Kalkulačka trojúhelníku

Tři vzorce pokrývají každou situaci.

• Základna a výška: Obsah = ½ × b × h. Zvolte libovolnou stranu jako základnu; h je kolmá vzdálenost od protilehlého vrcholu k této základně (nebo jejímu prodloužení). Toto je vzorec, který se vyučuje ve škole jako první a po kterém sáhnete, když je výška zadána nebo ji lze snadno spustit.
• Heronův vzorec: Obsah = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] kde s = (a+b+c)/2. Použijte jej, když jsou známy všechny tři strany, ale ne výška — běžné v geodézii, navigaci a jakémkoli problému definovaném pouze délkami stran. Numericky Heronův vzorec ztrácí přesnost u velmi štíhlých (jehlovitých) trojúhelníků, kde se jedna strana téměř rovná součtu zbývajících dvou; kalkulačka v takových případech používá numericky stabilní variantu.
• Trigonometrický (SAS obsah): Obsah = ½ × a × b × sin(C), kde C je úhel mezi stranami a a b. Obzvláště kompaktní, když jsou zvána data typu SAS, a užitečný v lineární algebře a fyzice (velikost vektorového součinu).

Všechny tři dávají identické výsledky — jde o různé algebraické formy téže geometrické veličiny.

Ne každá trojice kladných délek tvoří platný trojúhelník. Trojúhelníková nerovnost říká, že součet každých dvou stran musí být přísně větší než strana třetí: a + b > c, a + c > b a b + c > a, a to vše současně.

Geometricky: pokud dvě kratší strany nedosáhnou přes dlouhou stranu, žádný trojúhelník neexistuje — krátké strany se zhroutí na tu dlouhou.

Délky jako 1, 2, 4 selžou (1 + 2 = 3 < 4). Délky jako 5, 5, 9 uspějí (5 + 5 = 10 > 9). Rovnost (1 + 2 = 3 se stranami 1, 2, 3) dává degenrovaný trojúhelník s nulovým obsahem — tři kolineární body, technicky vzato nejde o trojúhelník.

Kalkulačka nerovnost před výpočtem ověří a v případě, že strany nemohou tvořit skutečný trojúhelník, zobrazí jasnou chybu. Jakékoli stavebně-inženýrské nebo geodetické použití kalkulačky by mělo ověření trojúhelníkové nerovnosti brát jako kontrolu správnosti terénních měření.

Pět shodných případů definuje kombinace tří známých měření, která jednoznačně (nebo téměř jednoznačně) určují trojúhelník.

• SSS — tři strany: použijte kosinovou větu k výpočtu libovolného úhlu, třetí úhel pak získáte jako 180° mínus zbývající dva.
• SAS — dvě strany a sevřený úhel: kosinová věta dá třetí stranu; poté sinová věta (nebo opět kosinová) dá zbývající úhly.
• ASA — dva úhly a strana mezi nimi: třetí úhel je 180° − (A + B); sinová věta pak dá zbývající dvě strany.
• AAS — dva úhly a nesevřená strana: totéž co ASA po vypočítání třetího úhlu.
• SSA — dvě strany a nesevřený úhel: toto je nejednoznačný případ (další sekce), s možností 0, 1 nebo 2 platných trojúhelníků.
• AAA samotné (tři úhly, žádná strana) určuje tvar, ale ne velikost — vyhovuje mu nekonečně mnoho podobných trojúhelníků, takže AAA nelze vyřešit samostatně.

Kalkulačka směruje každou kombinaci vstupů ke správné metodě.

Sinová věta: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Poměr jakékoliv strany k sinu jejího protilehlého úhlu je stejný pro všechny tři páry. Použijte ji pro ASA, AAS a SSA.

Zádrhel je v případě SSA: jsou-li dány strany a, b a úhel A (proti straně a), nemusí existovat žádný trojúhelník, může existovat právě jeden nebo dva různé trojúhelníky. Geometrie:

• pokud je a kratší než kolmá vzdálenost od neznámého třetího vrcholu k základně, trojúhelník neexistuje.
• Pokud se a rovná této vzdálenosti, existuje právě jeden (pravoúhlý) trojúhelník.
• Pokud a spadá mezi tuto vzdálenost a b, existují dva trojúhelníky — jeden ostroúhlý a jeden tupoúhlý pro úhel B.
• Pokud je a delší než b, existuje pouze jeden trojúhelník.

Kalkulačka detekuje všechny tři režimy a v případě nejednoznačného SSA hlásí obě řešení. Odtud pochází většina studentských chyb v úvodní trigonometrii — a to je také důvod, proč se inženýrská praxe vyhýbá zadání typu SSA, pokud existují alternativy.

Kosinová věta: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Zobecňuje Pythagorovu větu — když C = 90°, cos(C) = 0 a vzorec se redukuje na a² + b² = c².

Použijte ji kdykoliv, kdy nelze použít sinovou větu: pro SSS a SAS. Ze SSS vypočítejte libovolný úhel: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), pak C = arccos(...). Z SAS dosaďte dvě známé strany a sevřený úhel do vzorce a odmocněním získejte třetí stranu.

Z výpočetního hlediska je kosinová věta numericky stabilnější než sinová věta pro velmi malé nebo velmi tupé úhly, a proto ji většina CAD a geodetických softwarů používá interně. Kalkulačka automaticky zvolí kosinovou větu pro vstupy SSS a SAS.

Když je jeden úhel přesně 90°, trojúhelník je pravoúhlý a matematika se výrazně zjednoduší. Pythagorova věta: a² + b² = c², kde c je přepona (strana protilehlá k 90° úhlu, vždy nejdelší). Výpočet odvěsny: a = √(c² − b²). Výpočet přepony: c = √(a² + b²).

Oba ostré úhly lze také zjistit pomocí SOH-CAH-TOA: sin(A) = protilehlá/přepona = a/c, cos(A) = přilehlá/přepona = b/c, tan(A) = protilehlá/přilehlá = a/b.

Stojí za to zapamatovat si dva poměry.

• Trojúhelník 30-60-90 má strany v poměru 1 : √3 : 2 — polovina rovnostranného trojúhelníku, všudypřítomná u zkoušek z geometrie a řezání dlaždic.
• Trojúhelník 45-45-90 (rovnoramenný pravoúhlý) má strany v poměru 1 : 1 : √2 — polovina čtverce, všudypřítomná v tesařství a počítačové grafice.

Pro složitější úlohy specificky s pravoúhlými trojúhelníky použijte naši specializovanou kalkulačku Pythagorovy věty; tato kalkulačka pokrývá případ pravoúhlého trojúhelníku jako jeden ze sedmi režimů řešení.

Dva paralelní klasifikační systémy, které se používají společně.

Podle stran:

• Rovnostranný (všechny tři strany stejné — automaticky všechny úhly 60°),
• Rovnoramenný (právě dvě strany stejné — má také dva stejné úhly, ty protilehlé ke stejným stranám),
• Obecný (všechny tři strany různě dlouhé).

Podle úhlů:

• Ostroúhlý (každý úhel menší než 90°),
• Pravoúhlý (právě jeden 90° úhel),
• Tupoúhlý (právě jeden úhel větší než 90° — zbývající dva musí být ostré).

Každý trojúhelník má jak označení stran, tak označení úhlů. Trojúhelník 3-4-5 je „pravoúhlý obecný“. Trojúhelník 60-60-60 je „ostroúhlý rovnostranný“ (jediný možný druh — rovnostranný implikuje ostroúhlý). Trojúhelník 45-45-90 je „pravoúhlý rovnoramenný“. Trojúhelník 100-40-40 (stupňů) se dvěma stejnými stranami je „tupoúhlý rovnoramenný“. Kalkulačka vypisuje obě klasifikace.

Pytagorejská trojice je sada tří kladných celých čísel (a, b, c) splňující rovnici a² + b² = c². Tvoří pravoúhlé trojúhelníky, jejichž délky stran jsou samá celá čísla – což se hodí ve stavebnictví, počítačové grafice a všude tam, kde pomáhá čistá celočíselná geometrie.

Základní trojice (bez společného dělitele): 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 11-60-61, 12-35-37, 20-21-29. Libovolný celočíselný násobek základní trojice je rovněž trojicí – fungují tedy i 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 atd.

Stavebníci používají metodu 3-4-5 k vytvoření pravých úhlů: odměří 3 jednotky podél jedné stěny, 4 podél kolmice a ověří, že úhlopříčka je přesně 5. Pokud je to 5.0, roh má přesně 90°; pokud ne, je třeba ho upravit.

Eukleides a pythagorejci je systematicky katalogizovali a teoretici čísla je zobecnili pomocí Eukleidova vzorce a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² pro celá čísla m > n > 0.

Heronův vzorec, připisovaný Héronovi z Alexandrie (cca 60 n. l.), určuje obsah trojúhelníku pouze z délek tří stran – bez nutnosti znát výšku: Obsah = √[s(s−a)(s−b)(s−c)], kde s = (a+b+c)/2 je semiperimetr (poloviční obvod). Je to základní vzorec pro úlohy na výpočet plochy typu SSS a pro jakékoli aplikace měřící strany přímo (geodézie, vzdálenosti z GPS, inspekce dílů).

Jedno numerické úskalí: když je jedna strana velmi blízko součtu zbývajících dvou (tzv. „jehlový“ trojúhelník), standardní tvar ztrácí přesnost v plovoucí řádové čárce. Numericky stabilní tvar podle W. Kahana je: Obsah = ¼ × √[(a + (b + c)) × (c − (a − b)) × (c + (a − b)) × (a + (b − c))], kde a ≥ b ≥ c jsou seřazeny v sestupném pořadí.

Kalkulačka používá stabilní tvar interně, takže se zachovává přesnost u všech platných trojúhelníků.

Každý trojúhelník má dvě přirozené kružnice. Kružnice vpsaná je největší kružnice, která se vejde dovnitř a dotýká se všech tří stran – její poloměr r = Obsah / s (poloviční obvod). Kružnice opsaná prochází všemi třemi vrcholy – její poloměr R = abc / (4 × Obsah) nebo ekvivalentně R = a / (2·sin A) podle sinové věty.

Čtyři klasické „středy“ splývají u rovnostranného trojúhelníku, ale u obecných trojúhelníků se liší:

• těžiště úhlů (kde se protínají osy úhlů, střed vpsané kružnice),
• střed opsané kružnice (kde se protínají osy stran, střed opsané kružnice),
• těžiště (kde se protínají těžnice, těžiště hmotnosti),
• ortocentrum (kde se protínají výšky).

Eulerova přímka spojuje střed opsané kružnice, těžiště a ortocentrum pro každý nerovnostranný trojúhelník. Kalkulačka vypisuje r a R vedle základních rozměrů; samotné středy jsou závislé na souřadnicích a vyžadují umístění trojúhelníku do souřadnicového systému.

Trojúhelníky jsou stavebními prvky fyzického i digitálního světa.

• Architektura: trojúhelník je jediný rigidní polygon – nemůže se deformovat, aniž by se změnily délky stran. Spoléhají na to střešní vazníky, geodetické kopule a konstrukce mostů.
• Geodézie: triangulace byla standardem po staletí – změřte dva úhly a základnu (ASA) a třetí vrchol (nepřístupný bod) se vypočítá pomocí sinové věty. Moderní GPS a total station stále využívají tuto základní matematiku.
• Navigace: zaměřování polohy pomocí „třísměrové“ triangulace dává pozici v průsečíku tří úhlů k známým orientačním bodům. Letecká a mořská navigace to používá jako zálohu, když je GPS nedostupná.
• Vývoj her a počítačová grafika: každý 3D model je vykreslen jako síť trojúhelníků, protože trojúhelník je nejjednodušší rovinný polygon a na GPU se rasterizuje efektivně. Metody vnitřních bodů a barycentrických souřadnic používané k vyplácení trojúhelníků na obrazovce se přímo opírají o výpočty plochy v heronovském stylu.

Matematika, kterou děláte s touto kalkulačkou, je stejná matematika, kterou GPU provádějí milionkrát za snímek.

Šest opakujících se chyb.

• Míchání stupňů a radiánů: většina kalkulaček (i tato) má ve výchozím nastavení stupně; zkontrolujte přepínač. Programovací jazyky obvykle mívají ve výchozím nastavení radiány. Chyba 90° vs 90 radiánů je dramatická.
• Zapomenutí na trojúhelníkovou nerovnost: studenti zadají 1, 2, 5 a věří výsledku; kalkulačka to nyní odmítne s jasnou chybovou hláškou.
• Použití sinové věty pro SSS nebo SAS: ty vyžadují kosinovou větu. Sinová věta vyžaduje alespoň jeden známý úhel na začátek.
• Přehlédnutí druhého řešení SSA: v nejednoznačném případě mohou být platné oba trojúhelníky – odpovědi u zkoušek často očekávají oba.
• Nesprávná identifikace přepony: je to vždy strana protilehlá k úhlu 90° a nejdelší strana – ne bezpodmínečně ta strana, která je označena c.
• Záměna výšky se stranou: výška je kolmá vzdálenost od vrcholu k protější straně (nebo jejímu prodloužení), nikoli jedna ze stran. U tupoúhlého trojúhelníku může výška k určité straně padnout zcela mimo trojúhelník; pro vzorec obsahu je to v pořádku.