Υπολογιστής Τριγώνων

Τρεις τύποι καλύπτουν κάθε κατάσταση.

• Βάση-ύψος: Εμβαδόν = ½ × b × h. Επιλέξτε οποιαδήποτε πλευρά ως βάση· το h είναι η κάθετη απόσταση από την απέναντι κορυφή προς αυτή τη βάση (ή την προέκτασή της). Αυτός είναι ο τύπος που διδάσκεται πρώτος στο σχολείο και στον οποίο καταφεύγετε όταν δίνεται ένα ύψος ή είναι εύκολο να σχηματιστεί.
• Ο τύπος του Ήρωνα: Εμβαδόν = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] με s = (a+b+c)/2. Χρησιμοποιήστε τον όταν και οι τρεις πλευρές είναι γνωστές αλλά όχι το ύψος — κοινό στην τοπογραφία, στη ναυτιλία και σε οποιοδήποτε πρόβλημα διαμορφώνεται μόνο από τα μήκη των πλευρών. Αριθμητικά, ο τύπος του Ήρωνα χάνει ακρίβεια για πολύ λεπτά (βελονοειδή) τρίγωνα όπου η μία πλευρά ισούται σχεδόν με το άθροισμα των άλλων δύο· ο υπολογιστής χρησιμοποιεί μια αριθμητικά σταθερή παραλλαγή σε αυτές τις περιπτώσεις.
• Τριγωνομετρικός (εμβαδόν SAS): Εμβαδόν = ½ × a × b × sin(C) όπου C είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών a και b. Ιδιαίτερα συμπαγής όταν δίνονται δεδομένα SAS και χρήσιμος στη γραμμική άλγεβρα και τη φυσική (μέτρο εξωτερικού γινομένου).

Και οι τρεις δίνουν τα ίδια αποτελέσματα — είναι διαφορετικές αλγεβρικές μορφές της ίδιας γεωμετρικής ποσότητας.

Δεν σχηματίζουν όλα τα σύνολα τριών θετικών μηκών έγκυρο τρίγωνο. Η Τριγωνική Ανισότητα ορίζει ότι κάθε ζεύγος πλευρών πρέπει να αθροίζει αυστηρά περισσότερο από την τρίτη: a + b > c, a + c > b, και b + c > a, όλα ταυτόχρονα.

Γεωμετρικά: εάν οι δύο μικρές πλευρές δεν μπορούν να φτάσουν πέండా από τη μακριά πλευρά, δεν υπάρχει τρίγωνο — οι μικρές πλευρές καταρρέουν πάνω στη μακριά.

Mήκη όπως 1, 2, 4 αποτυγχάνουν (1 + 2 = 3 < 4). Μήκη όπως 5, 5, 9 επιτυγχάνουν (5 + 5 = 10 > 9). Η ισότητα (1 + 2 = 3 με πλευρές 1, 2, 3) δίνει ένα εκφυλισμένο τρίγωνο με μηδενικό εμβαδόν — τρία συνευθειακά σημεία, τεχνικά όχι τρίγωνο.

Ο υπολογιστής επικυρώνει την ανισότητα πριν από τον υπολογισμό και εμφανίζει ένα σαφές σφάλμα εάν οι πλευρές δεν μπορούν να σχηματίσουν πραγματικό τρίγωνο. Οποιαδήποτε χρήση του υπολογιστής στη δομοστατική μηχανική ή στην τοπογραφία θα πρέπει να αντιμετωπίζει την επικύρωση της τριγωνικής ανισότητας ως έλεγχο ορθότητας στις μετρήσεις πεδίου.

Πέντε «περιπτώσεις ισότητας» καθορίζουν τους συνδυασμούς τριών γνωστών μετρήσεων που προσδιορίζουν μοναδικά (ή σχεδόν μοναδικά) ένα τρίγωνο.

• SSS — τρεις πλευρές: χρησιμοποιήστε τον νόμο των συνημιτόνων για να λύσετε οποιαδήποτε γωνία, έπειτα η τρίτη γωνία είναι 180° μείον τις άλλες δύο.
• SAS — δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία: ο νόμος των συνημιτόνων δίνει την τρίτη πλευρά· έπειτα ο νόμος των ημιτόνων (ή ξανά ο νόμος των συνημιτόνων) δίνει τις υπόλοιπες γωνίες.
• ASA — δύο γωνίες και η πλευρά ανάμεσά τους: η τρίτη γωνία είναι 180° − (A + B)· έπειτα ο νόμος των ημιτόνων δίνει τις άλλες δύο πλευρές.
• AAS — δύο γωνίες και μια μη περιλαμβανόμενη πλευρά: το ίδιο με το ASA μετά τον υπολογισμό της τρίτης γωνίας.
• SSA — δύο πλευρές και μια μη περιλαμβανόμενη γωνία: αυτή είναι η αμφίσημη περίπτωση (επόμενη ενότητα), με πιθανώς 0, 1 ή 2 έγκυρα τρίγωνα.
• AAA μόνο του (τρεις γωνίες, καμία πλευρά) καθορίζει το σχήμα αλλά όχι το μέγεθος — άπειρα πολλά όμοια τρίγωνα το ικανοποιούν, επομένως το AAA δεν μπορεί να λυθεί από μόνο του.

Ο υπολογιστής δρομολογεί κάθε συνδυασμό εισόδου στη σωστή μέθοδο.

Ο Νόμος των Ημιτόνων: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Ο λόγος οποιασδήποτε πλευράς προς το ημίτονο της απέναντι γωνίας του είναι ο ίδιος και για τα τρία ζεύγη. Χρησιμοποιήστε τον για ASA, AAS και SSA.

Η παγίδα είναι το SSA: δεδομένων των πλευρών a, b και της γωνίας A (απέναντι από την πλευρά a), μπορεί να μην υπάρχει τρίγωνο, να υπάρχει ακριβώς ένα ή δύο ξεχωριστά τρίγωνα. Η γεωμετρία:

• εάν το a είναι μικρότερο από την κάθετη απόσταση από την άγνωστη τρίτη κορυφή στη βάση, δεν υπάρχει τρίγωνο.
• Εάν το a ισούται με αυτή την απόσταση, υπάρχει ακριβώς ένα (ορθογώνιο) τρίγωνο.
• Εάν το a εμπίπτει μεταξύ αυτής της απόστασης και του b, υπάρχουν δύο τρίγωνα — ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο για τη γωνία B.
• Εάν το a είναι μεγαλύτερο από το b, υπάρχει μόνο ένα τρίγωνο.

Ο υπολογιστής εντοπίζει και τα τρία καθεστώτα και αναφέρει και τις δύο λύσεις όταν το SSA είναι αμφίσημο. Από εδώ προέρχονται τα περισσότερα σφάλματα των μαθητών στην εισαγωγική τριγωνομετρία — και ένας λόγος για τον οποίο η μηχανική πρακτική αποφεύγει τη διατύπωση SSA όταν υπάρχουν εναλλακτικές λύσεις.

Νόμος των Συνημιτόνων: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Γενικεύει το Πυθαγόρειο θεώρημα — όταν C = 90°, cos(C) = 0 και ο τύπος ανάγεται σε a² + b² = c².

Χρησιμοποιήστε τον όποτε ο νόμος των ημιτόνων δεν ισχύει: SSS και SAS. Από το SSS, λύστε για οποιαδήποτε γωνία: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), έπειτα C = arccos(...). Από το SAS, τοποθετήστε τις δύο γνωστές πλευρές και τη μεταξύ τους γωνία στον τύπο και πάρτε την τετραγωνική ρίζα για την τρίτη πλευρά.

Υπολογιστικά, ο νόμος των συνημιτόνων είναι πιο αριθμητικά σταθερός από τον νόμο των ημιτόνων για πολύ μικρές ή πολύ αμβλείες γωνίες και είναι αυτό που χρησιμοποιούν εσωτερικά τα περισσότερα λογισμικά CAD και τοπογραφίας. Ο υπολογιστής επιλέγει τον νόμο των συνημιτόνων αυτόματα για εισόδους SSS και SAS.

Όταν η μία γωνία είναι ακριβώς 90°, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και τα μαθηματικά απλοποιούνται δραματικά. Πυθαγόρειο θεώρημα: a² + b² = c², όπου c είναι η υποτείνουσα (η πλευρά απέναντι από τη γωνία 90°, πάντα η μεγαλύτερη). Για να βρείτε μια κάθετη πλευρά: a = √(c² − b²). Για να βρείτε την υποτείνουσα: c = √(a² + b²).

Οι δύο οξείες γωνίες γίνονται επίσης προσβάσιμες μέσω του SOH-CAH-TOA: sin(A) = απέναντι/υποτείνουσα = a/c, cos(A) = προσκείμενη/υποτείνουσα = b/c, tan(A) = απέναντι/προσκείμενη = a/b.

Δύο λόγοι αξίζει να απομνημονευθούν.

• Το τρίγωνο 30-60-90 έχει πλευρές σε αναλογία 1 : √3 : 2 — το μισό ενός ισόπλευρου τριγώνου, πανταχού παρόν σε εξετάσεις γεωμετρίας και κοπή πλακιδίων.
• Το 45-45-90 (ορθογώνιο ισοσκeles) έχει πλευρές σε αναλογία 1 : 1 : √2 — το μισό ενός τετραγώνου, πανταχού παρόν στην ξυλουργική και τα γραφικά υπολογιστών.

Για πιο σύνθετα προβλήματα ορθογώνιων τριγώνων ειδικά, χρησιμοποιήστε τον αποκλειστικό μας Υπολογιστή Πυθαγορείου Θεωρήματος· αυτός ο υπολογιστής καλύπτει την περίπτωση του ορθογώνιου τριγώνου ως μία από τις επτά λειτουργίες επίλυσης.

Δύο παράλληλα συστήματα ταξινόμησης, που χρησιμοποιούνται μαζί.

Κατά πλευρές:

• Ισόπλευρο (και οι τρεις πλευρές ίσες — αυτόματα όλες οι γωνίες 60°),
• Ισοσκeles (ακριβώς δύο πλευρές ίσες — έχει επίσης δύο ίσες γωνίες, αυτές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές),
• Σκαληνό (και οι τρεις πλευρές διαφορετικού μήκους).

Κατά γωνίες:

• Οξυγώνιο (κάθε γωνία μικρότερη από 90°),
• Ορθογώνιο (ακριβώς μία γωνία 90°),
• Αμβλυγώνιο (ακριβώς μία γωνία μεγαλύτερη από 90° — οι άλλες δύο πρέπει να είναι οξείες).

Κάθε τρίγωνο έχει τόσο ετικέτα πλευράς όσο και ετικέτα γωνίας. Ένα 3-4-5 είναι «ορθογώνιο σκαληνό». Ένα 60-60-60 είναι «οξυγώνιο ισόπλευρο» (το μόνο δυνατό είδος — το ισόπλευρο συνεπάγεται οξυγώνιο). Ένα 45-45-90 είναι «ορθογώνιο ισοσκeles». Ένα 100-40-40 (μοίρες) με δύο ίσες πλευρές είναι «αμβλυγώνιο ισοσκeles». Ο υπολογιστής εξάγει και τις δύο ταξινομήσεις.

Μια Πυθαγόρειη τριάδα είναι ένα σύνολο τριών θετικών ακεραίων (a, b, c) που ικανοποιούν τη σχέση a² + b² = c². Σχηματίζουν ορθογώνια τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών — χρήσιμα στις κατασκευές, στα γραφικά υπολογιστών και οπουδήποτε η καθαρή ακέραια γεωμετρία βοηθάει.

Πρωταρχικές τριάδες (χωρίς κοινό παράγοντα): 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 11-60-61, 12-35-37, 20-21-29. Οποιοδήποτε ακέραιο πολλαπλάσιο μιας πρωταρχικής τριάδας είναι επίσης τριάδα — οπότε τα 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 κ.λπ. λειτουργούν όλα.

Οι κατασκευαστές χρησιμοποιούν τη μέθοδο 3-4-5 για να τετραγωνίσουν γωνίες: μετρούν 3 μονάδες κατά μήκος ενός τοίχου, 4 κατά μήκος της κάθετης και επαληθεύουν ότι η διαγώνιος είναι ακριβώς 5. Αν είναι 5.0, η γωνία είναι ακριβώς 90°· αν αποκλίνει, κάνουν διόρθωση.

Ο Ευκλείδης και οι Πυθαγόρειοι κατέγραψαν αυτά συστηματικά, και οι θεωρητικοί των αριθμών τα γενίκευσαν μέσω του τύπου του Ευκλείδη a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² για ακέραιους m > n > 0.

Ο τύπος του Ήρωνα, που αποδίδεται στον Ήρωνα τον Αλεξανδρινό (περ. 60 μ.Χ.), δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου μόνο από τα μήκη των τριών πλευρών — δεν απαιτείται ύψος: Εμβαδόν = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] όπου s = (a+b+c)/2 είναι η ημιπεριμέτρος. Είναι ο βασικός τύπος για προβλήματα εμβαδού SSS και για κάθε εφαρμογή που μετρά πλευρές απευθείας (τοπογραφία, αποστάσεις από GPS, επιθεώρηση εξαρτημάτων).

Μια αριθμητική επιφύλαξη: όταν μια πλευρά είναι πολύ κοντά στο άθροισμα των άλλων δύο (ένα 'λεπτό' τρίγωνο), η τυπική μορφή χάνει ακρίβεια κινητής υποδιαστολής. Η αριθμητικά σταθερή μορφή, κατά τον W. Kahan, είναι: Εμβαδόν = ¼ × √[(a + (b + c)) × (c − (a − b)) × (c + (a − b)) × (a + (b − c))], όπου a ≥ b ≥ c είναι ταξινομημένα με φθίνουσα σειρά.

Ο υπολογιστής χρησιμοποιεί εσωτερικά τη σταθερή μορφή ώστε να διατηρείται η ακρίβεια σε όλα τα έγκυρα τρίγωνα.

Κάθε τρίγωνο έχει δύο φυσικούς κύκλους. Ο εγγεγραμμένος κύκλος είναι ο μεγαλύτερος κύκλος που χωράει μέσα, εφαπτόμενος και στις τρεις πλευρές — η ακτίνα του είναι η εγγεγραμμένη ακτίνα r = Εμβαδόν / s (ημιπεριμέτρος). Ο περιγεγραμμένος κύκλος περνάει και από τις τρεις κορυφές — η ακτίνα του είναι η περιγεγραμμένη ακτίνα R = abc / (4 × Εμβαδόν), ή ισοδύναμα R = a / (2·sin A) από τον Νόμο των Ημιτόνων.

Τέσσερα κλασικά 'κέντρα' συμπίπτουν για ένα ισόπλευρο τρίγωνο αλλά διαφέρουν στα γενικά τρίγωνα:

• έγκεντρο (όπου συναντώνται οι διχοτόμοι γωνιών, κέντρο εγγεγραμμένου κύκλου),
• περίκεντρο (όπου συναντώνται οι μεσοκάθετοι των πλευρών, κέντρο περιγεγραμμένου κύκλου),
• βαρύκεντρο (όπου συναντώνται οι διάμεσοι, κέντρο μάζας),
• ορθόκεντρο (όπου συναντώνται τα ύψη).

Η ευθεία του Euler συνδέει το περίκεντρο, το βαρύκεντρο και το ορθόκεντρο για οποιοδήποτε μη ισόπλευρο τρίγωνο. Ο υπολογιστής δίνει τα r και R παράλληλα με τις βασικές μετρήσεις· τα ίδια τα κέντρα εξαρτώνται από συντεταγμένες και απαιτούν την τοποθέτηση του τριγώνου σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Τα τρίγωνα αποτελούν το δομικό θεμέλιο του φυσικού και ψηφιακού κόσμου.

• Αρχιτεκτονική: το τρίγωνο είναι το μόνο άκαμπτο πολύγωνο — δεν μπορεί να παραμορφωθεί χωρίς να αλλάξουν τα μήκη των πλευρών. Τα δικτυώματα στεγών, οι γεωδαιτικοί θόλοι και τα πλαίσια γεφυρών βασίζονται σε αυτό.
• Τοπογραφία: η τριγωνοποίηση αποτελεί το πρότυπο εδώ και αιώνες — μετρήστε δύο γωνίες και μια γραμμή βάσης (ASA), και η τρίτη κορυφή (ένα απρόσιτο σημείο) λύνεται με τον Νόμο των Ημιτόνων. Το σύγχρονο GPS και οι συνολικοί σταθμοί εξακολουθούν να χρησιμοποιούν τα υποκείμενα μαθηματικά.
• Ναυσιπλοΐα: ο προσδιορισμός θέσης μέσω τριγωνοποίησης 'τριών διευθύνσεων' δίνει στίγμα στη τομή τριών γωνιών προς γνωστά ορόσημα. Η αεροπορική και ναυτική ναυσιπλοΐα το χρησιμοποιούν ως εφεδρεία όταν το GPS δεν είναι διαθέσιμο.
• Ανάπτυξη παιχνιδιών και γραφικά υπολογιστών: κάθε τρισδιάστατο μοντέλο αποδίδεται ως πλέγμα τριγώνων, επειδή ένα τρίγωνο είναι το απλούστερο επίπεδο πολύγωνο και rasterizes αποτελεσματικά σε μια GPU. Οι μέθοδοι σημείου στο εσωτερικό και βαρυκεντρικών συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την πλήρωση τριγώνων στην οθόνη βασίζονται άμεσα σε υπολογισμούς εμβαδού στυλ-Ήρωνα.

Τα μαθηματικά που κάνετε με αυτόν τον υπολογιστή είναι τα ίδια μαθηματικά που εκτελούν οι GPU εκατομμύρια φορές ανά καρέ.

Έξι επαναλαμβανόμενα σφάλματα.

• Μίξη μοιρών και ακτινίων: οι περισσότεροι υπολογιστές (και αυτός εδώ) έχουν ως προεπιλογή τις μοίρες· ελέγξτε τον διακόπτη. Οι γλώσσες προγραμματισμού συνήθως έχουν ως προεπιλογή τα ακτίνια. Ένα λάθος 90° έναντι 90 ακτινίων είναι δραματικό.
• Ξεχνώντας την τριγωνική ανισότητα: οι σπουδαστές βάζουν 1, 2, 5 και εμπιστεύονται το αποτέλεσμα· ο υπολογιστής τώρα το απορρίπτει με ένα σαφές μήνυμα σφάλματος.
• Χρήση του Νόμου των Ημιτόνων για SSS ή SAS: αυτά απαιτούν τον Νόμο των Συνημιτόνων. Ο Νόμος των Ημιτόνων απαιτεί τουλάχιστον μία γνωστή γωνία για την εκκίνηση.
• Παράλειψη της δεύτερης λύσης SSA: στην αμφίβολη περίπτωση, και τα δύο τρίγωνα μπορεί να είναι έγκυρα — οι απαντήσεις στις εξετάσεις συχνά αναμένουν και τις δύο.
• Λανθασμένη αναγνώριση της υποτείνουσας: είναι πάντα η πλευρά απέναντι από τη γωνία των 90° και η μεγαλύτερη πλευρά — όχι όποια πλευρά κι αν φέρει την ένδειξη c.
• Σύγχυση ύψους με πλευρά: το ύψος είναι η κάθετη απόσταση από μια κορυφή στην απέναντι πλευρά (ή στην προέκτασή της), όχι μία από τις πλευρές. Για ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο, το ύψος προς μια συγκεκριμένη πλευρά μπορεί να πέφτει εντελώς εκτός του τριγώνου· αυτό είναι απολύτως εντάξει για τον τύπο του εμβαδού.