Schnelle Anleitung zu grundlegenden Logarithmusberechnungen und -regeln

1. Häufiger Logarithmus (Basis 10)

• Geschrieben als Protokoll (x) oder log₁₀ (x)
• Am häufigsten in wissenschaftlichen Anwendungen verwendet
• Beispiel: log (100) = 2, weil 10² = 100

2. Natürlicher Logarithmus (Basis E)

• Geschrieben als ln (x) oder logₑ (x)
• Basis E ≈ 2,71828 (Euler -Nummer)
• Wesentlich für die Modelle von Kalkül und exponentiellen Wachstum
• Beispiel: ln (e) = 1 weil e¹ = e

3. Binärer Logarithmus (Basis 2)

• Geschrieben als log₂ (x)
• Häufig in Informatik verwendet
• Beispiel: log₂ (8) = 3 weil 2³ = 8

4. Allgemeiner Logarithmus (jede Basis)

• Geschrieben als logₐ (x) wobei 'a' die Basis ist
• Die Basis muss positiv sein und nicht gleich 1
• Beispiel: log₅ (25) = 2, weil 5² = 25

1. Produktregel

logₐ (x × y) = logₐ (x) + logₐ (y)

Diese Regel besagt, dass der Logarithmus eines Produkts der Summe der Logarithmen entspricht.

Beispiel: log₂ (8 × 4) = log₂ (8) + log₂ (4) = 3 + 2 = 5

Überprüfung: log₂ (32) = 5, weil 2⁵ = 32

2. Quotientenregel

logₐ (x ÷ y) = logₐ (x) - logₐ (y)

Der Logarithmus eines Quotienten entspricht der Differenz der Logarithmen.

Beispiel: log₃ (27 ÷ 9) = log₃ (27) - log₃ (9) = 3 - 2 = 1

Überprüfung: log₃ (3) = 1 weil 3¹ = 3

3. Machtregel

logₐ (x^n) = n × logₐ (x)

Der Logarithmus einer Leistung entspricht den Exponentenzeiten des Logarithmus der Basis.

Beispiel: log₂ (8³) = 3 × log₂ (8) = 3 × 3 = 9

Überprüfung: log₂ (512) = 9, weil 2⁹ = 512

4. Basisänderungsregel

logₐ (x) = logₑ (x) ÷ logₑ (a)

Mit dieser Regel können Sie Logarithmen mit natürlichen Logarithmen mit jeder Basis berechnen.

Beispiel: log₅ (25) = ln (25) ÷ ln (5) = 3,219 ÷ 1,609 = 2

5. Identitätseigenschaften

• logₐ (1) = 0 (weil a⁰ = 1 für jede Basis a)
• logₐ (a) = 1 (weil a¹ = a)
• logₐ (a^x) = x (inverse Beziehung)
• a^(logₐ (x)) = x (inverse Beziehung)

Methode 1: Verwenden von Definition und mentaler Mathematik

Für einfache Fälle, in denen das Ergebnis eine ganze Zahl ist:

Schritt 1: Fragen Sie sich: "Welche Kraft der Basis gibt mir diese Nummer?"

Schritt 2: Verwenden Sie Ihr Wissen über Kräfte, um die Antwort zu finden

Methode 2: Verwenden der Logarithmuseigenschaften

Für komplexere Berechnungen brechen Sie das Problem anhand der Logarithmusregeln auf:

Methode 3: Verwenden der Basisänderungsformel

Bei der Arbeit mit ungewöhnlichen Basen:

Methode 4: Rechnermethode

Für präzise Dezimalergebnisse:

• Für gemeinsame Logarithmen: Verwenden Sie die Schaltfläche „Protokoll“
• Für natürliche Logarithmen: Verwenden Sie die Schaltfläche „LN“
• Für andere Basen: Verwenden Sie die Formel zur Basisänderung mit Ihrem Taschenrechner

Typ 1: Grundlegende logarithmische Gleichungen

Gleichungsform: logₐ (x) = b

Lösung: x = a^b

Typ 2: Gleichungen mit Logarithmuseigenschaften

Gleichungsformular: logₐ (x) + logₐ (y) = c

Lösung: Verwenden Sie die Produktregel, um zu kombinieren, und dann lösen

Typ 3: Gleichungen mit Variablen an mehreren Stellen

Gleichungsformular: logₐ (x) = logₐ (y)

Lösung: Wenn die Basen gleich sind, dann x = y

Fehler 1: Falsche Anwendung von Eigenschaften

Falsch: log (a + b) = log (a) + log (b)

Richtig: log (a × b) = log (a) + log (b)

Denken Sie daran: Logarithmen konvertieren die Multiplikation in Addition und nicht zur Addition.

Fehler 2: Vergessen von Domänenbeschränkungen vergessen

Problem: Versuch, Protokoll (-5) oder Protokoll (0) zu finden

Lösung: Denken Sie daran, dass Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind

Fehler 3: Basisverwirrung

Ausgabe: Mischen verschiedener Basen während der Berechnungen

Lösung: Identifizieren Sie die Basis immer klar und bleiben Sie während des gesamten Problems dabei

Fehler 4: Fehler unterzeichnen

Falsch: log (a/b) = log (a) + log (b)

Richtig: Protokoll (a/b) = log (a) - log (b)

Anwendung 1: Zinsenzinteresse

Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis eine Investition verdoppelt wird:

Formel: t = log (2) / log (1 + r)

WO T = Zeit, R = Zinssatz

Anwendung 2: pH -Berechnungen

Formel: ph = -log [H⁺]

wobei [H⁺] Wasserstoffionenkonzentration ist

Anwendung 3: Erdbebengröße

Formel: M = log (i/i₀)

wobei M = Größe, I = Intensität, I₀ = Referenzintensität

Technik 1: Schätzungsstrategien

Für schnelle Annäherungen:

• log₂ (1000) ≈ 10 (da 2¹⁰ = 1024)
• log₁₀ (3) ≈ 0,5 (da 10⁰ · ⁵ = √10 ≈ 3,16)

Technik 2: Technologie effektiv einsetzen

Wissenschaftliche Taschenrechner:

• Verwenden Sie Klammern, um die korrekte Operationsreihenfolge sicherzustellen
• Überprüfen Sie, ob sich Ihr Taschenrechner im richtigen Modus befindet

Online -Tools:

• Überprüfen Sie Ihre Arbeit mit mehreren Berechnungsmethoden
• Verwenden Sie Grafikwerkzeuge, um logarithmische Funktionen zu visualisieren

Technik 3: Mustererkennung

Lernen Sie, gemeinsame Logarithmuswerte zu erkennen:

• log₁₀ (10^n) = n
• log₂ (2^n) = n
• ln (e^n) = n

Problem: Undefinierte Ergebnisse erhalten

Ursache: Versuch, Logarithmen negativer Zahlen oder Null zu berechnen

Lösung: Überprüfen Sie, ob alle Argumente vor der Berechnung positiv sind

Problem: Inkonsistente Ergebnisse

Ursache: Mischen verschiedener Basen oder falsche Eigenschaften verwenden

Lösung: Basiskonsistenz und Eigenschaftsanwendungen doppelt überprüfen

Problem: Rundungsfehler

Ursache: Übermäßige Rundung bei Zwischenstufen

Lösung: Tragen Sie während der Berechnungen zusätzliche Dezimalstellen, nur am Ende runden