Υπολογιστής Δυαδικού Συστήματος

Το δυαδικό σύστημα (βάση 2) χρησιμοποιεί μόνο τα ψηφία 0 και 1. Για να το μετατρέψετε σε δεκαδικό, πολλαπλασιάστε κάθε bit με το 2 υψωμένο στη δύναμη της θέσης του και αθροίστε τα αποτελέσματα.

Παράδειγμα: 10110 = 16+4+2 = 22.

Η δυαδική πρόσθεση, αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ακολουθούν τις ίδιες αρχές με τη δεκαδική αριθμητική, αλλά μόνο με δύο ψηφία.

Αυτός ο υπολογιστής εμφανίζει κρατούμενα, δανεικά και μερικά γινόμενα βήμα προς βήμα.

Οι πράξεις bitwise AND, OR, XOR και NOT ενεργούν σε μεμονωμένα bit και είναι θεμελιώδεις για την πληροφορική.

Η αναπαράσταση κατά συμπλήρωμα ως προς 2 επιτρέπει τη χρήση αρνητικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα, με το σημαντικότερο bit να υποδεικνύει το πρόσημο.

Για να μετατρέψετε έναν δεκαδικό αριθμό σε δυαδικό, διαιρέστε τον επανειλημμένα με το 2 και καταγράψτε κάθε υπόλοιπο, στη συνέχεια διαβάστε τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω.

Για παράδειγμα, το 22 γίνεται: 22/2=11 Υ0, 11/2=5 Υ1, 5/2=2 Υ1, 2/2=1 Υ0, 1/2=0 Υ1, δίνοντας 10110.

Το δυαδικό είναι το θεσιακό σύστημα με βάση το 2 που ορίζεται στα διεθνή πρότυπα ISO/IEC/IEEE 60559 και ISO 80000-1, όπου κάθε θέση αντιπροσωπεύει μια δύναμη του 2.

Επειδή οι υπολογιστές αποθηκεύουν όλα τα δεδομένα ως σήματα δύο καταστάσεων, η βάση 2 είναι η φυσική κωδικοποίηση, και αυτή η μέθοδος των υπολοίπων μετατρέπει αξιόπιστα κάθε μη αρνητικό ακέραιο στη δυαδική του μορφή.

Για να μετατρέψετε δυαδικό σε δεκαεξαδικό, ομαδοποιήστε τα bit σε τετράδες από δεξιά προς τα αριστερά και αντιστοιχίστε κάθε ομάδα σε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο (0000=0 έως 1111=F)· για το οκταδικό σύστημα, ομαδοποιήστε σε τριάδες (000=0 έως 111=7).

Για παράδειγμα, το δυαδικό 11111111 = FF στο δεκαεξαδικό και 377 στο οκταδικό.

Αυτό λειτουργεί επειδή 16 = 2^4 και 8 = 2^3, οπότε κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο κωδικοποιεί ακριβώς 4 bit και κάθε οκταδικό ψηφίο ακριβώς 3 bit.

Η δεκαεξαδική και οκταδική γραφή είναι τυποποιημένες στο πρότυπο ISO/IEC 9899 (το πρότυπο της γλώσσας C), αποτελώντας σύντομες συμβολικές μορφές που χρησιμοποιούνται ευρέως από προγραμματιστές για την ευκολότερη ανάγνωση μεγάλων δυαδικών συμβολοσειρών.

Για να βρείτε το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού, αντιστρέψτε κάθε bit (συμπλήρωμα ως προς 1) και στη συνέχεια προσθέστε 1.

Για παράδειγμα, σε εύρος 8 bit, το +5 είναι 00000101, οπότε το -5 είναι 11111010 + 1 = 11111011.

Το συμπλήρωμα ως προς 2 είναι η τυπική αναπαράσταση προσημασμένων ακεραίων που περιγράφεται στο πρότυπο ISO/IEC 9899 και χρησιμοποιείται σχεδόν από κάθε σύγχρονο επεξεργαστή, καθώς η πρόσθεση και η αφαίρεση λειτουργούν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο για προσημασμένες και μη προσημασμένες τιμές.

Το εύρος τιμών εξαρτάται από το εύρος των bit:

• Σε εύρος 8 bit, οι τιμές κυμαίνονται από -128 έως 127
• Σε εύρος 16 bit, από -32.768 έως 32.767
• Σε εύρος 32 bit, περίπου από -2,15 δισεκατομμύρια έως 2,15 δισεκατομμύρια

Το σημαντικότερο bit λειτουργεί ως bit προσήμου.

Οι υπολογιστές χρησιμοποιούν το δυαδικό σύστημα επειδή τα ηλεκτρονικά κυκλώματα διακρίνουν με αξιοπιστία μόνο δύο καταστάσεις, ενεργοποιημένο (on) και απενεργοποιημένο (off), που αντιστοιχίζονται σε 1 και 0.

Αυτό το σήμα δύο επιπέδων αντέχει στο θόρυβο πολύ καλύτερα από ό,τι η προσπάθεια διατήρησης δέκα διαφορετικών επιπέδων τάσης για το δεκαδικό σύστημα. Έτσι, το δυαδικό αποτελεί τη βάση της ψηφιακής λογικής και μνήμης όπως περιγράφεται στα πρότυπα υπολογιστών IEEE και ISO/IEC. Κάθε χαρακτήρας, εικόνα και εντολή αποθηκεύεται τελικά ως bit.

Η Διεθνής Ηλεκτροτεχνική Επιτροπή (IEC 80000-13) επισημοποιεί το bit ως τη θεμελιώδη μονάδα πληροφορίας και το byte ως 8 bit, γι' αυτό και τα μεγέθη δεδομένων και οι διευθύνσεις μνήμης εκφράζονται σε δυνάμεις του 2 σε όλη την αρχιτεκτονική των υπολογιστών.

Ένα byte ισούται με 8 bit, και τα μεγέθη δεδομένων χρησιμοποιούν δύο διαφορετικά συστήματα προθεμάτων.

Τα δυαδικά προθέματα που ορίζονται από το πρότυπο IEC 80000-13 χρησιμοποιούν δυνάμεις του 1024:

• 1 KiB (kibibyte) = 1024 bytes
• 1 MiB = 1024 KiB
• 1 GiB = 1024 MiB

Τα δεκαδικά προθέματα SI από το BIPM χρησιμοποιούν δυνάμεις του 1000:

• 1 kB = 1000 bytes
• 1 MB = 1.000.000 bytes

Αυτή η διαφορά εξηγεί γιατί ένας δίσκος με ετικέτα 1 TB (10^12 bytes) εμφανίζεται ως περίπου 0,909 TiB σε λειτουργικά συστήματα που μετρούν σε δυνάμεις του 1024. Η χρήση των KiB/MiB αποφεύγει αυτή την ασάφεια, γι' αυτό και η IEC εισήγαγε τα δυαδικά προθέματα.

Το δυαδικό σύστημα τροφοδοτεί σχεδόν κάθε ψηφιακή τεχνολογία:

• Τα bitwise flags και μάσκες συμπυκνώνουν πολλές ρυθμίσεις on/off σε έναν μόνο ακέραιο, εξοικονομώντας μνήμη στο λογισμικό και τα ενσωματωμένα συστήματα.
• Η δικτύωση χρησιμοποιεί το δυαδικό σύστημα για τον υπολογισμό μασκών υποδικτύου και ευρών διευθύνσεων IP, όπου κάθε οκτάδα (octet) IPv4 αποτελείται από 8 bit.
• Οι κωδικοποιήσεις χαρακτήρων όπως το UTF-8, που τυποποιούνται από το Unicode Consortium, αποθηκεύουν κείμενο ως ακολουθίες byte, ενώ οι μορφές αρχείων, οι τιμές χρωμάτων (24-bit RGB) και οι εντολές μηχανής είναι όλες δυαδικές.
• Η κρυπτογραφία βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στην πράξη XOR.

Η κατανόηση της μετατροπής και της αριθμητικής του δυαδικού συστήματος βοηθά τους προγραμματιστές, τους μηχανικούς δικτύων και τους σχεδιαστές υλικού να αντιληφθούν πώς αναπαρίστανται και επεξεργάζονται στην πραγματικότητα τα δεδομένα.

Η δυαδική πρόσθεση ακολουθεί τέσσερις κανόνες, στήλη προς στήλη από δεξιά προς τα αριστερά:

• 0+0=0
• 0+1=1
• 1+0=1
• 1+1=10 (γράφουμε 0, κρατούμενο 1)· τρία 1 δίνουν 11 (γράφουμε 1, κρατούμενο 1)

Για παράδειγμα, 1011 + 1101 = 11000, που αντιστοιχεί στο 11 + 13 = 24 στο δεκαδικό σύστημα.

Η αφαίρεση χρησιμοποιεί δανεισμό, όπου το 0-1 δανείζεται από την επόμενη στήλη για να γίνει 10-1=1. Στην πράξη, οι περισσότεροι υπολογιστές αφαιρούν προσθέτοντας το συμπλήρωμα ως προς 2, γεγονός που αποφεύγει ένα ξεχωριστό κύκλωμα δανεισμού.

Αυτός ο υπολογιστής εμφανίζει κάθε bit κρατούμενου και δανεικού, ώστε να μπορείτε να επαληθεύσετε τους υπολογισμούς βήμα προς βήμα.

Ορισμένα λάθη δυσκολεύουν συχνά όσους εργάζονται με το δυαδικό σύστημα:

• Το πιο συχνό λάθος είναι η ανάγνωση των υπολοίπων με λάθος σειρά κατά τη μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό· να τα διαβάζετε πάντα από κάτω προς τα πάνω.
• Ένα άλλο είναι το λάθος μέτρημα των θέσεων των bit, οι οποίες ξεκινούν από το 0 στα δεξιά, όχι από το 1.
• Κατά την ομαδοποίηση για δεκαεξαδικό ή οκταδικό σύστημα, συμπληρώστε με μηδενικά στα αριστερά, ώστε η αριστερότερη ομάδα να είναι πλήρης.
• Στο συμπλήρωμα ως προς 2, η παράλειψη του σταθερού εύρους bit προκαλεί λάθη προσήμου, καθώς το -5 διαφέρει σε μορφή 8 bit σε σύγκριση με 16 bit.
• Τέλος, η σύγχυση των δυαδικών προθεμάτων (1 KiB = 1024 bytes κατά IEC 80000-13) με τα δεκαδικά προθέματα (1 kB = 1000 bytes κατά BIPM) οδηγεί σε εσφαλμένους υπολογισμούς χωρητικότητας αποθήκευσης.