Υπολογιστής κυκλώματος RC

Η σταθερά χρόνου RC τ = R × C καθορίζει πόσο γρήγορα φορτίζεται ένας πυκνωτής.

Σε t=1τ, ο πυκνωτής φτάνει στο 63,2% της τάσης τροφοδοσίας. Σε t=5τ, φτάνει στο 99,3% και θεωρείται πλήρως φορτισμένος.

Για R=10kΩ και C=10μF, τ = 0,1 δευτερόλεπτα.

Η συχνότητα αποκοπής ενός φίλτρου RC είναι fc = 1/(2π × R × C). Αυτή είναι η συχνότητα στην οποία η έξοδος του φίλτρου πέφτει στα −3 dB (70,7% της εισόδου).

Κάτω από το fc, ένα χαμηλοπερατό φίλτρο RC αφήνει το σήμα να περάσει. Πάνω από το fc, το εξασθενεί.

Κατά τη φόρτιση: Vc(t) = Vs × (1 − e^(−t/τ)).

Κατά την εκφόρτιση: Vc(t) = V0 × e^(−t/τ).

Εισαγάγετε την τάση τροφοδοσίας, την αρχική τάση, την αντίσταση, τη χωρητικότητα και τον χρόνο για να βρείτε την ακριβή τάση του πυκνωτή σε οποιοδήποτε σημείο.

Για να υπολογίσετε τη σταθερά χρόνου RC, πολλαπλασιάστε την αντίσταση επί τη χωρητικότητα: τ = R × C. Εάν η R είναι σε ωμ (Ω) και η C σε φαράντ (F), το αποτέλεσμα τ είναι σε δευτερόλεπτα.

Για παράδειγμα, R = 10 kΩ (10.000 Ω) και C = 10 μF (0,00001 F) δίνουν τ = 10.000 × 0,00001 = 0,1 s. Αυτό το ενιαίο γινόμενο διέπει την ταχύτητα φόρτισης, την ταχύτητα εκφόρτισης και την απόκριση του φίλτρου.

Όπως εξηγεί το HyperPhysics (Πανεπιστήμιο Πολιτείας της Τζόρτζια), ο πυκνωτής φτάνει στο 63,2% της τελικής του τάσης μετά από ένα τ και αντιμετωπίζεται ως πλήρως φορτισμένος μετά από πέντε τ (99,3%). Μεγαλύτερη R ή C επιβραδύνει το κύκλωμα και χαμηλώνει τη συχνότητα αποκοπής του.

Η σταθερά χρόνου RC μετριέται σε δευτερόλεπτα (s), η μονάδα SI του χρόνου που ορίζεται από το BIPM μέσω της μετάβασης του καισίου-133. Προκύπτει επειδή η αντίσταση σε ωμ (Ω) πολλαπλασιαζόμενη επί τη χωρητικότητα σε φαράντ (F) δίνει δευτερόλεπτα: 1 Ω × 1 F = 1 s, δεδομένου ότι 1 F = 1 A·s/V και 1 Ω = 1 V/A.

Η συχνότητα αποκοπής fc μετριέται σε χερτς (Hz), που σημαίνει κύκλους ανά δευτερόλεπτο, η οποία ορίζεται από το NIST ως το αντίστροφο της περιόδου. Η κυκλική συχνότητα ω = 2πfc εκφράζεται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/s).

Μετατρέπετε πάντα τα προθέματα προσεκτικά:

• 1 kΩ = 1.000 Ω
• 1 μF = 10⁻⁶ F
• 1 nF = 10⁻⁹ F

Η συχνότητα αποκοπής RC υπολογίζεται με το fc = 1 / (2π × R × C), το οποίο ισούται με 1 / (2πτ). Για R = 10 kΩ και C = 10 μF, τ = 0,1 s, οπότε fc = 1 / (2π × 0,1) ≈ 1,592 Hz. Αυτό είναι το σημείο −3 dB όπου το πλάτος εξόδου πέφτει σε περίπου 70,7% της εισόδου, σύμφωνα με τα Electronics Tutorials και τις συμβάσεις φίλτρων IEEE.

Η αντίστοιχη κυκλική συχνότητα αποκοπής είναι ω = 2πfc = 1/(RC) = 1/τ = 10 rad/s σε αυτό το παράδειγμα.

Επειδή η fc είναι αντιστρόφως ανάλογη των R και C, ο διπλασιασμός οποιουδήποτε εξαρτήματος υποδιπλασιάζει τη συχνότητα αποκοπής, μετατοπίζοντας τη ζώνη μετάβασης του φίλτρου χαμηλότερα.

Η πρόοδος φόρτισης ενός πυκνωτή εξαρτάται αποκλειστικά από πολλαπλάσια του τ:

• Μετά από 1τ φτάνει στο 63,2%
• μετά από 2τ στο 86,5%
• μετά από 3τ στο 95,0%
• μετά από 4τ στο 98,2%
• και μετά από 5τ στο 99,3%, οπότε οι μηχανικοί τον θεωρούν πλήρως φορτισμένο

Η εκφόρτιση ακολουθεί την αντίστροφη καμπύλη: μετά από 1τ η τάση πέφτει στο 36,8% της αρχικής της και μετά από 5τ σε περίπου 0,7%.

Για τ = 0,1 s, η πλήρης φόρτιση διαρκεί περίπου 5 × 0,1 = 0,5 s. Η Khan Academy σημειώνει ότι αυτή η εκθετική συμπεριφορά σημαίνει ότι ο πυκνωτής ποτέ μαθηματικά δεν φτάνει το 100%· προσεγγίζει ασυμπτωτικά, επομένως ο κανόνας των πέντε τ είναι μια πρακτική μηχανική σύμβαση και όχι ένα ακριβές όριο.

Τα κυκλώματα RC εμφανίζονται σε όλα τα ηλεκτρονικά.

• Τα κυκλώματα χρονισμού, όπως ο κλασικός χρονοδιακόπτης 555, χρησιμοποιούν το τ = RC για τον καθορισμό ακριβών καθυστερήσεων και περιόδων ταλάντωσης.
• Τα χαμηλοπερατά φίλτρα RC εξομαλύνουν τον κυματισμό της τροφοδοσίας και αφαιρούν τον θόρυβο υψηλής συχνότητας από σήματα ήχου και αισθητήρων, ενώ τα υψιπερατά φίλτρα RC μπλοκάρουν τη συνιστώσα DC και περνούν τα πρίμα του ήχου.
• Οι κωδικοποιητές και τα κυκλώματα αποθορυβοποίησης (debounce) χρησιμοποιούν καθυστερήσεις RC για να φιλτράρουν την αναπήδηση επαφής από μηχανικούς διακόπτες.
• Στην επεξεργασία σήματος, τα δίκτυα RC διαμορφώνουν τα άκρα παλμών και σχηματίζουν στάδια ολοκληρωτή ή διαφοριστή.

Η Encyclopaedia Britannica σημειώνει ότι η συμπεριφορά φόρτισης του πυκνωτή αποτελεί επίσης τη βάση για τη φόρτιση φλας κάμερας και την αποθήκευση ενέργειας απινιδωτή, όπου οι ελεγχόμενοι χρόνοι φόρτισης και εκφόρτισης είναι κρίσιμοι για την ασφαλή λειτουργία.

Και οι δύο τύποι φίλτρων RC μοιράζονται τον ίδιο τύπο αποκοπής fc = 1/(2πRC), αλλά διαφέρουν ως προς το πού λαμβάνεται η έξοδος.

Σε ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, η έξοδος μετριέται στα άκρα του πυκνωτή: περνά τις συχνότητες κάτω από το fc και εξασθενίζει αυτές πάνω από αυτό κατά −20 dB ανά δεκαετία. Σε ένα υψιπερατό φίλτρο, η έξοδος λαμβάνεται στα άκρα της αντίστασης: περνά τις συχνότητες πάνω από το fc και μπλοκάρει τις χαμηλότερες.

Σύμφωνα με τους ορισμούς φίλτρων IEEE και IEC, η απόσβεση ενός μεμονωμένου σταδίου RC είναι πρώτης τάξης (−20 dB/δεκαετία).

Για να σχεδιάσετε ένα φίλτρο, επιλέξτε πρώτα το fc, επιλέξτε μια τυπική τιμή πυκνωτή και, στη συνέχεια, λύστε ως προς R = 1/(2π × fc × C). Η σύνδεση σταδίων σε αλυσιδωτή διάταξη αυξάνει την απότομη κλίση της απόσβεσης.

Το πιο συχνό σφάλμα είναι η ανάμειξη προθεμάτων μονάδων. Η χωρητικότητα δίνεται συνήθως σε μικροφαράντ (μF), νανοφαράντ (nF) ή πικοφαράντ (pF), οπότε η παράλειψη μετατροπής σε φαράντ παράγει τιμές τ λανθασμένες κατά παράγοντες χιλιάδων.

• Η σύγχυση του fc = 1/(2πRC) με τη σταθερά χρόνου 1/RC = ω είναι ένα άλλο συνηθισμένο ολίσθημα· το fc είναι σε χερτς, ενώ το ω είναι σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο.
• Ορισμένοι χρήστες υποθέτουν ότι ένας πυκνωτής φορτίζεται γραμμικά, αλλά η καμπύλη είναι εκθετική, σύμφωνα με το NIST και το HyperPhysics.
• Άλλοι αντιμετωπίζουν το 5τ ως πραγματικά 100% φορτισμένο ενώ είναι 99,3%.
• Τέλος, θυμηθείτε ότι οι έξοδοι χαμηλοπερατού και υψιπερατού φίλτρου μετρούνται σε διαφορετικά εξαρτήματα παρόλο που ο τύπος αποκοπής είναι πανομοιότυπος.

Ας υποθέσουμε ότι Vs = 5 V, R = 10 kΩ και C = 10 μF, δίνοντας τ = 0,1 s.

Για να βρείτε την τάση φόρτισης στο t = 0,05 s, χρησιμοποιήστε Vc(t) = Vs × (1 − e^(−t/τ)). Εδώ t/τ = 0,05/0,1 = 0,5, επομένως e^(−0,5) ≈ 0,6065, και Vc = 5 × (1 − 0,6065) ≈ 1,97 V, περίπου 39% φορτισμένος.

Για εκφόρτιση από V0 = 5 V, χρησιμοποιήστε Vc(t) = V0 × e^(−t/τ)· στο t = 0,1 s (ένα τ), Vc = 5 × e^(−1) ≈ 5 × 0,3679 ≈ 1,84 V, που ταιριάζει με τον κανόνα του 36,8% που αναφέρεται από τα Electronics Tutorials. Το στιγμιαίο ρεύμα μέσω της αντίστασης ακολουθεί τον νόμο του Ohm — διαιρέστε την τάση της αντίστασης (Vs − Vc) με το R, ή εισαγάγετε τους αριθμούς στον υπολογιστή νόμου του ohm για επαλήθευση. Ο υπολογιστής μας αυτοματοποιεί αυτούς τους εκθετικούς υπολογισμούς.