Guide rapide des calculs et règles de base du logarithme

1. Logarithme commun (base 10)

• Écrit en log (x) ou log₁₀ (x)
• Le plus fréquemment utilisé dans les applications scientifiques
• Exemple: log (100) = 2 car 10² = 100

2. Logarithme naturel (base E)

• Écrit comme Ln (x) ou Logₑ (x)
• Base e ≈ 2,71828 (numéro d'Euler)
• Modèles essentiels dans le calcul et la croissance exponentielle
• Exemple: ln (e) = 1 parce que e¹ = e

3. Logarithme binaire (base 2)

• Écrit comme log₂ (x)
• Couramment utilisé en informatique
• Exemple: log₂ (8) = 3 car 2³ = 8

4. Logarithme général (n'importe quelle base)

• Écrit comme logₐ (x) où «a» est la base
• La base doit être positive et non égale à 1
• Exemple: log₅ (25) = 2 car 5² = 25

1. Règle de produit

logₐ (x × y) = logₐ (x) + logₐ (y)

Cette règle stipule que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes.

Exemple: log₂ (8 × 4) = log₂ (8) + log₂ (4) = 3 + 2 = 5

Vérification: log₂ (32) = 5 car 2⁵ = 32

2. Règle de quotient

logₐ (x ÷ y) = logₐ (x) - logₐ (y)

Le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes.

Exemple: log₃ (27 ÷ 9) = log₃ (27) - log₃ (9) = 3 - 2 = 1

Vérification: log₃ (3) = 1 car 3¹ = 3

3. Règle de puissance

logₐ (x ^ n) = n × logₐ (x)

Le logarithme d'une puissance est égal à l'exposant fois le logarithme de la base.

Exemple: log₂ (8³) = 3 × log₂ (8) = 3 × 3 = 9

Vérification: log₂ (512) = 9 parce que 2⁹ = 512

4. Règle de changement de base

logₐ (x) = logₑ (x) ÷ logₑ (a)

Cette règle vous permet de calculer les logarithmes avec n'importe quelle base utilisant des logarithmes naturels.

Exemple: log₅ (25) = ln (25) ÷ ln (5) = 3,219 ÷ 1,609 = 2

5. Propriétés d'identité

• logₐ (1) = 0 (car a⁰ = 1 pour toute base a)
• logₐ (a) = 1 (parce que a¹ = a)
• logₐ (a ^ x) = x (relation inverse)
• a ^ (logₐ (x)) = x (relation inverse)

Méthode 1: Utilisation de la définition et des mathématiques mentales

Pour les cas simples où le résultat est un nombre entier:

Étape 1: Demandez-vous: «Quelle puissance de la base me donne ce numéro?»

Étape 2: Utilisez vos connaissances des pouvoirs pour trouver la réponse

Méthode 2: Utilisation de propriétés de logarithme

Pour des calculs plus complexes, décomposez le problème en utilisant des règles de logarithme:

Méthode 3: Utilisation de la formule de changement de base

Lorsque vous travaillez avec des bases inhabituelles:

Méthode 4: Méthode de la calculatrice

Pour des résultats décimaux précis:

• Pour les logarithmes communs: utilisez le bouton "Log"
• Pour les logarithmes naturels: utilisez le bouton «LN»
• Pour d'autres bases: utilisez la formule de changement de base avec votre calculatrice

Type 1: équations logarithmiques de base

Formulaire d'équation: logₐ (x) = b

Solution: x = a ^ b

Type 2: Équations avec propriétés de logarithme

Formulaire d'équation: logₐ (x) + logₐ (y) = c

Solution: utilisez la règle du produit pour combiner, puis résolvez

Type 3: Équations avec des variables à plusieurs endroits

Formulaire d'équation: logₐ (x) = logₐ (y)

Solution: si les bases sont égales, alors x = y

Erreur 1: application incorrecte des propriétés

Mauvais: log (a + b) = log (a) + log (b)

Correct: log (a × b) = log (a) + log (b)

N'oubliez pas: les logarithmes convertissent la multiplication en addition, et non l'addition à l'addition.

Erreur 2: oublier les restrictions de domaine

Question: Tenter de trouver le journal (-5) ou le journal (0)

Solution: N'oubliez pas que les logarithmes ne sont définis que pour des nombres positifs

Erreur 3: confusion de base

Problème: mélanger différentes bases pendant les calculs

Solution: Identifiez toujours clairement la base et restez avec elle tout au long du problème

Erreur 4: Signer les erreurs

Mauvais: log (a / b) = log (a) + log (b)

Correct: log (a / b) = log (a) - log (b)

Application 1: intérêt composé

Calculez combien de temps il faut pour qu'un investissement double:

Formule: t = log (2) / log (1 + r)

où t = temps, r = taux d'intérêt

Application 2: Calculs de pH

Formule: pH = -log [h⁺]

où [H⁺] est une concentration en ions hydrogène

Application 3: Maîtritude du tremblement de terre

Formule: m = log (i / i₀)

où m = magnitude, i = intensité, i₀ = intensité de référence

Technique 1: stratégies d'estimation

Pour des approximations rapides:

• log₂ (1000) ≈ 10 (depuis 2¹⁰ = 1024)
• log₁₀ (3) ≈ 0,5 (depuis 10⁰ · ⁵ = √10 ≈ 3,16)

Technique 2: utiliser efficacement la technologie

Calculateurs scientifiques:

• Utilisez des parenthèses pour assurer une commande correcte des opérations
• Vérifiez que votre calculatrice est dans le bon mode

Outils en ligne:

• Vérifiez votre travail avec plusieurs méthodes de calcul
• Utilisez des outils graphiques pour visualiser les fonctions logarithmiques

Technique 3: Reconnaissance des modèles

Apprenez à reconnaître les valeurs de logarithme courantes:

• log₁₀ (10 ^ n) = n
• log₂ (2 ^ n) = n
• ln (e ^ n) = n

Problème: obtenir des résultats indéfinis

Cause: Tenter de calculer les logarithmes de nombres négatifs ou zéro

Solution: vérifiez que tous les arguments sont positifs avant de calculer

Problème: résultats incohérents

Cause: mélanger différentes bases ou utiliser des propriétés incorrectes

Solution: cohérence de base à double vérification et applications de propriété

Problème: Arrondi Erreurs

Cause: arrondissement excessif pendant les étapes intermédiaires

Solution: transporter des décimales supplémentaires pendant les calculs, ronde uniquement à la fin