Το πυθαγόρειο θεώρημα είναι ο ακρογωνιαίος λίθος της γεωμετρίας των ορθογωνίων τριγώνων: για οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθetών πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας (a² + b² = c²). Αυτός ο υπολογιστής βρίσκει οποιαδήποτε άγνωστη πλευρά — είτε την υποτείνουσα είτε κάποια κάθετη πλευρά — και λειτουργεί παράλληλα ως υπολογιστής απόστασης 2D χρησιμοποιώντας την ίδια ταυτότητα. Εμφανίζει πλήρη αλγεβρική λύση βήμα προς βήμα, υπολογίζει το εμβαδόν του τριγώνου (½ab), την περίμετρο, τις οξείες γωνίες μέσω του τόξου εφαπτομένης και επισημαίνει ακριβείς πυθαγόρειες τριάδες όπως 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 και 9-40-41. Χρήσιμο για εργασίες, ξλουργικές εργασίες και σκελετούς, τετραγωνισμό θεμελίωης, ναυτιλία, μεγέθη διανυσμάτων στη φυσική, διαστάσεις διαγωνίων οθονών και κάθε μηχανική εργασία που καταλήγει σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Αναδιάταξη για την επίλυση του αγνώστου: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²), ή b = √(c² − a²). Κατά τον υπολογισμός ημερών για μια κάθετη πλευρά, η υποτείνουσα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη γνωστή κάθετη πλευρά.
a² + b² = c²
Η υποτείνουσα είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά — βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90°.
Συνήθεις πυθαγόρειες τριάδες: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41, 20-21-29.
Οποιοδήποτε πολλαπλάσιο μιας τριάδας αποτελεί επίσης τριάδα (π.χ., 6-8-10, 9-12-15).
Για να επαληθεύσετε μια ορθή γωνία στο εργοτάξιο, μετρήστε 3 πόδια, 4 πόδια και 5 πόδια — εάν η διαγώνιος είναι ακριβώς 5, η γωνία είναι τετραγωνισμένη.
Το θεώρημα επεκτείνεται στις 3D διαστάσεις: d = √(x² + y² + z²) για διαγωνίους ενός κουτιού.
Απόσταση μεταξύ δύο σημείων (x₁,y₁) και (x₂,y₂): d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
Λύστε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο σε δευτερόλεπτα. Εισάγετε δύο πλευρές, επιλέξτε τον άγνωστο και λάβετε την πλευρά που λείπει μαζί με το εμβαδόν, την περίμετρο, τις γωνίες και μια πλήρη λύση βήμα προς βήμα. Διαχειρίζεται επίσης την 2D απόσταση μεταξύ δύο σημείων.
Οποτεδήποτε έχετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και γνωρίζετε τις δύο από τις τρεις πλευρές.
Οι συνήθεις πραγματικές χρήσεις περιλαμβάνουν:
Ακεραίες λύσεις για το a² + b² = c².
Οι πρωταρχικές τριάδες περιλαμβάνουν:
Οποιοδήποτε βαθμωτό πολλαπλάσιο είναι επίσης μια έγκυρη τριάδα, γι' αυτό και τα 6-8-10 και 9-12-15 λειτουργούν επίσης.
Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογώνιου τριγώνου, απέναντι από τη γωνία των 90°, και τη βρίσκετε με c = √(a² + b²). Υψώστε στο τετράγωνο κάθε κάθετη πλευρά, προσθέστε τα δύο τετράγωνα και στη συνέχεια βγάλτε την τετραγωνική ρίζα.
Για κάθετες πλευρές 6 και 8: c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Για κάθετες πλευρές 5 και 12: c = √(25 + 144) = √169 = 13. Το αποτέλεσμα είναι πάντα μεγαλύτερο από οποιαδήποτε κάθετη πλευρά αλλά μικρότερο από το άθροισμά τους.
Ρυθμίστε τη λειτουργία του υπολογιστή σε 'Υποτείνουσα c (δοσμένες κάθετες πλευρές a και b)', εισάγετε και τις δύο πλευρές στην ίδια μονάδα μέτρησης, και επιστρέφει το c συν το εμβαδόν, την περίμετρο και τις οξείες γωνίες του τριγώνου.
Αυτή είναι η πιο συνηθισμένη χρήση του θεώρήματος — τετραγωνισμός μιας γωνίας, μέτρηση διαγώνιου στηρίγματος, ή εύρεση του μήκους κλίσης μιας ράμπας από το ύψος και την προβολή της.
Όταν γνωρίζετε την υποτείνουσα και τη μία κάθετη πλευρά, αναδιατάξτε το θεώρημα για να λύσετε για την πλευρά που λείπει: a = √(c² − b²). Αφαιρέστε το τετράγωνο της γνωστής κάθετης πλευράς από το τετράγωνο της υποτείνουσας και μετά βγάλτε την τετραγωνική ρίζα.
Για υποτείνουσα 13 και κάθετη πλευρά 5: a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Η υποτείνουσα πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από τη γνωστή κάθετη πλευρά — εάν c ≤ b, δεν υπάρχει πραγματικό ορθογώνιο τρίγωνο και ο υπολογιστής θα το επισημάνει.
Επιλέξτε τη λειτουργία 'Κάθετη πλευρά a' ή 'Κάθετη πλευρά b', εισάγετε την υποτείνουσα και τη γνωστή κάθετη πλευρά, και το εργαλείο επιστρέφει την πλευρά που λείπει με την πλήρη διαδικασία c² − b² να εμφανίζεται βήμα προς βήμα.
Έτσι βρίσκετε την ασφαλή απόσταση βάσης μιας σκάλας από το μήκος της και το ύψος του τοίχου στο οποίο φτάνει.
Ο τύπος 2D απόστασης d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα μεταμφιεσμένο: το οριζόντιο κενό (x₂ − x₁) και το κατακόρυφο κενό (y₂ − y₁) είναι οι δύο κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, και η απόσταση σε ευθεία γραμμή είναι η υποτείνουσα.
Από (1, 2) έως (4, 6): d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Αλλάξτε τον υπολογιστή σε 'Απόσταση μεταξύ δύο 2D σημείων', εισάγετε τις τέσσερες συντεταγμένες και επιστρέφει την ακριβή απόσταση.
Αυτό αποτελεί τη βάση για:
Μόλις γίνουν γνωστές και οι τρεις πλευρές, το εμβαδόν και η περίμετρος ενός ορθογώνιου τριγώνου προκύπτουν αμέσως. Επειδή οι δύο κάθετες πλευρές συναντώνται στις 90°, λειτουργούν ως βάση και ύψος, οπότε το εμβαδόν είναι απλώς ½ × a × b — δεν χρειάζεται τριγωνομετρία.
Ένα τρίγωνο 3-4-5 έχει εμβαδόν ½ × 3 × 4 = 6 τετραγωνικές μονάδες και περίμετρο 3 + 4 + 5 = 12. Ένα τρίγωνο 6-8-10 έχει εμβαδόν ½ × 6 × 8 = 24 και περίμετρο 24.
Αυτός ο υπολογιστής αναφέρει το εμβαδόν, την περίμετρο και τις δύο οξείες γωνίες (που βρίσκονται με τόξο εφαπτομένης, π.χ. γωνία A = arctan(a/b)) μαζί με την πλευρά που λείπει, δίνοντας μια πλήρη λύση του τριγώνου από μόλις δύο εισόδους. Για ένα τρίγωνο που δεν έχει ορθή γωνία, ο υπολογιστής τριγώνων μας λύνει το ίδιο εμβαδόν, περίμετρο και γωνίες χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και συνημιτόνων.
Το θεώρημα μετατρέπει δύο μετρήσεις καθημερινότητας σε διαγώνιο.
Το μέγεθος της οθόνης μιας τηλεόρασης ή οθόνης υπολογιστή είναι η διαγώνιος της: μια οθόνη πλάτους 1,21 m και ύψους 0,68 m μετράει √(1,21² + 0,68²) ≈ 1,39 m, περίπου μια τηλεόραση 55 ιντσών.
Η διαγώνιος ενός ορθογωνίου είναι η υποτείνουσα του τριγώνου που σχηματίζεται από το μήκος και το πλάτος του, οπότε το μήκος από γωνία σε γωνία ενός πλαισίου 16:9 είναι √(16² + 9²) ≈ 18,36 μονάδες.
Οι ξυλουργοί τετραγωνίζουν ένα θεμέλιο ή κατάστρωμα με τη μέθοδο 3-4-5: μετρήστε 3 πόδια κατά μήκος της μιας ακμής, 4 πόδια κατά μήκος της κάθετης ακμής, και αν η διαγώνιος μεταξύ αυτών των σημαδιών είναι ακριβώς 5 πόδια, η γωνία είναι μια αληθινή ορθή γωνία. Η κλιμάκωση σε 6-8-10 ή 9-12-15 δίνει μεγαλύτερη ακρίβεια σε μεγαλύτερους τοίχους.
Το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεώρήματος σας επιτρέπει να ελέγξετε αν ένα τρίγωνο έχει ορθή γωνία:
Έτσι επιβεβαιώνετε ότι μια γωνία είναι τετραγωνισμένη μόνο από τρία μετρημένα μήκη.
Το θεώρημα επεκτείνεται επίσης σε τρεις διαστάσεις: η διαγώνιος χώρου ενός ορθογώνιου κουτιού με ακμές x, y και z είναι d = √(x² + y² + z²), η οποία προέρχεται από την εφαρμογή του θεώρήματος δύο φορές — πρώτα κατά μήκος της βάσης, και έπειτα μέχρι την απέναντι γωνία.
Ένα κουτί 3 × 4 × 12 έχει διαγώνιο χώρου √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 μονάδες, χρήσιμο για τον έλεγχο του αν ένα μακρύ αντικείμενο χωράει διαγώνια μέσα σε ένα χαρτοκιβώτιο.
Λυμένο παράδειγμα για υποτείνουσα: κάθετες πλευρές 9 και 12 → 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = √225 = 15.
Λυμένο παράδειγμα για κάθετη πλευρά: υποτείνουσα 25, κάθετη πλευρά 7 → 25² − 7² = 625 − 49 = 576 → a = √576 = 24.
Ο υπολογιστής εμφανίζει καθένα από αυτά τα βήματα ώστε να μπορείτε να ακολουθήσετε ή να ελέγξετε την άλγεβρα με το χέρι.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.