Υπολογιστής Τυπικής Απόκλισης

Η βασική διαφορά έγκειται στον παρονομαστή: η τυπική απόκλιση δείγματος διαιρεί με το (n-1), ενώ η τυπική απόκλιση πληθυσμού διαιρεί με το n.

Χρησιμοποιήστε την τυπική απόκλιση δείγματος όταν τα δεδομένα σας είναι ένα υποσύνολο ενός μεγαλύτερου πληθυσμού (κάτι που είναι το πιο σύνηθες σε σενάρια του πραγματικού κόσμου, όπως η ανάλυση για το κόστος ταξιδιού ή ο υπολογισμός ωρών εργασίας μιας ομάδας εργαζομένων).

Χρησιμοποιήστε την τυπική απόκλιση πληθυσμού μόνο όταν έχετε δεδομένα για κάθε μέλος ολόκληρου του πληθυσμού που μελετάτε.

Για τον πληθυσμό: σ = √[Σ(xi - μ)² / N], όπου μ είναι ο μέσος όρος του πληθυσμού και N είναι το μέγεθος του πληθυσμού.

Για το δείγμα: s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)], όπου x̄ είναι ο μέσος όρος του δείγματος και n είναι το μέγεθος του δείγματος.

Η διαίρεση με το (n-1) στον τύπο του δείγματος ονομάζεται διόρθωση Bessel και παρέχει μια αμερόληπτη εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού.

Η τυπική απόκλιση σάς βοηθά να κατανοήσετε τη μεταβλητότητα των δεδομένων (για παράδειγμα, στον υπολογισμό χρόνου παράδοσης ή στον υπολογισμό ημερών μεταξύ ημερομηνιών για διάφορα έργ).

Σε μια κανονική κατανομή, περίπου το 68% των τιμών εμπίπτει εντός μίας τυπικής απόκλισης από τον μέσο όρο, το 95% εντός δύο τυπικών αποκλίσεων και το 99,7% εντός τριών τυπικών αποκλίσεων (ο κανόνας 68-95-99,7).

Συγκρίνετε τις τυπικές αποκλίσεις σε διαφορετικά σύνολα δεδομένων για να κατανοήσετε ποιο παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα.

Η τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο του πόσο διασκορπισμένο είναι ένα σύνολο αριθμών γύρω από τη μέση τιμή του (μέσο όρο). Απαντά στο ερώτημα: κατά μέσο όρο, πόσο απέχει κάθε σημείο δεδομένων από το κέντρο;

Μια μικρή τυπική απόκλιση σημαίνει ότι οι τιμές συγκεντρώνονται στενά γύρω από τη μέση τιμή, ενώ μια μεγάλη τυπική απόκλιση σημαίνει ότι είναι ευρέως διασκορπισμένες.

Σύμφωνα με την Encyclopaedia Britannica, η τυπική απόκλιση είναι το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο μέτρο διασποράς στη στατιστική, επειδή εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τα αρχικά δεδομένα, σε αντίθεση με τη διακύμανση. Αποτελεί τη βάση για τα πάντα, από τον ποιοτικό έλεγχο έως τα χρηματοοικονομικά, επιτρέποντάς σας να συγκρίνετε τη συνέπεια μεταξύ διαφορετικών συνόλων δεδομένων με μια ματιά.

Για να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση με το χέρι, ακολουθήστε πέντε βήματα:

• Πρώτον, βρείτε τη μέση τιμή προσθέτοντας όλες τις τιμές και διαιρώντας με το πλήθος τους, κάτι που κάνει ακριβώς ο υπολογιστής μέσου όρου μας με ένα κλικ, αν θέλετε να ελέγξετε αυτόν τον αριθμό πρώτα.
• Δεύτερον, αφαιρέστε τη μέση τιμή από κάθε τιμή για να λάβετε τις αποκλίσεις.
• Τρίτον, υψώστε κάθε απόκλιση στο τετράγωνο, ώστε οι αρνητικές τιμές να μην εξουδετερώνουν τις θετικές.
• Τέταρτον, προσθέστε τις τετραγωνισμένες αποκλίσεις και διαιρέστε με το n για έναν πληθυσμό ή με το n-1 για ένα δείγμα για να λάβετε τη διακύμανση.
• Πέμπτον, βρείτε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Η Khan Academy παρουσιάζει αυτήν την ίδια διαδικασία με λυμένα παραδείγματα. Όπως ακριβώς ο υπολογιστής ηλικίας ή τα εργαλεία για τον υπολογισμό ημερών μεταξύ ημερομηνιών, αυτός ο υπολογιστής αυτοματοποιεί κάθε βήμα και δείχνει τις ενδιάμεσες τιμές, ώστε να μπορείτε να ελέγξετε τη δουλειά σας.

Εξετάστε το κλασικό σύνολο δεδομένων 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Το άθροισμα είναι 40 σε 8 τιμές, επομένως η μέση τιμή είναι 5.

Οι αποκλίσεις από τη μέση τιμή είναι -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, και τα τετράγωνά τους είναι 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, τα οποία αθροίζονται σε 32.

Για έναν πληθυσμό, διαιρέστε με το N = 8 για να λάβετε μια διακύμανση 4, και η τετραγωνική ρίζα δίνει μια τυπική απόκλιση πληθυσμού ακριβώς 2. Αυτό το παράδειγμα εμφανίζεται στο λήμμα για την τυπική απόκλιση του Wolfram MathWorld.

Για ένα δείγμα, θα διαιρούσατε το 32 με το n-1 = 7, δίνοντας μια διακύμανση περίπου 4,571 και μια τυπική απόκλιση δείγματος περίπου 2,138.

Ο τύπος της τυπικής απόκλισης πληθυσμού είναι sigma = sqrt(sum of (xi - mu)^2 / N), όπου mu είναι η μέση τιμή του πληθυσμού και N είναι ο αριθμός των τιμών.

Ο τύπος του δείγματος είναι s = sqrt(sum of (xi - xbar)^2 / (n-1)), όπου xbar είναι η μέση τιμή του δείγματος. Η μόνη διαφορά είναι ο παρονομαστής.

Το e-Handbook of Statistical Methods των NIST/SEMATECH ορίζει και τα δύο και εξηγεί ότι η διαίρεση με το n-1, γνωστή ως διόρθωση του Bessel, αποδίδει μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού από ένα δείγμα.

Η διακύμανση είναι απλώς η τιμή κάτω από την τετραγωνική ρίζα, επομένως η τυπική απόκλιση είναι πάντα η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης και έχει τις ίδιες μονάδες με τα αρχικά δεδομένα.

Η τυπική απόκλιση δείγματος διαιρεί το άθροισμα των τετραγωνισμένων αποκλίσεων με το n-1 αντί για το n, επειδή ένα δείγμα τείνει να υποτιμά την πραγματική διασπορά ολόκληρου του πληθυσμού.

Όταν υπολογίζετε τις αποκλίσεις από τη μέση τιμή του δείγματος αντί για την άγνωστη μέση τιμή του πληθυσμού, χάνετε έναν βαθμό ελευθερίας, επομένως ο διαιρέτης μειώνεται κατά ένα για να αντισταθμιστεί αυτό. Αυτή η προσαρμογή, που ονομάζεται διόρθωση του Bessel, παράγει μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού.

Το e-Handbook του NIST επιβεβαιώνει ότι το n-1 είναι η τυπική επιλογή για δεδομένα δείγματος. Χρησιμοποιήστε το n-1 όποτε οι αριθμοί σας είναι ένα υποσύνολο που προέρχεται από μια μεγαλύτερη ομάδα, κάτι που καλύπτει τις περισσότερες έρευνες, πειράματα και συλλογή δεδομένων στον πραγματικό κόσμο.

Η τυπική απόκλιση εμφανίζεται σε πολλούς τομείς (από τον υπολογισμό χρόνου στις επιστήμες μέχρι τον υπολογισμό ρυθμού τρεξίματος στον αθλητισμό):

• Στα χρηματοοικονομικά, μετρά τη μεταβλητότητα των αποδόσεων μιας επένδυσης, επομένως μια υψηλότερη τυπική απόκλιση σηματοδοτεί υψηλότερο κίνδυνο.
• Στην παραγωγή και τον ποιοτικό έλεγχο, καθοδηγεί τις διαδικασίες Six Sigma που διατηρούν τα προϊόντα εντός των ορίων ανοχής.
• Στην εκπαίδευση, περιγράφει πόσο στενά συγκεντρώνονται οι βαθμολογίες των διαγωνισμάτων γύρω από τον μέσο όρο της τάξης.
• Στη μετεωρολογία και την κλιματολογία, αποτυπώνει τη μεταβλητότητα της θερμοκρασίας ανάλογα με τις εποχές.

Η Encyclopaedia Britannica σημειώνει ότι η τυπική απόκλιση είναι κεντρικής σημασίας για την κανονική κατανομή, η οποία μοντελοποιεί αμέτρητα φυσικά φαινόμενα. Επειδή εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τα δεδομένα, οι επαγγελματίες τη χρησιμοποιούν για να συγκρίνουν τη συνέπεια, να θέτουν όρια και να επισημαίνουν ασυνήθιστες παρατηρήσεις.

Για δεδομένα που ακολουθούν μια κανονική (κωδωνοειδή) κατανομή, ο εμπειρικός κανόνας ορίζει ότι περίπου το 68% των τιμών εμπίπτει εντός μίας τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή, περίπου το 95% εντός δύο τυπικών αποκλίσεων και περίπου το 99.7% εντός τριών.

Έτσι, εάν οι βαθμολογίες ενός διαγωνίσματος έχουν μέση τιμή 70 και τυπική απόκλιση 10, περίπου το 68% των μαθητών θα έχει βαθμολογία μεταξύ 60 και 80.

Το Wolfram MathWorld περιγράφει αυτό το μοτίβο ως καθοριστική ιδιότητα της κανονικής κατανομής. Ο κανόνας μετατρέπει έναν αφηρημένο αριθμό διασποράς σε μια συγκεκριμένη πιθανότητα, βοηθώντας σας να κρίνετε πόσο συνηθισμένη ή σπάνια είναι μια δεδομένη τιμή μέσα στο σύνολο δεδομένων σας.

• Το πιο συχνό σφάλμα είναι η σύγχυση των τύπων δείγματος και πληθυσμού με τη χρήση λάθος παρονομαστή· η διαίρεση με το n όταν θα έπρεπε να χρησιμοποιήσετε το n-1 υποτιμά τη διασπορά για τα δεδομένα δείγματος.
• Ένα άλλο λάθος είναι ότι ξεχνάμε να υψώσουμε τις αποκλίσεις στο τετράγωνο, με αποτέλεσμα οι θετικές και οι αρνητικές διαφορές να αλληλοεξουδετερώνονται και να δίνουν μηδέν.
• Επίσης, πολλοί μπερδεύουν τη διακύμανση με την τυπική απόκλιση, αναφέροντας την τετραγωνισμένη τιμή αντί για την τετραγωνική της ρίζα.
• Η πρόωρη στρογγυλοποίηση της μέσης τιμής μεταφέρει σφάλματα σε κάθε επόμενο βήμα, επομένσο διατηρήστε πλήρη ακρίβεια μέχρι το τέλος.
• Τέλος, η τυπική απόκλιση συνοψίζει καλά μόνο τα συμμετρικά, περίπου κανονικά δεδομένα· για δεδομένα με μεγάλη ασυμμετρία μπορεί να είναι παραπλανητική, όπως προειδοποιεί η Khan Academy.