Pengonversi Biner, Heksimal & Basis

Biner (basis 2) hanya menggunakan angka 0 dan 1. Untuk mengonversi biner ke desimal, kalikan setiap digit dengan 2 dipangkatkan posisi nilainya (dimulai dari 0 di sebelah kanan) dan jumlahkan hasilnya.

Contoh: 1101 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

Heksadesimal (basis 16) menggunakan 0-9 dan A-F. Ini populer dalam pemrograman karena setiap digit heksadesimal mewakili tepat 4 bit biner.

FF dalam heks = 255 dalam desimal = 11111111 dalam biner.

• Komputer menggunakan biner secara internal.
• Heksadesimal menyediakan cara yang ringkas untuk merepresentasikan data biner.
• Oktal digunakan pada sistem yang lebih lama.
• Desimal ramah bagi manusia.

Setiap basis memiliki tujuannya sendiri dalam komputasi dan matematika.

Sebuah basis angka (juga disebut radiks) adalah jumlah digit unik yang digunakan oleh sistem angka posisional untuk merepresentasikan nilai. Basis 10 menggunakan sepuluh digit (0-9); basis 2 menggunakan dua digit (0 dan 1).

Dalam sistem posisional apa pun, setiap tempat digit memiliki bobot yang sama dengan basis dipangkatkan posisi tersebut, dihitung dari nol di sebelah kanan. Jadi desimal 253 berarti 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰.

Menurut Wolfram MathWorld, prinsip posisional ini memungkinkan sekumpulan simbol kecil untuk mengekspresikan angka yang sangat besar, itulah sebabnya konversi basis pada dasarnya hanyalah mengekspresikan ulang kuantitas yang sama dengan nilai tempat yang berbeda.

Untuk mengonversi angka desimal ke basis target apa pun, bagilah secara berulang dengan basis tersebut dan kumpulkan sisanya, lalu baca dari yang terakhir hingga yang pertama.

Mengonversi 156 ke heksadesimal: 156 ÷ 16 = 9 sisa 12 (C), dan 9 ÷ 16 = 0 sisa 9, jadi membaca ke atas memberikan 9C. Verifikasi: 9×16 + 12 = 144 + 12 = 156.

Khan Academy mengajarkan teknik bagi-dan-catat yang sama ini untuk biner dan basis lainnya. Ini berfungsi untuk radiks apa pun dari 2 hingga 36 karena setiap pembagian mengisolasi digit yang paling tidak penting terlebih dahulu, membangun hasil satu nilai tempat dalam satu waktu.

Karena 8 dan 16 adalah perpangkatan dari 2, Anda dapat mengonversi biner secara langsung dengan mengelompokkan bit daripada melalui desimal. Kelompokkan digit biner menjadi set tiga (dari kanan) untuk oktal, atau set empat untuk heksadesimal, dengan menambahkan nol di depan jika diperlukan.

Contoh: biner 11010110 dikelompokkan sebagai 1101 0110 → D6 dalam heks, atau sebagai 011 010 110 → 326 dalam oktal. Verifikasi keduanya terhadap desimal: 214.

Wolfram MathWorld mencatat bahwa pintasan pengelompokan ini tepat karena satu digit oktal dipetakan ke tiga bit dan satu digit heks dipetakan ke empat bit.

Rumus inti untuk membaca basis apa pun ke dalam desimal adalah Nilai = Σ(dₙ × basisⁿ), di mana setiap digit dₙ dikalikan dengan basis dipangkatkan posisinya n dihitung dari nol di sebelah kanan.

Untuk heksadesimal 2AF: 2×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 512 + 160 + 15 = 687.

Encyclopaedia Britannica menggambarkan struktur jumlah berbobot ini sebagai fitur penentu dari notasi posisional, membedakannya dari sistem non-posisional seperti angka Romawi. Rumus yang sama menangani bagian pecahan dengan menggunakan eksponen negatif, sehingga digit setelah titik radiks membawa bobot basis⁻¹.

Basis yang berbeda mendominasi tugas komputasi yang berbeda:

• Heksadesimal mengenkode alamat memori, kode warna RGB seperti #FF5733, alamat MAC, dan cadangan byte karena dua digit heks secara rapi merepresentasikan satu byte 8-bit.
• Oktal bertahan dalam izin file Unix: chmod 755 memberikan akses baca-tulis-eksekusi kepada pemilik dan baca-eksekusi kepada yang lain, karena setiap digit oktal dipetakan ke tiga bit izin.
• Biner mendasari segalanya di tingkat perangkat keras, dari logika CPU hingga subnet mask jaringan.

Memahami basis-basis ini membantu programmer men-debug data tingkat rendah, dan Britannica mencatat peran sentral sistem biner dalam desain semua komputer digital modern.

Basis 36 adalah basis terbesar yang pas dengan nyaman ke dalam set karakter alfanumerik standar, menggunakan sepuluh digit 0-9 ditambah 26 huruf A-Z untuk nilai 10 hingga 35. Itu menghasilkan tepat 36 simbol yang berbeda.

Ini populer untuk mengenkode angka besar secara ringkas sebagai string pendek, seperti pemendek URL dan ID unik, karena mengemas lebih banyak informasi per karakter daripada desimal atau heks.

Untuk basis apa pun di atas 10, huruf-huruf hanya memperluas set digit: A=10, B=11, hingga Z=35. Konverter ini mendukung setiap basis dari 2 hingga 36 menggunakan konvensi ini.

Setiap posisi dalam angka biner membawa bobot yang merupakan perpangkatan dua, sehingga mengetahui perpangkatan ini membuat konversi biner menjadi cepat. Dari kanan, bobotnya adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, lalu 256, 512, dan 1024 (yaitu 2¹⁰).

Inilah sebabnya mengapa byte 8-bit menampung nilai 0 hingga 255: jumlah dari delapan bobot pertama (1 hingga 128) adalah 255.

Wolfram MathWorld mengkatalogkan perpangkatan dua sebagai salah satu urutan bilangan bulat paling fundamental dalam komputasi. Menghafalkannya hingga 1024 memungkinkan Anda mengonversi angka biner kecil secara mental tanpa pembagian berulang, sementara untuk nilai yang lebih besar, kalkulator logaritma dengan cepat memberi tahu Anda berapa banyak bit yang dibutuhkan suatu angka, karena jumlah bit hanyalah logaritma basis-2 yang dibulatkan ke atas.

• Kesalahan yang paling sering terjadi adalah salah menghitung eksponen posisi dengan mulai dari satu alih-alih nol; digit paling kanan selalu memiliki posisi 0, memberikannya bobot basis⁰ = 1.
• Kekeliruan umum lainnya adalah lupa untuk mengisi biner ke dalam kelompok lengkap tiga atau empat sebelum memetakan ke oktal atau heksadesimal, yang menggeser setiap digit.
• Orang juga sering mencampuradukkan huruf heks, menulis D sebagai 14 alih-alih 13 (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).
• Terakhir, ketika menggunakan metode pembagian sisa, sisa harus dibaca dari pembagian terakhir ke atas, bukan sesuai urutan saat dihasilkan.

Memeriksa ulang dengan rumus posisional akan menangkap keempat kesalahan tersebut.