Υπολογιστής Στατιστικής

Η περιγραφική στατιστική συμπυκνώνει ένα σύνολο δεδομένων σε ουσιαστικούς αριθμούς σύνοψης.

• Τα μέτρα κεντρικής τάσης (μέσος όρος, διάμεσος, επικρατούσα τιμή) σας δείχνουν πού βρίσκεται το κέντρο των δεδομένων.
• Τα μέτρα διασποράς (εύρος, διακύμανση, τυπική απόκλιση, IQR) σας δείχνουν πόσο διασκορπισμένες είναι οι τιμές.
• Τα μέτρα σχήματος (ασυμμετρία και κύρτωση) περιγράφουν τη συμμετρία της κατανομής και τη συμπεριφορά των ουρών της.

Μαζί, αυτά τα στατιστικά στοιχεία σάς δίνουν μια ολοκληρωμένη εικόνα των δεδομένων σας, χωρίς να χρειάζεται να εξετάσετε κάθε μεμονωμένη τιμή ξεχωριστά. Είτε σας ενδιαφέρει ένας απλός υπολογιστής ηλικίας για να βρείτε το πόσο χρονών είμαι, είτε ο υπολογισμός ημερών μεταξύ ημερομηνιών, ο υπολογισμός χρόνου, ο υπολογισμός ωρών εργασίας, ο υπολογισμός ταξιδιού και το κόστος ταξιδιού, ή ο υπολογισμός ρυθμού τρεξίματος, η κατανόηση των δεδομένων είναι πάντα το κλειδί.

Όταν τα δεδομένα σας αντιπροσωπεύουν έναν ολόκληρο πληθυσμό, διαιρείτε με το N για να λάβετε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση πληθυσμού. Όταν τα δεδομένα σας είναι ένα δείγμα από έναν μεγαλύτερο πληθυσμό, διαιρείτε με το N-1 (διόρθωση του Bessel) για να λάβετε μια αμερόληπτη εκτίμηση.

Η τυπική απόκλιση δείγματος είναι πάντα ελαφρώς μεγαλύτερη από την τυπική απόκλιση πληθυσμού για το ίδιο σύνολο δεδομένων.

Για μεγάλο N η διαφορά είναι αμελητέα, αλλά για μικρά δείγματα η διόρθωση παίζει σημαντικό ρόλο. Αντίστοιχα, σε άλλους τομείς, εργαλεία όπως η μέτρηση ημερών, ο υπολογισμός ημερών, ο υπολογισμός μηνών, ο υπολογισμός ηλικίας, η αφαίρεση ημερομηνίας, η διαφορά ημερομηνιών, ο υπολογισμός ημερομηνίας και η μέτρηση ημερολογιακών ημερών απαιτούν επίσης ακριβείς μαθηματικούς τύπους για να λειτουργήσουν σωστά.

• Ο μέσος όρος είναι το άθροισμα όλων των τιμών διαιρεμένο με το πλήθος τους
• η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή των ταξινομημένων δεδομένων
• η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά

Για το σύνολο δεδομένων {68, 72, 76, 78, 82, 85, 88, 90, 91, 95}, ο υπολογισμός του μέσου όρου μάς δίνει 825 διαιρεμένο με το 10, δηλαδή 82.5. Με έναν ζυγό αριθμό 10 τιμών, η διάμεσος προκύπτει από τον μέσο όρο των δύο μεσαίων αριθμών, (82 + 85) / 2 = 83.5. Καμία τιμή δεν επαναλαμβάνεται, επομένως αυτό το σύνολο δεν έχει επικρατούσα τιμή.

Όπως εξηγεί το Khan Academy, αυτά τα τρία μέτρα κεντρικής τάσης απαντούν σε διαφορετικά ερωτήματα, επομένως η αναφορά και των τριών δίνει μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα από ό,τι οποιοδήποτε από αυτά μόνο του.

Η διακύμανση είναι ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων από τον μέσο όρο, και η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Αρχικά:

• αφαιρείτε τον μέσο όρο από κάθε τιμή
• υψώνετε κάθε αποτέλεσμα στο τετράγωνο
• τα προσθέτετε όλα μαζί

Η διακύμανση πληθυσμού διαιρεί αυτό το άθροισμα με το N, ενώ η διακύμανση δείγματος διαιρεί με το N-1. Για τις 10 βαθμολογίες με μέσο όρο 82.5, η διακύμανση δείγματος είναι περίπου 78.28 και η τυπική απόκλιση δείγματος είναι περίπου 8.85.

Το Wolfram MathWorld επισημαίνει ότι η ύψωση των αποκλίσεων στο τετράγωνο αφαιρεί τα αρνητικά πρόσημα και δίνει μεγαλύτερη βαρύτητα στις μεγαλύτερες αποκλίσεις από τον μέσο όρο, γι' αυτό και η τυπική απόκλιση είναι το επικρατέστερο μέτρο διασποράς στη στατιστική.

Τα τεταρτημόρια χωρίζουν τα ταξινομημένα δεδομένα σε τέσσερα ίσα μέρη:

• Το Q1 είναι το 25ο εκατοστημόριο
• Το Q2 είναι η διάμεσος
• Το Q3 είναι το 75ο εκατοστημόριο

Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος (IQR) ισούται με Q3 μείον Q1 και αποτυπώνει τη διασπορά του μεσαίου 50% των δεδομένων. Για το σύνολο {68, 72, 76, 78, 82, 85, 88, 90, 91, 95}, το Q1 είναι 76, το Q3 είναι 90, άρα IQR = 90 - 76 = 14.

Η σύνοψη πέντε σημείων —ελάχιστο, Q1, διάμεσος, Q3, μέγιστο— είναι 68, 76, 83.5, 90, 95. Το NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods περιγράφει αυτή τη σύνοψη ως τη βάση για το θηκόγραμμα (box plot).

Η ασυμμετρία μετρά τη μη συμμετρικότητα μιας κατανομής, και η κύρτωση μετρά το βάρος των ουρών της.

Η ασυμμετρία ίση με μηδέν υποδηλώνει μια συμμετρική κατανομή. Μια θετική τιμή υποδεικνύει μακρύτερη δεξιά ουρά, ενώ μια αρνητική τιμή μακρύτερη αριστερή ουρά.

Η κύρτωση συγκρίνει το βάρος των ουρών με την κανονική κατανομή, η οποία έχει κύρτωση 3 (ή υπερβάλλουσα κύρτωση 0). Η υψηλότερη κύρτωση υποδηλώνει βαρύτερες ουρές και πιο ακραίες τιμές.

Σύμφωνα με το Wolfram MathWorld, αυτές οι ροπές τρίτης και τέταρτης τάξης επεκτείνουν την περιγραφή ενός συνόλου δεδομένων πέρα από το κέντρο και τη διασπορά, αποκαλύπτοντας χαρακτηριστικά του σχήματος που ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση δεν μπορούν να αποτυπώσουν από μόνοι τους.

Ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) είναι η τυπική απόκλιση διαιρεμένη με τον μέσο όρο, εκφρασμένος ως ποσοστό: CV = (SD / mean) x 100%.

Επειδή δεν έχει μονάδα μέτρησης, ο CV σάς επιτρέπει να συγκρίνετε τη μεταβλητότητα μεταξύ συνόλων δεδομένων που μετρώνται σε διαφορετικές μονάδες ή κλίμακες (όπως ο υπολογισμός ημερών μεταξύ ημερομηνιών ή η μέτρηση ημερολογιακών ημερών). Για τις 10 βαθμολογίες του τεστ, ο CV είναι περίπου 8.85 / 82.5 x 100%, δηλαδή περίπου 10.7%, υποδεικνύοντας σχετικά χαμηλή μεταβλητότητα.

Η Encyclopaedia Britannica περιγράφει τον CV ως ένα τυποποιημένο μέτρο διασποράς. Ένας κοινός εμπειρικός κανόνας θεωρεί έναν CV κάτω από 15% ως χαμηλό και πάνω από 30% ως υψηλό, αν και τα ιδανικά όρια εξαρτώνται από τον τομέα και το πλαίσιο αναφοράς σας.

Η εκατοστημοριακή κατάταξη σας δείχνει το ποσοστό των τιμών σε ένα σύνολο δεδομένων που βρίσκονται κάτω από μια δεδομένη τιμή, επομένως βασίζεται άμεσα στη γνώση του πώς να υπολογίζετε ποσοστά. Ένας απλός τύπος είναι: εκατοστημοριακή κατάταξη = (αριθμός τιμών κάτω από το x / συνολικό πλήθος) x 100.

Αν 7 στις 10 βαθμολογίες εξετάσεων είναι χαμηλότερες από τη δική σας, η εκατοστημοριακή σας κατάταξη είναι 70, που σημαίνει ότι γράψατε καλύτερα από το 70% της ομάδας. Τα εκατοστημόρια αποτελούν τη βάση για πολλά τυποποιημένα συστήματα αναφορών, από βαθμολογίες τεστ μέχρι παιδιατρικά διαγράμματα ανάπτυξης (όπου ο υπολογιστής ηλικίας και ο υπολογισμός ηλικίας βοηθούν στον προσδιορισμό των σωστών παραμέτρων, απαντώντας στο ερώτημα «πόσο χρονών είμαι»).

Το Khan Academy τονίζει ότι τα εκατοστημόρια περιγράφουν τη σχετική θέση και όχι την απόλυτη τιμή, γι' αυτό και μια ακατέργαστη βαθμολογία γίνεται πολύ πιο κατανοητή μόλις μάθετε το εκατοστημόριο στο οποίο αντιστοιχεί.

Η περιγραφική στατιστική εμφανίζεται σε σχεδόν κάθε ποσοτικό πεδίο.

• Στη μεταποίηση, τα προγράμματα Six Sigma χρησιμοποιούν τις τυπικές αποκλίσεις για να ποσοτικοποιήσουν τα ποσοστά ελαττωμάτων και την ικανότητα των διαδικασιών.
• Στα χρηματοοικονομικά, η τυπική απόκλιση μετρά τη μεταβλητότητα των αποδόσεων, ενώ ο μέσος όρος εκτιμά την αναμενόμενη απόδοση.
• Οι οργανισμοί δημόσιας υγείας βασίζονται στις διαμέσους και τα εκατοστημόρια για τη σύνοψη των αποτελεσμάτων σε πληθυσμούς, και οι εκπαιδευτικοί τα χρησιμοποιούν για την ερμηνεία των επιδόσεων σε τεστ.

Το e-Handbook of Statistical Methods των NIST/SEMATECH δείχνει πώς οι συνοπτικές στατιστικές υποστηρίζουν τον ποιοτικό έλεγχο και την πειραματική ανάλυση. Είτε βαθμολογείτε εξετάσεις, είτε παρακολουθείτε μια γραμμή παραγωγής, είτε συγκρίνετε επενδυτικά χαρτοφυλάκια —ή ακόμα και αν κάνετε έναν απλό υπολογισμό χρόνου, υπολογισμό ωρών εργασίας ή μέτρηση ημερών— αυτά τα μέτρα μετατρέπουν τους απλούς αριθμούς σε αποφάσεις που μπορείτε να υποστηρίξετε.

Ο εμπειρικός κανόνας, ή κανόνας 68-95-99.7, περιγράφει πώς κατανέμονται τα δεδομένα σε μια κανονική κατανομή:

• Περίπου 68% των τιμών εμπίπτουν εντός μιας τυπικής απόκλισης από τον μέσο όρο
• περίπου 95% εμπίπτουν εντός δύο τυπικών αποκλίσεων
• και περίπου 99.7% εμπίπτουν εντός τριών

Για παράδειγμα, αν ένα τεστ έχει μέσο όρο 82.5 και τυπική απόκλιση περίπου 8.85, περίπου το 95% των βαθμολογιών θα βρισκόταν μεταξύ 64.8 και 100.2 εάν τα δεδομένα ήταν κανονικά κατανεμημένα.

Η Encyclopaedia Britannica σημειώνει ότι αυτός ο κανόνας είναι ο λόγος που η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται τόσο ευρέως: μετατρέπει μια αφηρημένη διασπορά σε συγκεκριμένα εύρη πιθανοτήτων για τα οποία μπορείτε να εξαγάγετε λογικά συμπεράσματα.

• Το πιο συχνό σφάλμα είναι το μπέρδεμα των τύπων δείγματος και πληθυσμού: η διαίρεση με το N όταν τα δεδομένα σας είναι απλώς ένα δείγμα υποτιμά την πραγματική μεταβλητότητα, επομένως χρησιμοποιήστε το N-1 (διόρθωση του Bessel) για δείγματα.
• Ένα άλλο λάθος είναι η παράλειψη ταξινόμησης των δεδομένων πριν από την εύρεση της διαμέσου ή των τεταρτημορίων, κάτι που παράγει άσκοπα αποτελέσματα.
• Οι άνθρωποι συγχέουν επίσης την επικρατούσα τιμή (την πιο συχνή τιμή) με τον μέσο όρο, ή αναφέρουν μια επικρατούσα τιμή για δεδομένα όπου κάθε τιμή είναι μοναδική.
• Τέλος, να θυμάστε ότι ο μέσος όρος είναι ευαίσθητος στις ακραίες τιμές ενώ η διάμεσος είναι ανθεκτική, επομένως μια μεμονωμένη ακραία τιμή μπορεί να αλλοιώσει τον μέσο όρο σας.

Πριν βγάλετε συμπεράσματα, επιβεβαιώνετε πάντα ποιο στατιστικό στοιχείο απαντά καλύτερα στο συγκεκριμένο ερώτημά σας — είτε πρόκειται για μια απλή διαφορά ημερομηνιών, έναν υπολογισμό ταξιδιού και το κόστος ταξιδιού, είτε για έναν υπολογισμό ρυθμού τρεξίματος.