Kalkulačka Z-skóre

Vzorec pro z-skóre je z = (x − μ) / σ, kde x je vaše surová hodnota, μ je průměr a σ je směrodatná odchylka.

Zadejte tyto tři hodnoty do kalkulačky a získejte okamžitě z-skóre spolu s odpovídajícím percentilem a pravděpodobností.

Převeďte libovolné z-skóre na percentil pomocí kumulativní normální rozdělení.

• Z-skóre 0 = 50. percentil (průměr).
• Z-skóre 1,0 = 84. percentil.
• Z-skóre 1,96 = 97,5. percentil (používá se u 95% intervalů spolehlivosti).

Z-skóre se řídí standardním normálním rozdělením (průměr=0, směrodatná odchylka=1).

Pravidlo 68-95-99,7 říká, že:

• 68 % dat spadá do rozmezí z = ±1
• 95 % do z = ±2
• 99,7 % do z = ±3

Naše kalkulačka znázorňuje vaše z-skóre na křivce normálního rozdělení.

Z-skóre, nazývané také standardní skóre, vyjadřuje, o kolik směrodatných odchylek leží datový bod od průměru svého rozdělení.

Z-skóre 0 leží přesně na průměru, +1,5 leží o jeden a půl směrodatné odchylky nad ním a −2 leží o dvě směrodatné odchylky pod ním.

Protože převádí jakoukoli proměnnou na společnou jednotku, umožňuje z-skóre porovnávat hodnoty měřené v různých měřítkách – například výsledek testu oproti výšce.

Podle serveru Wolfram MathWorld standardizuje standardní skóre normální proměnnou na rozdělení s průměrem 0 a směrodatnou odchylkou 1, což je základ téměř každého parametrického statistického testu.

Z-skóre se vypočítá jako z = (x − μ) / σ, kde x je naměřená hodnota, μ je průměr populace a σ je směrodatná odchylka populace.

Odečtením průměru centrujete data na nulu a vydělením směrodatnou odchylkou vyjádříte vzdálenost ve standardizovaných jednotkách. Pokud máte k dispozici pouze výběr, nahraďte průměr výběru x̄ a směrodatnou odchylku výběru s.

Pro skóre 85 s průměrem 70 a směrodatnou odchylkou 10 je z = (85 − 70) / 10 = 1,5.

Khan Academy uvádí, že tato transformace zachovává tvar rozdělení a zároveň standardizuje jeho střed a rozptyl.

Chcete-li převést z-skóre na pravděpodobnost, spočítejte hodnotu kumulativní distribuční funkce (CDF) standardního normálního rozdělení, Φ(z), která udává P(Z < z).

Pro z = 1,5 je Φ(1,5) ≈ 0,9332, takže zhruba 93,32 % hodnot leží pod touto hranicí a 6,68 % nad ní.

CDF je definována pomocí chybové funkce erf, jak uvádí NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF §7). Jelikož je normální křivka symetrická, platí Φ(−z) = 1 − Φ(z).

Kalkulačka provádí tento výpočet automaticky, takže nemusíte číst vytištěné tabulky z-skóre.

Některá z-skóre se ve statistice objevují neustále.

• Z-skóre 1,0 označuje 84. percentil a −1,0 označuje 16. percentil.
• Kritická hodnota 1,645 odpovídá 95. percentilu (jednostrannému), zatímco 1,96 dává 97,5. percentil a definuje známý 95% oboustranný interval spolehlivosti.
• Z-skóre 2,576 označuje 99,5. percentil, který se používá pro 99% spolehlivost.

Podle pravidla 68-95-99,7, které popisuje Encyclopaedia Britannica, leží přibližně 68 % dat v rozmezí ±1, 95 % v rozmezí ±2 a 99,7 % v rozmezí ±3 směrodatných odchylek od průměru. Zapamatování těchto záchytných bodů urychluje interpretaci.

Z-skóre se objevují daleko za hranicemi školních lavic.

• Standardizované zkoušky je používají, aby bylo možné spravedlivě porovnat výsledky z různých verzí testů.
• V průmyslové kontrole kvality označují inženýři každé měření, které přesahuje ±3 směrodatné odchylky, jako odlehlou hodnotu, protože v normálním procesu by se tam mělo nacházet méně než 0,3 % měření.
• Finanční sektor využívá z-skóre v modelech, jako je Altmanovo z-skóre pro riziko bankrotu, a zdravotnictví na nich zakládá růstové grafy či skóre hustoty kostí.

Kdykoli musíte porovnat pozorování z různých měřítek nebo datových sad, jejich standardizace na z-skóre, jak ukazuje Khan Academy, dává tomuto srovnání smysl.

Chcete-li postup obrátit a najít z-skóre z percentilu, použijte inverzní normální (probitovou) funkci, Φ⁻¹(p).

Zadejte percentil jako desetinné číslo mezi 0 a 1:

• 90. percentil vrací z-skóre přibližně 1,282
• 95. percentil vrací 1,645
• 99. percentil vrací zhruba 2,326

Hodnoty pod 50. percentilem přinášejí záporná z-skóre, což odráží pozice pod průměrem.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods uvádí tabulky těchto kvantilů standardního normálního rozdělení a inverzní režim této kalkulačky je počítá přímo z libovolného zadaného percentilu.

V z-testu je testovou statistikou z-skóre, které měří, jak daleko leží průměr výběru od hypotetické hodnoty za platnosti nulové hypotézy.

Porovnáváte ho s kritickými hodnotami:

• pro oboustranný test na 5% hladině významnosti zamítněte nulovou hypotézu, pokud |z| přesáhne 1,96
• na 1% hladině, pokud |z| přesáhne 2,576

Alternativně můžete z-skóre převést na p-hodnotu pomocí CDF standardního normálního rozdělení a zamítnout hypotézu, když je p nižší než zvolená hladina významnosti α.

Britannica uvádí, že z-test předpokládá známou směrodatnou odchylku populace a přibližně normální rozdělení výběru, což jsou podmínky, které pro velké vzorky často splňuje centrální limitní věta.

• Nejčastější chybou je dělení rozptylem namísto směrodatné odchylky – pamatujte, že σ je odmocnina z rozptylu, takže vždy dělte hodnotou σ.
• Další chybou je zaměňování populačních a výběrových statistik: pro celou populaci použijte μ a σ, ale pro výběr použijte x̄ a s.
• Lidé si také často pletou z-skóre s percentilem; z-skóre 1,0 není 100. percentil, ale 84.
• Z-skóre mají svůj obvyklý význam pravděpodobnosti pouze tehdy, když mají data přibližně normální rozdělení.

Jak varuje Wolfram MathWorld, použití pravděpodobností normální křivky u silně zkreslených dat vede k zavádějícím percentilům.