Kalkulator Fibonacci

Dimulai dengan 1, 1, setiap angka berikutnya adalah jumlah dari dua angka sebelumnya.

Ini menciptakan urutan yang terkenal: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Seiring bertambah besarnya angka Fibonacci, rasio antara suku-suku yang berurutan mendekati rasio emas φ ≈ 1.618.

Rasio ini muncul di seluruh alam, seni, dan arsitektur.

Angka Fibonacci adalah suku apa pun dalam urutan di mana setiap nilai sama dengan jumlah dari dua nilai sebelumnya, dimulai dari 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Aturannya adalah F(n) = F(n-1) + F(n-2), dengan dua nilai awal F(1) = F(2) = 1.

Dinamai dari matematikawan Italia abad ke-13 Leonardo dari Pisa, yang dikenal sebagai Fibonacci, urutan ini dipopulerkan dalam bukunya tahun 1202 Liber Abaci melalui teka-teki populasi kelinci.

Seperti yang dicatat oleh Wolfram MathWorld, ini adalah salah satu urutan bilangan bulat yang paling banyak dipelajari dalam matematika, dikatalogkan sebagai urutan A000045 di OEIS.

Untuk mencari angka Fibonacci ke-n secara langsung tanpa mencatat setiap suku sebelumnya, gunakan rumus Binet: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, di mana φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.6180339887 adalah rasio emas dan ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0.6180339887.

Karena |ψ| kurang dari 1, ψⁿ menyusut mendekati nol, jadi F(n) hanyalah bilangan bulat terdekat dari φⁿ/√5. Sebagai contoh, φ¹⁰/√5 ≈ 55.004, yang dibulatkan menjadi F(10) = 55.

Digital Library of Mathematical Functions (DLMF) milik NIST mendokumentasikan bentuk tertutup ini beserta identitas angka Lucas yang terkait.

Angka Fibonacci ke-10 adalah 55 bila urutannya diindeks mulai dari F(1) = 1. Menghitung suku-sukunya secara berurutan menghasilkan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, sehingga entri kesepuluh adalah 55.

Pengindeksan itu penting: beberapa referensi, termasuk bagian dari daftar OEIS, dimulai dari F(0) = 0, yang menggeser setiap posisi sebanyak satu dan akan membuat nilai kesepuluh yang terdaftar menjadi 34.

Kalkulator ini menggunakan konvensi berbasis 1 yang umum F(1) = F(2) = 1. Selalu pastikan apakah suatu sumber menghitung dari F(0) atau F(1) sebelum membandingkan jawaban.

Bilangan bulat positif N adalah angka Fibonacci jika dan hanya jika 5N² + 4 atau 5N² − 4 adalah kuadrat sempurna. Tes ini berasal dari struktur aljabar di balik rumus Binet dan memungkinkan Anda memverifikasi keanggotaan tanpa menghasilkan seluruh urutan.

Ambil N = 13: 5 × 13² − 4 = 5 × 169 − 4 = 841 = 29², sebuah kuadrat sempurna, sehingga 13 adalah angka Fibonacci.

Sebaliknya, N = 20 gagal dalam kedua pemeriksaan (5 × 400 + 4 = 2004 dan 5 × 400 − 4 = 1996 bukan kuadrat), jadi 20 bukan angka Fibonacci.

Khan Academy mengulas penalaran kuadrat sempurna yang mendasari identitas ini.

Jumlah dari n angka Fibonacci pertama sama dengan F(n+2) − 1, sebuah identitas rapi yang menghindari penambahan suku satu per satu. Untuk 10 angka pertama, 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, yang cocok dengan F(12) − 1 = 144 − 1 = 143.

有两个 terakit juga patut diketahui:

• jumlah suku berindeks ganjil n pertama sama dengan F(2n)
• jumlah kuadrat F(1)² + … + F(n)² sama dengan F(n) × F(n+1)

Wolfram MathWorld mencantumkan rumus penjumlahan ini di antara hasil bentuk tertutup klasik dari barisan tersebut.

Rasio angka Fibonacci berturut-turut berkonvergensi ke rasio emas φ ≈ 1.6180339887 saat suku-sukunya bertambah. Rasio awal berosilasi di sekitar φ: 55/34 ≈ 1.6176 dan 89/55 ≈ 1.6182, semakin ketat pada setiap langkah.

Hal ini terjadi karena rumus Binet menjadikan φⁿ sebagai suku yang dominan. Menurut Encyclopaedia Britannica, φ memenuhi persamaan φ² = φ + 1, sehingga φ ≈ 1.618 dan kebalikannya 1/φ ≈ 0.618 berselisih persis 1.

Konstanta yang sama muncul pada diagonal segi lima dan dalam spiral logaritmik, itulah sebabnya rasio Fibonacci berulang di seluruh geometri dan desain.

Angka Fibonacci muncul dalam lebih banyak hal daripada sekadar buku teks.

• Di alam, kepala biji bunga matahari, sisik buah pinus, dan cangkang nautilus tersusun di sepanjang spiral terkait Fibonacci yang dikemas secara efisien, sebuah fenomena yang didokumentasikan oleh Encyclopaedia Britannica.
• Dalam ilmu komputer, mereka mematok tolok ukur rekursi dan pemrograman dinamis — dengan cara yang sama seperti kalkulator jam tambah menit atau kalkulator durasi waktu melakukan hal serupa untuk definisi rekursif klasik lainnya — dan muncul dalam tumpukan Fibonacci serta algoritma pencarian.
• Dalam keuangan, para trader menggunakan level retracement Fibonacci (23.6%, 38.2%, 61.8%) yang diturunkan dari rasio barisan tersebut.
• Tim perangkat lunak Agile bahkan menggunakan skala gaya Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13) untuk estimasi poin cerita karena celah yang semakin melebar mencerminkan ketidakpastian yang berkembang pada tugas-tugas yang lebih besar.

Beberapa kesalahan umum yang sering menjebak orang:

• Kesalahan yang paling sering terjadi adalah kebingungan indeks: mencampur konvensi F(0) = 0 dengan konvensi F(1) = 1 menggeser setiap suku sebanyak satu posisi dan menghasilkan jawaban yang meleset satu langkah.
• Perangkap kedua adalah mempercayai rumus Binet untuk n yang sangat besar pada kalkulator standar, di mana pembulatan titik mengambang dapat menghasilkan bilangan bulat terdekat yang salah; penambahan iteratif atau aritmatika bilangan bulat besar tetap akurat.
• Yang lain secara keliru berasumsi bahwa setiap angka besar adalah Fibonacci tanpa menerapkan tes kuadrat sempurna 5N² ± 4, atau lupa bahwa 1 muncul dua kali di awal.
• Terakhir, ingat bahwa tidak ada indeks hitungan negatif yang menghasilkan suku di bawah F(1) dalam alat seperti kalkulator waktu ini.

Angka Fibonacci milik keluarga rekurensi orde kedua yang lebih luas yang berbagi aturan suku = sebelumnya + satu-sebelum-sebelumnya tetapi menggunakan nilai awal yang berbeda.

Angka Lucas dimulai dari 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18 dan dikatalogkan sebagai barisan OEIS A000032; mereka memenuhi L(n) = φⁿ + ψⁿ dan sangat terkait erat dengan Fibonacci melalui identitas seperti F(2n) = F(n) × L(n). Angka Pell (1, 2, 5, 12, 29) mengikuti pengali yang berbeda.

Mempelajari kerabat-kerabat ini, seperti yang dirinci oleh Wolfram MathWorld, memperjelas mengapa rasio emas mengatur tingkat pertumbuhan seluruh keluarga ini.