Kalkulator Determinan

Untuk matriks 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc. Untuk matriks 3×3, aturan Sarrus atau ekspansi kofaktor menghasilkan: det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) untuk matriks [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

Untuk matriks yang lebih besar, ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom mana pun dapat digunakan: det(A) = Σ(-1)^(i+j) × a_ij × M_ij, dengan M_ij adalah minor (determinan submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris i dan kolom j).

Beban komputasi meningkat secara faktorial seiring ukuran matriks jika menggunakan ekspansi kofaktor — O(n!) — sehingga tidak praktis untuk matriks berukuran besar. Dekomposisi LU menghitung determinan dalam O(n³) dengan menyatakan A = LU dan menggunakan det(A) = det(L) × det(U) = hasil kali elemen-elemen diagonal.

Beberapa sifat memungkinkan jalan pintas perhitungan:

• Determinan matriks segitiga (atas atau bawah) sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonalnya.
• Menukar dua baris akan membalikkan tanda determinan.
• Mengalikan satu baris dengan skalar k akan mengalikan nilai determinan dengan k.
• Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain tidak mengubah determinan — ini adalah dasar dari eliminasi Gauss untuk perhitungan yang efisien.
• Determinan dari perkalian matriks sama dengan perkalian determinan masing-masing matriks: det(AB) = det(A) × det(B).
• Untuk transpos matriks: det(A^T) = det(A).
• Matriks invers memiliki det(A^(-1)) = 1/det(A).

Sifat-sifat ini memungkinkan jalan pintas dalam perhitungan manual: ubah matriks menjadi bentuk segitiga atas menggunakan operasi baris, perhatikan perubahan tanda akibat pertukaran baris, lalu kalikan elemen-elemen diagonalnya.

Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)), determinan juga memiliki berbagai penerapan geometris.

Dalam 2D, nilai mutlak determinan dari matriks 2×2 yang dibentuk oleh dua vektor menghasilkan luas jajaran genjang yang dibentuk keduanya. Dalam 3D, determinan dari matriks 3×3 yang dibentuk oleh tiga vektor menghasilkan volume paralelepipedum. Perkalian silang dapat dihitung menggunakan determinan: a×b = det([[i,j,k],[a1,a2,a3],[b1,b2,b3]]).

Dalam kalkulus, determinan Jacobian mengukur bagaimana transformasi koordinat menskalakan luas/volume infinitesimal — sangat penting untuk substitusi variabel pada integral lipat.

Nilai eigen memenuhi persamaan det(A - λI) = 0, yaitu polinomial karakteristik, yang menghubungkan determinan dengan analisis spektral dan teori stabilitas dalam persamaan diferensial.

Nilai determinan adalah bilangan skalar tunggal yang dihitung dari elemen-elemen matriks persegi yang menunjukkan apakah matriks tersebut dapat dibalik dan bagaimana matriks tersebut menskalakan ruang.

Seperti yang dijelaskan oleh Wolfram MathWorld, determinan dari matriks n×n A, yang ditulis sebagai det(A) atau |A|, bernilai bukan nol tepat ketika matriks tersebut memiliki invers dan baris-barisnya saling bebas linear.

Secara geometris, nilai mutlak determinan sama dengan faktor peregangan luas dalam dua dimensi atau peregangan volume dalam tiga dimensi akibat transformasi linear tersebut. Determinan negatif juga menandakan bahwa transformasi tersebut membalik orientasi.

Determinan hanya berlaku untuk matriks persegi — matriks persegi panjang tidak memiliki determinan.

Untuk mencari determinan 3×3, lakukan ekspansi sepanjang baris pertama menggunakan kofaktor: kalikan setiap elemen teratas dengan minor 2×2 yang tersisa setelah menghapus baris dan kolomnya, dengan tanda yang berselang-seling +, −, +.

Sebagai contoh, ambil matriks [[2,1,3],[0,-1,2],[1,4,-1]]. Tiga minornya adalah [[-1,2],[4,-1]] = (-1)(-1)−(2)(4) = -7, [[0,2],[1,-1]] = (0)(-1)−(2)(1) = -2, dan [[0,-1],[1,4]] = (0)(4)−(-1)(1) = 1.

Penggabungan dengan tandanya menghasilkan 2(-7) − 1(-2) + 3(1) = -14 + 2 + 3 = -9. Khan Academy mendemonstrasikan metode kofaktor ini secara interaktif untuk matriks 3×3 apa pun.

Untuk matriks 2×2 [[a,b],[c,d]], determinannya adalah ad − bc: kalikan diagonal utama, lalu kurangi dengan hasil kali diagonal samping.

Sebagai contoh, determinan dari [[3,8],[4,6]] adalah (3)(6) − (8)(4) = 18 − 32 = -14. Aturan 2×2 yang sama menghasilkan identitas Cassini, det([[F₍n+1₎,F₍n₎],[F₍n₎,F₍n-1₎]]) = (−1)ⁿ untuk bilangan Fibonacci berurutan yang dapat dihitung dengan kalkulator fibonacci. Rumus ini, yang dicatat oleh Wolfram MathWorld, merupakan dasar bagi setiap perhitungan determinan yang lebih besar karena ekspansi kofaktor secara rekursif mereduksi matriks n×n menjadi jumlah dari minor-minor 2×2.

Determinan 2×2 juga bernilai sama dengan luas bertanda dari jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor kolom, yang menjelaskan mengapa nilai nol berarti vektor-vektor tersebut kolinear dan matriks bersifat singular.

Determinan yang bernilai tepat nol berarti matriks tersebut singular: tidak memiliki invers, baris dan kolomnya bergantung secara linear, serta memampatkan ruang ke dimensi yang lebih rendah.

Menurut Encyclopaedia Britannica, sistem linear Ax = b dengan matriks koefisien singular tidak memiliki solusi atau memiliki tak hingga banyak solusi, dan tidak akan pernah memiliki solusi tunggal. Determinan yang bukan nol menandakan matriks nonsingular (dapat dibalik/invertibel), yang menjamin tepat satu solusi unik.

Karena determinan menyatakan faktor skala luas atau volume, nilai nol merujuk pada transformasi yang meratakan ruang — misalnya, memetakan wilayah 3D ke sebuah bidang datar, sehingga volumenya menjadi nol dan menghilangkan sifat keterbalikannya.

Determinan berukuran besar paling baik dihitung dengan mereduksi baris matriks menjadi bentuk segitiga atas, bukan melalui ekspansi kofaktor murni. Sebagaimana dicatat oleh Wolfram MathWorld, determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonalnya, sehingga eliminasi Gauss memungkinkan Anda menghitung determinan 4×4 atau 5×5 dalam sekitar n³ operasi, jauh lebih hemat dibanding n! kofaktor yang dibutuhkan ekspansi langsung.

Perhatikan dua perubahan ini saat melakukan reduksi:

• menukar dua baris akan mengalikan determinan dengan −1
• mengalikan suatu baris dengan skalar k akan mengalikan determinan dengan k

Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain tidak mengubah determinan. Kalkulator ini menangani seluruh pencatatan operasi tersebut secara otomatis untuk matriks hingga ukuran 5×5.

Determinan diterapkan jauh melampaui sekadar buku teks.

Dalam geometri, nilai mutlak dari determinan 2×2 menghasilkan luas jajaran genjang, dan determinan 3×3 menghasilkan volume paralelipipedum yang dibentuk oleh tiga vektor. Aturan Cramer menyelesaikan sistem persamaan linear kecil menggunakan perbandingan determinan, dan perkalian silang dua vektor 3D dinyatakan sebagai determinan simbolik 3×3.

Dalam kalkulus multivariabel, determinan Jacobian — yang diuraikan dalam NIST Digital Library of Mathematical Functions — mengukur bagaimana perubahan variabel mengubah skala integral.

Para insinyur memanfaatkan persamaan karakteristik det(A − λI) = 0 untuk menemukan nilai eigen (eigenvalue) yang menentukan mode getaran, stabilitas struktur, dan dinamika sistem kendali.

Waspadai kekeliruan yang sering terjadi berikut:

• Kesalahan paling umum adalah melupakan tanda kofaktor yang berselang-seling +, −, +, −; tanda untuk posisi (i, j) adalah (−1)^(i+j), bukan selalu bernilai positif.
• Kesalahan kedua adalah menerapkan jalan pintas diagonal Sarrus pada matriks 4×4 atau yang lebih besar — metode Sarrus hanya berlaku untuk matriks 3×3.
• Pengguna juga kerap melupakan tanda minus setelah pertukaran baris, padahal setiap pertukaran baris membalik tanda determinan.
• Jebakan lainnya adalah memperlakukan determinan seperti operasi matriks: det(A + B) tidak sama dengan det(A) + det(B), meski det(AB) memang sama dengan det(A)·det(B).
• Terakhir, ingatlah bahwa determinan hanya ada untuk matriks persegi; matriks 2×3 tidak memiliki determinan.

Periksa kembali setiap minor 2×2 secara saksama sebelum menggabungkannya.

Sejumlah sifat mendasar, yang semuanya dapat dibuktikan dari definisi kofaktor, membuat determinan lebih mudah diprediksi.

• Determinan matriks identitas adalah 1, dan matriks apa pun dengan satu baris atau satu kolom bernilai nol seluruhnya memiliki determinan 0.
• Dua baris yang identik juga membuat nilai determinan menjadi nol karena baris-baris tersebut bergantung secara linear.
• Melakukan transposisi pada matriks tidak mengubah nilai determinannya, sehingga det(Aᵀ) = det(A).
• Determinan dari hasil kali matriks dapat difaktorkan menjadi det(AB) = det(A)·det(B), yang mengartikan det(A⁻¹) = 1/det(A) asalkan invers matriks tersebut ada.
• Mengalikan seluruh matriks n×n dengan skalar k akan melipatgandakan determinan sebesar kⁿ, bukan k.

Khan Academy menyediakan pembuktian lengkap untuk setiap sifat ini.