Kalkulator Lempar Koin

Mode simulator menjalankan lemparan koin acak aktual dan melaporkan jumlah kepala dan ekor yang diamati ditambah grafik persentase yang berjalan. Karena menggunakan keacakan nyata, 100 lemparan mungkin memberi Anda 47 kepala atau 56 kepala — Anda dapat menekan 'Lempar' lagi untuk melihat variansnya.

Mode probabilitas menghitung probabilitas binomial persis tanpa keacakan: jawabannya bersifat deterministik dan cocok dengan nilai buku teks.

Gunakan Simulator untuk mengajarkan hukum bilangan besar; gunakan Probabilitas untuk pekerjaan rumah dan jawaban yang tepat.

Dengan 10 lemparan koin yang adil, penyimpangan dari 50/50 sangatlah besar — pembagian 7-3 terjadi 11.7% dari waktu. Dengan 1,000 lemparan, gaya 7-3 (700 kepala) hampir tidak mungkin terjadi (P ≈ 10^-38).

Rentetan adalah hal yang umum: dalam 100 lemparan yang adil, rentetan kepala terpanjang rata-rata sekitar 7.

Untuk mendeteksi koin yang bias, jalankan setidaknya 1,000 lemparan dan bandingkan dengan standar deviasi yang diharapkan dari √(n × p × (1-p)). Hasil yang lebih dari 3 SD dari rata-rata sangat menyarankan adanya bias.

Kalkulator lemparan koin memodelkan setiap lemparan sebagai uji coba Bernoulli independen: satu peristiwa dengan dua hasil, kepala dengan probabilitas p dan ekor dengan probabilitas 1 - p.

Dalam mode simulator, kalkulator ini menarik nomor pseudo-acak untuk setiap lemparan dan menghitungnya sebagai kepala ketika hasil undian berada di bawah p, lalu menghitung jumlah kepala dan ekor yang diamati. Dalam mode probabilitas, kalkulator ini mengevaluasi distribusi binomial, yang memberikan peluang tepat k kepala dalam n lemparan sebagai C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).

Wolfram MathWorld menggambarkan hubungan Bernoulli-ke-binomeal ini sebagai fondasi probabilitas diskrit. Oleh karena itu, kalkulator ini memisahkan pengambilan sampel nyata dari matematika eksak, sehingga Anda dapat membandingkan hasil yang diamati dengan ekspektasi teoretis.

Pada satu lemparan koin yang adil, peluang kepala adalah 50% dan peluang ekor adalah 50%, peluang 1-banding-1 yang seimbang. Ini adalah sifat penentu dari uji coba Bernoulli yang adil, di mana kedua hasil memiliki kemungkinan yang sama dan saling eksklusif.

Setiap lemparan juga bersifat independen, artinya kepala sebelumnya tidak mengubah peluang lemparan berikutnya.

Menurut studi Stanford oleh Diaconis, Holmes dan Montgomery, koin yang dilempar secara fisik memiliki sedikit bias ke arah sisi yang mulai menghadap ke atas, sekitar 0.51 daripada 0.50. Untuk hampir semua tujuan praktis atau edukasi, memperlakukan satu lemparan sebagai 50/50 yang bersih adalah akurat.

Untuk menghitung probabilitas tepat N kepala dalam M lemparan, gunakan rumus binomial P(X = N) = C(M, N) × p^N × (1-p)^(M-N).

Pertama-tama temukan koefisien binomial C(M, N) = M! / (N! × (M-N)!), yang menghitung urutan berbeda dari N kepala di antara M lemparan. Kemudian kalikan dengan p dipangkatkan N dan (1-p) dipangkatkan ke sisa lemparan.

Untuk koin adil yang dilempar 10 kali, tepat 5 kepala adalah C(10, 5) × 0.5^10 = 252 / 1024 ≈ 24.61%. Wolfram MathWorld memperlakukan ini sebagai contoh binomial kanonik. Mode probabilitas kalkulator melakukan penghitungan faktorial ini secara tepat, menghindari kesalahan pembulatan yang umum terjadi pada pekerjaan manual.

Peluang kumulatif menjawab pertanyaan seperti 'minimal N angka' atau 'maksimal N angka' dengan menjumlahkan beberapa suku binomial eksak alih-alih melaporkan satu nilai tunggal.

Peluang maksimal N angka menambahkan P(X = 0) hingga P(X = N), sedangkan minimal N angka menambahkan P(X = N) hingga P(X = M). Jumlah kumulatif ini membentuk fungsi distribusi kumulatif dari distribusi binomial, yang digunakan oleh Wolfram MathWorld dan teks statistik standar untuk menurunkan peluang ekor.

Sebagai contoh, minimal 60 angka dalam 100 lemparan seimbang adalah sekitar 2,8%, karena 60 berada dua standar deviasi di atas rata-rata 50. Kalkulator ini menghitung ketiga tampilan — persis, maksimal, dan minimal — sehingga Anda dapat merumuskan pertanyaan dengan cara apa pun.

Hukum bilangan besar menyatakan bahwa seiring bertambahnya jumlah lemparan, proporsi angka yang diamati akan mendekati peluang sebenarnya, biasanya 50% untuk koin yang adil.

Hal ini tidak menjanjikan bahwa angka dan gambar akan seimbang dalam jangka pendek; rangkaian 10 lemparan bisa saja menghasilkan 7-3, tetapi rangkaian 10.000 lemparan hampir selalu berada dalam kisaran sekitar satu persen dari 50%. Encyclopaedia Britannica mendefinisikan ini sebagai teorema dasar probabilitas, yang berbeda dari 'kekeliruan berjudi' (gambler's fallacy) bahwa hasil tertentu pasti akan muncul.

Mode simulator membuat efek ini terlihat: lempar koin beberapa puluh kali untuk melihat ayunan liar, lalu lempar ribuan kali untuk menyaksikan persentasenya stabil.

Sebuah kalkulator lempar koin memiliki beberapa tujuan praktis selain untuk menyelesaikan perselisihan santai.

• Para guru menggunakan mode simulator untuk mendemonstrasikan hukum bilangan besar, varians sampel, dan bentuk distribusi binomial tanpa koin fisik.
• Para siswa menggunakan mode peluang untuk memeriksa jawaban pekerjaan rumah dengan nilai eksak yang bebas gangguan.
• Para peneliti dan analis meminjam matematika binomial yang sama untuk intuisi uji A/B, karena pembagian 50/50 adalah dasar hipotesis nol dalam banyak eksperimen.
• Perancang game dan penghobi menggunakannya untuk pengacakan yang adil atau untuk memodelkan koin curang.

Karena setiap lemparan bersifat independen, alat ini juga merupakan pengantar yang bersih untuk pemikiran Monte Carlo, di mana uji coba acak berulang mendekati peluang teoretis.

Penggeser bias mengatur peluang angka p dari 0 hingga 1, memungkinkan Anda mensimulasikan koin curang alih-alih koin yang adil.

Nilai 0,6 menghasilkan angka sekitar 60% dari waktu rata-rata, sedangkan 0,4 mendukung gambar; titik akhir 0 dan 1 memaksa hasil selalu gambar atau selalu angka. Baik mode simulator maupun peluang menghargai nilai ini, sehingga rumus binomial menggunakan p pilihan Anda dalam P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).

Koin fisik nyata jarang menunjukkan bias lebih dari sekitar 0,51, seperti yang didokumentasikan oleh studi Stanford Diaconis, sehingga nilai p yang besar paling baik diperlakukan sebagai skenario pengajaran atau andaikata alih-alih model koin biasa.

Rentetan panjang terasa mencurigakan tetapi merupakan fitur normal dari pelemparan acak, bukan bukti koin yang dicurangi.

Dalam urutan lemparan yang adil, rentetan terpanjang yang diharapkan tumbuh kira-kira sebanding dengan logaritma basis-2 dari jumlah lemparan, jadi dalam 100 lemparan, rentetan terpanjang dari satu sisi rata-rata sekitar enam atau tujuh kali berturut-turut. Ini berarti rentetan multi-lemparan sering muncul di sepanjang sesi, dan memperlakukannya sebagai sinyal untuk memasang taruhan pada sisi sebaliknya adalah kekeliruan berjudi yang diperingatkan oleh Encyclopaedia Britannica.

Karena setiap lemparan bersifat independen, rentetan angka tidak pernah meningkatkan peluang lemparan berikutnya menjadi gambar. Untuk membedakan bias yang sebenarnya dari kebetulan, bandingkan total dengan sebaran yang diharapkan selama banyak lemparan alih-alih bereaksi terhadap rentetan pendek.

• Kesalahan yang paling umum adalah kekeliruan berjudi — percaya bahwa setelah beberapa kali muncul angka, kemunculan gambar sudah 'waktunya' terjadi. Setiap lemparan bersifat independen, sehingga peluangnya tetap 50/50 terlepas dari riwayat sebelumnya.
• Kesalahan kedua adalah mengharapkan pembagian 50/50 yang persis dalam sampel kecil; bahkan 10 lemparan hanya menghasilkan tepat 5 angka sekitar 24,6% dari waktu.
• Kesalahan ketiga adalah mencampuradukkan 'persis N angka' dengan 'minimal N angka', yang merupakan jumlah kumulatif yang sangat berbeda.
• Orang-orang juga terlalu menganggap rentetan pendek sebagai bukti koin curang, padahal rentetan memang wajar terjadi.
• Terakhir, menggunakan sampel kecil untuk menilai keadilan tidak dapat diandalkan: Encyclopaedia Britannica mencatat bahwa hanya jumlah uji coba yang besar yang mengungkap peluang sebenarnya, jadi lakukan banyak lemparan sebelum menyimpulkan koin itu berbias.