Υπολογιστής Z-Score

Ο τύπος της τιμής z είναι z = (x − μ) / σ, όπου x είναι η ακατέργαστη τιμή σας, μ είναι ο μέσος όρος και σ είναι η τυπική απόκλιση.

Εισάγετε αυτές τις τρεις τιμές στον υπολογιστή για να λάβετε την τιμή z άμεσα, μαζί με το αντίστοιχο εκατοστημόριο και την πιθανότητα.

Μετατρέψτε οποιοδήποτε z-score σε εκατοστημόριο (percentile rank) χρησιμοποιώντας την αθροιστική τυπική κανονική κατανομή.

• Ένα z-score 0 = 50ό εκατοστημόριο (ο μέσος όρος).
• Ένα z-score 1.0 = 84ό εκατοστημόριο.
• Ένα z-score 1.96 = 97.5ό εκατοστημόριο (χρησιμοποιείται σε διαστήματα εμπιστοσύνης 95%).

Τα z-scores ακολουθούν την τυπική κανονική κατανομή (μέσος όρος = 0, τυπική απόκλιση = 1).

Ο κανόνας 68-95-99.7 ορίζει ότι:

• Το 68% των δεδομένων βρίσκεται εντός z = ±1
• Το 95% εντός z = ±2
• Το 99.7% εντός z = ±3

Ο υπολογιστής μας οπτικοποιεί το z-score σας στην καμπύλη της κανονικής κατανομής.

Ένα z-score, γνωστό και ως τυποποιημένη τιμή (standard score), είναι ο αριθμός των τυπικών αποκλίσεων που απέχει ένα σημείο δεδομένων από τον μέσο όρο της κατανομής του.

Ένα z-score 0 βρίσκεται ακριβώς στον μέσο όρο, το +1.5 βρίσκεται ενάμιση τυπική απόκλιση πάνω από αυτόν, και το −2 βρίσκεται δύο τυπικές αποκλίσεις κάτω.

Επειδή μετατρέπει οποιαδήποτε μεταβλητή σε μια κοινή μονάδα, το z-score σάς επιτρέπει να συγκρίνετε τιμές που μετρήθηκαν σε διαφορετικές κλίμακες — για παράδειγμα, μια βαθμολογία τεστ με ένα ύψος.

Σύμφωνα με το Wolfram MathWorld, η τυποποιημένη τιμή μετατρέπει μια κανονική μεταβλητή σε κατανομή με μέσο όρο 0 και τυπική απόκλιση 1, αποτελώντας τη βάση για σχεδόν κάθε παραμετρικό στατιστικό έλεγχο.

Το z-score υπολογίζεται ως z = (x − μ) / σ, όπου x είναι η αρχική παρατήρηση, μ είναι ο μέσος όρος του πληθυσμού και σ είναι η τυπική απόκλιση του πληθυσμού.

Αφαιρείτε τον μέσο όρο για να κεντράρετε τα δεδομένα στο μηδέν και στη συνέχεια διαιρείτε με την τυπική απόκλιση για να εκφράσετε την απόσταση σε τυποποιημένες μονάδες. Όταν έχετε μόνο ένα δείγμα, αντικαθιστάτε τον μέσο όρο δείγματος x̄ και την τυπική απόκλιση δείγματος s.

Για μια βαθμολογία 85 με μέσο όρο 70 και τυπική απόκλιση 10, z = (85 − 70) / 10 = 1.5.

Η Khan Academy σημειώνει ότι αυτός ο μετασχηματισμός διατηρεί το σχήμα της κατανομής ενώ τυποποιεί το κέντρο και τη διασπορά της.

Για να μετατρέψετε ένα z-score σε πιθανότητα, υπολογίζετε τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF) της τυπικής κανονικής κατανομής, Φ(z), η οποία δίνει P(Z < z).

Για z = 1.5, Φ(1.5) ≈ 0.9332, οπότε περίπου το 93.32% των τιμών πέφτει κάτω από αυτό και το 6.68% επάνω.

Η CDF ορίζεται μέσω της συνάρτησης σφάλματος, erf, όπως τεκμηριώνεται στη Ψηφιακή Βιβλιοθήκη Μαθηματικών Συναρτήσεων του NIST (DLMF §7). Επειδή η κανονική καμπύλη είναι συμμετρική, Φ(−z) = 1 − Φ(z).

Ο υπολογιστής διαχειρίζεται αυτόν τον ολοκληρωισμό αυτόματα, οπότε δεν χρειάζεται ποτέ να διαβάσετε έναν τυπωμένο πίνακα z.

Αρκετά z-scores επαναλαμβάνονται συνεχώς στη στατιστική.

• Ένα z 1.0 σηματοδοτεί το 84ό εκατοστημόριο και το −1.0 το 16ο.
• Η κρίσιμη τιμή 1.645 αντιστοιχεί στο 95ο εκατοστημόριο (μονοπλευρική), ενώ το 1.96 δίνει το 97.5ό εκατοστημόριο και ορίζει το γνωστό αμφίπλευρο διάστημα εμπιστοσύνης 95%.
• Ένα z 2.576 σηματοδοτεί το 99.5ό εκατοστημόριο, που χρησιμοποιείται για εμπιστοσύνη 99%.

Σύμφωνα με τον κανόνα 68-95-99.7 που περιγράφεται από την Encyclopaedia Britannica, περίπου το 68% των δεδομένων βρίσκεται εντός ±1, το 95% εντός ±2 και το 99.7% εντός ±3 τυπικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο. Η απομνημόνευση αυτών των σημείων αναφοράς επιταχύνει την ερμηνεία.

Τα z-scores εμφανίζονται πολύ πέρα από την τάξη.

• Οι τυποποιημένες εξετάσεις τα αναφέρουν ώστε οι βαθμολογίες από διαφορετικές μορφές τεστ να μπορούν να συγκριθούν δίκαια.
• Στον ποιοτικό έλεγχο μεταποίησης, οι μηχανικοί επισημαίνουν οποιαδήποτε μέτρηση πέ 过έρα από ±3 τυπικές αποκλίσεις ως ακραία τιμή (outlier), δεδομένου ότι λιγότερο από το 0.3% μιας κανονικής διαδικασίας θα έπρεπε να βρίσκεται εκεί.
• Τα οικονομικά χρησιμοποιούν z-scores σε μοντέλα όπως το Altman Z-score για τον κίνδυνο πτώχευσης, και η υγειονομική περίθαλψη βασίζεται σε αυτά για διαγράμματα ανάπτυξης και σκορ οστικής πυκνότητας.

Οποτεδήποτε πρέπει να συγκρίνετε παρατηρήσεις από διαφορετικές κλίμακες ή σύνολα δεδομένων, η τυποποίησή τους σε z-scores, όπως εικονογραφεί η Khan Academy, κάνει τη σύγκριση ουσιαστική.

Για να αντιστρέψετε τη διαδικασία και να βρείτε ένα z-score από ένα εκατοστημόριο, εφαρμόστε την αντίστροφη κανονική συνάρτηση (probit), Φ⁻¹(p).

Εισαγάγετε το εκατοστημόριο ως αναλογία μεταξύ 0 και 1:

• το 90ό εκατοστημόριο επιστρέφει ένα z περίπου 1.282
• το 95ό εκατοστημόριο επιστρέφει 1.645
• το 99ό εκατοστημόριο επιστρέφει περίπου 2.326

Οι τιμές κάτω από το 50ό εκατοστημόριο αποδίδουν αρνητικά z-scores, αντικατοπτρίζοντας θέσεις κάτω από τον μέσο όρο.

Το εγχειρίδιο NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods καταγράφει αυτά τα ποσοστημόρια της τυπικής κανονικής κατανομής, και η αντίστroφη λειτουργία αυτού του υπολογιστή τα υπολογίζει απευθείας από οποιοδήποτε εκατοστημόριο εισαγάγετε.

Σε έναν έλεγχο z (z-test), η στατιστική ελέγχου είναι ένα z-score που μετρά πόσο μακριά βρίσκεται ένας μέσος όρος δείγματος από μια υποθετική τιμή υπό την μηδενική υπόθεση.

Το συγκρίνετε με κρίσιμες τιμές:

• για έναν αμφίπλευρο έλεγχο στο επίπεδο 5%, απορρίψτε τη μηδενική υπόθεση εάν το |z| υπεרβαίνει το 1.96
• στο επίπεδο 1% εάν το |z| υπερβαίνει το 2.576

Ισοδύναμα, μετατρέψτε το z-score σε p-value χρησιμοποιώντας την τυπική κανονική CDF και απορρίψτε όταν το p είναι κάτω από το όριο σημαντικότητάς σας α.

Η Britannica σημειώνει ότι ο έλεγχο z προϋποθέτει μια γνωστή τυπική απόκλιση πληθυσμού και μια κατά προσέγγιση κανονική δειγματική κατανομή, συνθήκες που συχνά πληρούνται από το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα για μεγάλα δείγματα.

• Το πιο συχνό σφάλμα είναι η διαίρεση με τη διακύμανση αντί για την τυπική απόκλιση — θυμηθείτε ότι το σ είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, οπότε να διαιρείτε πάντα με το σ.
• Ένα άλλο λάθος είναι η σύγχυση μεταξύ στατιστικών πληθυσμού και δείγματος: χρησιμοποιήστε τα μ και σ για ολόκληρο τον πληθυσμό, αλλά τα x̄ και s για ένα δείγμα.
• Οι άνθρωποι συγχέουν επίσης ένα z-score με ένα εκατοστημόριο· ένα z 1.0 δεν είναι το 100ό εκατοστημόριο αλλά το 84ό.
• Τέλος, τα z-scores φέρουν τη συνήθη σημασία πιθανότητάς τους μόνο όταν τα δεδομένα είναι κατά προσέγγιση κανονικά.

Όπως προειδοποιεί το Wolfram MathWorld, η εφαρμογή πιθανορτητών κανονικής καμπύλης σε έντονα ασύμμετρα δεδομένα παράγει παραπλanητικά εκατοστημόρια.