-1)), kde xbar je výběrový průměr. Jediným rozdílem je jmenovatel.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods definuje oba vzorce a vysvětluje, že dělení výrazem n-1, známé jako Besselova korekce, poskytuje nevychýlený odhad rozptylu základního souboru z výběru.

Rozptyl je jednoduše hodnota pod druhou odmocninou, takže směrodatná odchylka je vždy druhou odmocninou rozptylu a má stejné jednotky jako původní data.

Výběrová směrodatná odchylka dělí součet druhých mocnin odchylek výrazem n-1 namísto n, protože výběrový soubor má tendenci podhodnocovat skutečný rozptyl celé populace.

Když počítáte odchylky od výběrového průměru namísto neznámého průměru populace, ztrácíte jeden stupeň volnosti, takže se jmenovatel o jedničku sníží, aby se to kompenzovalo. Tato úprava, nazývaná Besselova korekce, vytváří nevychýlený odhad rozptylu populace.

Průvodce NIST e-Handbook potvrzuje, že n-1 je standardní volbou pro výběrová data. Použijte n-1 vždy, když jsou vaše čísla podmnožinou vybranou z větší skupiny, což pokrývá většinu průzkumů, experimentů a reálného sběru dat.

Směrodatná odchylka se používá v mnoha oborech:

• Ve financích měří volatilitu výnosů investic – vyšší směrodatná odchylka tedy signalizuje vyšší riziko.
• Ve výrobě a řízení kvality řídí procesy Six Sigma, které udržují produkty v rozmezí tolerancí.
• Ve školství popisuje, jak těsně se výsledky testů shlukují kolem průměru třídy.
• V meteorologii a klimatologii zachycuje variabilitu teplot v různých ročních obdobích.

Encyclopaedia Britannica uvádí, že směrodatná odchylka je klíčová pro normální rozdělení, které modeluje nespočet přírodních jevů. Protože je vyjádřena ve stejných jednotkách jako data, odborníci ji používají k porovnávání konzistence, nastavování prahových hodnot a identifikaci neobvyklých pozorování.

Pro data, která odpovídají normálnímu rozdělení (ve tvaru zvonu), empirické pravidlo říká, že přibližně 68 % hodnot leží v rozmezí jedné směrodatné odchylky od průměru, zhruba 95 % v rozmezí dvou směrodatných odchylek a přibližně 99,7 % v rozmezí tří.

Pokud tedy mají výsledky testů průměr 70 a směrodatnou odchylku 10, přibližně 68 % studentů dosáhne skóre mezi 60 a 80.

Wolfram MathWorld popisuje tento vzorec jako definující vlastnost normálního rozdělení. Pravidlo mění abstraktní číslo rozptylu na konkrétní pravděpodobnost a pomáhá vám posoudit, jak běžná nebo vzácná je daná hodnota ve vašem datovém souboru.

• Nejčastější chybou je záměna vzorců pro výběrový a základní soubor použitím špatného jmenovatele; dělení číslem n namísto n-1 podhodnocuje rozptyl pro výběrová data.
• Další chybou je zapomenout umocnit odchylky na druhou, kvůli čemuž se kladné a záporné rozdíly vzájemně odečtou na nulu.
• Lidé také často zaměňují rozptyl se směrodatnou odchylkou a uvádějí umocněnou hodnotu namísto její druhé odmocniny.
• Příliš brzké zaokrouhlení průměru přenáší chyby do každého dalšího kroku, proto zachovejte plnou přesnost až do konce.
• Nakonec směrodatná odchylka dobře popisuje pouze symetrická, přibližně normální data; u silně šikmých dat může být zavádějící, jak varuje Khan Academy.