Kalkulator Faktorial

Faktorial dari n (ditulis sebagai n!) adalah hasil kali dari semua bilangan bulat positif hingga n. Sebagai contoh, 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Faktorial merupakan hal yang fundamental dalam perhitungan dan probabilitas.

Permutasi menghitung susunan yang urutannya penting (nPr). Kombinasi menghitung pilihan yang urutannya tidak penting (nCr).

Gunakan permutasi untuk peringkat, kombinasi untuk kelompok.

Untuk menghitung faktorial n!, kalikan setiap bilangan bulat positif dari 1 hingga n bersama-sama. Sebagai contoh, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, dan 6! = 6 × 120 = 720.

Metode manual tercepat menggunakan aturan rekursif n! = n × (n−1)!, sehingga setiap faktorial baru hanyalah hasil sebelumnya dikalikan bilangan bulat berikutnya. Kalkulator ini menerapkan rekursi tersebut secara internal, lalu menampilkan setiap perkalian sebagai sebuah langkah.

Sebagaimana dicatat oleh Wolfram MathWorld, faktorial didefinisikan untuk semua bilangan bulat non-negatif, dan 0! ditetapkan tetap pada angka 1 agar rekursi tetap konsisten.

Rumus faktorial adalah n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1, dengan kasus dasar 0! = 1. Secara ekuivalen, faktorial memenuhi perulangan n! = n × (n−1)!, yang memungkinkan Anda menyusun setiap nilai dari nilai sebelumnya.

NIST Digital Library of Mathematical Functions memperluas gagasan ini melampaui bilangan bulat melalui fungsi gamma, di mana n! = Γ(n+1).

Untuk kombinatorika, Anda juga menggunakan dua rumus turunan:

• permutasi nPr = n!/(n−r)!
• kombinasi nCr = n!/[r!(n−r)!]

Ketiga ekspresi ini mencakup sebagian besar masalah penghitungan yang akan Anda temui dalam probabilitas dan matematika diskret.

0! bernilai sama dengan 1 berdasarkan definisi, dan itu bukanlah pilihan yang sembarangan. Hanya ada tepat satu cara untuk menyusun sekumpulan objek kosong — yaitu tidak melakukan apa pun — sehingga jumlah susunannya adalah satu.

Menetapkan 0! = 1 juga menjaga aturan rekursi n! = n × (n−1)! tetap valid, karena 1! = 1 × 0! hanya akan berfungsi jika 0! = 1. Selain itu, hal ini membuat rumus seperti nCr = n!/[r!(n−r)!] memberikan jawaban yang benar ketika r = 0 atau r = n.

Khan Academy dan Encyclopaedia Britannica sama-sama menyajikan 0! = 1 sebagai konvensi standar yang mendasari kombinatorika dan teorema binomial.

Faktorial bertumbuh lebih cepat daripada fungsi eksponensial apa pun, itulah sebabnya penghitungan manual menjadi tidak praktis dengan cepat. Sebagai ilustrasi:

• 5! = 120
• 10! = 3.628.800
• 20! = 2.432.902.008.176.640.000 — sudah lebih dari 2,4 kuintiliun

Menginjak 170!, nilainya kira-kira 7,26 × 10^306, mendekati batas titik mengambang presisi ganda standar, yang menjadi alasan banyak alat membatasi input pada angka 170.

Pertumbuhan super-eksponensial ini (secara formal n! bertumbuh seperti aproksimasi Stirling √(2πn)(n/e)^n, yang dijelaskan dalam NIST DLMF) menjelaskan mengapa faktorial muncul di penyebut deret Taylor, tempat mereka menyusutkan suku-suku cukup cepat agar deret tersebut konvergen.

Faktorial ganda n!! mengalikan setiap bilangan bulat berselang-seling turun dari n, berhenti pada 1 (untuk n ganjil) atau 2 (untuk n genap). Untuk bilangan ganjil, 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105; untuk bilangan genap, 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384.

Ini tidak sama dengan menerapkan faktorial dua kali — (n!)! akan menjadi jauh lebih besar sebagai perbandingan. Faktorial ganda muncul dalam integral pangkat sinus dan kosinus serta dalam rumus untuk volume bola berdimensi tinggi.

Wolfram MathWorld mengkatalogkan faktorial ganda sebagai fungsinya sendiri, dan OEIS mencantumkan faktorial ganda ganjil 1, 3, 15, 105, 945 sebagai barisan A001147.

Subfaktorial !n menghitung derangement — permutasi yang tidak ada satupun elemennya tetap berada di posisi aslinya. Untuk tiga item {1, 2, 3}, hanya {2, 3, 1} dan {3, 1, 2} yang memenuhi syarat, sehingga !3 = 2; begitu pula !4 = 9 dan !5 = 44.

Subfaktorial mengikuti rumus !n = n! × Σ (−1)^k / k! untuk k = 0 hingga n, dan ini sangat erat kaitannya dengan teka-teki probabilitas seperti masalah "penitipan topi" (hat-check), di mana peluang tidak seorang pun mendapatkan topi mereka sendiri mendekati 1/e ≈ 0,3679 seiring bertambahnya nilai n.

OEIS mencatat angka-angka derangement 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265 sebagai barisan A000166.

Faktorial menjadi landasan bagi setiap masalah yang menghitung susunan atau pilihan.

• Dalam probabilitas, jumlah tangan poker 5 kartu yang unik dari dek berisi 52 kartu adalah kombinasi 52C5 = 2.598.960.
• Dalam penjadwalan dan logistik, n! memberikan jumlah urutan untuk n tugas atau pemberhentian.
• Dalam kalkulus, faktorial berada di penyebut deret Taylor dan Maclaurin, mengendalikan seberapa cepat suku-suku menyusut sehingga fungsi seperti e^x dan sin x dapat diperkirakan.

Mereka juga muncul dalam teorema binomial, distribusi statistik seperti Poisson dan binomial, serta kriptografi. Khan Academy menggunakan hitungan kombinatorial ini sebagai fondasi kurikulum probabilitasnya.

Beberapa kesalahan sering menjerumuskan orang saat bekerja dengan faktorial:

• Kesalahan yang paling sering terjadi adalah lupa bahwa 0! = 1, yang merusak rumus kombinasi dan permutasi pada batas-batasnya.
• Kesalahan lainnya adalah mencampuradukkan faktorial ganda n!! (setiap bilangan bulat berselang-seling) dengan menerapkan faktorial dua kali — 5!! = 15, tetapi (5!)! jauh lebih besar secara astronomis.
• Siswa juga sering keliru membedakan permutasi dan kombinasi: gunakan nPr ketika urutan penting dan nCr ketika urutan tidak penting, sehingga 5P2 = 20 tetapi 5C2 = 10.
• Waspadai input negatif atau bukan bilangan bulat, karena faktorial dasar tidak terdefinisikan di sana (hanya fungsi gamma yang memperluasnya).
• Terakhir, ingatlah bahwa faktorial meluap (overflow) dengan cepat — di atas sekitar 170!, sebagian besar kalkulator kehilangan presisi, sebagaimana dijelaskan secara jelas dalam analisis pertumbuhan Wolfram MathWorld.

Baik permutasi maupun kombinasi dibangun secara langsung dari faktorial.

Sebuah permutasi nPr = n!/(n−r)! menghitung susunan berurutan, sehingga memilih dan mengurutkan 2 dari 5 item menghasilkan 5P2 = 5!/3! = 120/6 = 20.

Sebuah kombinasi nCr = n!/[r!(n−r)!] menghitung pilihan yang tidak berurutan, sehingga 5C2 = 5!/(2!·3!) = 120/(2×6) = 10 — tepat separuh dari 5P2 karena setiap pasangan dapat diurutkan dengan dua cara. Kombinasi juga disebut koefisien binomial dan menghasilkan segitiga Pascal. Karena nC2 = n(n−1)/2 bersifat kuadratik terhadap n, membalikkan pertanyaan — mencari berapa banyak item yang menghasilkan jumlah pasangan tertentu, seperti dalam masalah jabat tangan klasik — bermuara pada pemecah persamaan kuadrat.

Encyclopaedia Britannica mendeskripsikan hal ini sebagai operasi inti dari kombinatorika, dan kalkulator ini menghitung nPr dan nCr dengan penjabaran langkah demi langkah yang lengkap.