Kalkulator KPK & FPB

FPB adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi semua angka yang diberikan tanpa sisa.

Gunakan algoritma Euklides untuk perhitungan yang efisien: lakukan pembagian berulang dan ambil sisa hingga mencapai 0.

KPK adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh semua angka yang diberikan.

Hitung menggunakan faktorisasi prima (ambil pangkat tertinggi) atau rumus: KPK = (a × b) / FPB.

FPB (faktor persekutuan terbesar) adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap angka yang diberikan secara tepat, sedangkan KPK (kelipatan persekutuan terkecil) adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh setiap angka yang diberikan.

Keduanya bekerja dengan arah yang berlawanan: FPB melihat ke bawah untuk mencari faktor bersama terbesar, sedangkan KPK melihat ke atas untuk mencari kelipatan bersama terkecil. Untuk 12 dan 18, FPB-nya adalah 6 dan KPK-nya adalah 36.

Menurut Wolfram MathWorld, FPB juga ditulis gcd(a, b) atau (a, b), dan istilah "highest common factor" (HCF) adalah sinonim umum dalam bahasa Inggris untuk besaran yang sama.

Algoritma Euclidean mencari FPB dengan cara mengganti angka yang lebih besar dengan sisa pembagiannya secara berulang oleh angka yang lebih kecil, lalu berhenti ketika sisanya mencapai nol; sisa non-nol terakhir adalah FPB-nya.

Untuk 48 dan 18: 48 = 2×18 + 12, lalu 18 = 1×12 + 6, lalu 12 = 2×6 + 0, jadi gcd(48, 18) = 6.

Encyclopaedia Britannica mencatat bahwa metode ini berasal dari Elemen Euclid (sekitar 300 SM), menjadikannya salah satu algoritma tertua yang masih digunakan sehari-hari. Efisiensinya adalah alasan mengapa pustaka perangkat lunak menggunakannya alih-alih memfaktorkan angka yang besar.

Untuk mencari KPK dengan faktorisasi prima, faktorkan setiap angka menjadi bilangan prima, lalu kalikan setiap bilangan prima dengan pangkat tertingginya yang muncul dalam faktorisasi mana pun.

Untuk 12 = 2²×3 dan 18 = 2×3², ambil 2² dan 3², yang menghasilkan KPK = 4×9 = 36. Untuk FPB, ambil setiap bilangan prima bersama dengan pangkat terendahnya: 2¹×3¹ = 6.

Khan Academy mengajarkan perbandingan berdampingan ini karena membuat kontras KPK/FPB menjadi visual. Faktorisasi prima sangat intuitif untuk angka kecil tetapi lebih lambat daripada algoritma Euclidean untuk angka besar, karena pemfaktoran secara komputasi itu sulit.

Untuk setiap dua bilangan bulat positif a dan b, KPK(a, b) × FPB(a, b) = a × b. Identitas ini memungkinkan Anda menghitung satu nilai dari nilai lainnya: KPK(a, b) = (a × b) / FPB(a, b).

Untuk 12 dan 18, FPB adalah 6, jadi KPK = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36, dan memang 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Wolfram MathWorld mendokumentasikan hubungan ini sebagai jembatan standar antara kedua fungsi tersebut. Perhatikan bahwa rumus ini hanya berlaku untuk dua angka; untuk tiga angka atau lebih, Anda menerapkannya secara berpasangan alih-alih berasumsi bahwa hasil kalinya sama dengan KPK × FPB.

Untuk tiga angka atau lebih, terapkan FPB atau KPK secara berpasangan: hitung hasil dari dua angka pertama, lalu gabungkan hasilnya dengan angka berikutnya, dan seterusnya.

Sebagai contoh, gcd(12, 18, 24) = gcd(gcd(12, 18), 24) = gcd(6, 24) = 6, dan lcm(4, 6, 8) = lcm(lcm(4, 6), 8) = lcm(12, 8) = 24. Kedua operasi bersifat asosiatif, sehingga urutan pengelompokan tidak mengubah jawabannya.

Kalkulator ini menangani kelompok angka secara otomatis, tetapi jalan pintas KPK×FPB = hasil kali tidak berlaku untuk tiga masukan atau lebih, sebuah poin yang ditekankan oleh Wolfram MathWorld.

Dua angka dikatakan saling prima (prima relatif) ketika FPB-nya sama dengan 1, yang berarti keduanya tidak memiliki faktor prima bersama meskipun tidak ada satu pun dari angka tersebut yang berupa bilangan prima.

Sebagai contoh, gcd(8, 15) = 1: 8 = 2³ dan 15 = 3×5 tidak memiliki prima yang sama, sehingga keduanya saling prima. Ketika angka-angka saling prima, KPK-nya sama dengan hasil kali keduanya; lcm(8, 15) = 120 = 8×15.

Wolfram MathWorld mencatat bahwa sifat saling prima mendasari aritmetika modular dan kriptografi RSA, di mana pembuatan kunci memerlukan eksponen yang saling prima dengan totien Euler. Sifat saling prima adalah properti dari suatu pasangan, bukan dari angka individu.

KPK dan FPB muncul jauh melampaui buku pelajaran.

FPB menyederhanakan pecahan ke bentuk paling sederhana (12/18 disederhanakan menjadi 2/3 setelah dibagi 6) dan mencari kelompok berukuran sama yang terbesar saat mendistribusikan barang — dan setelah kelompok tersebut tetap, kalkulator faktorial menghitung cara untuk menyusun barang di dalam masing-masing kelompok.

KPK menemukan kapan peristiwa berulang terjadi bersamaan, seperti dua bus yang berangkat setiap 12 dan 18 menit bertemu kembali setelah 36 menit, dan KPK menghasilkan penyebut bersama untuk menjumlahkan pecahan.

Insinyur menggunakan FPB dalam desain rasio roda gigi dan sabuk pengatur waktu, sementara kriptografer mengandalkan pemeriksaan sifat saling prima (FPB = 1) selama pengaturan kunci RSA, seperti yang dijelaskan oleh Encyclopaedia Britannica dalam liputannya mengenai aplikasi teori bilangan.

Identitas Bézout menyatakan bahwa untuk bilangan bulat a dan b, terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian rupa sehingga ax + by = gcd(a, b).

Untuk 12 dan 18, FPB-nya adalah 6, dan salah satu solusinya adalah 12×(−1) + 18×(1) = −12 + 18 = 6. Algoritma Euclidean lanjutan menghitung koefisien-koefisien ini secara bersamaan saat menghitung FPB, yang persis seperti cara invers modular ditemukan dalam kriptografi.

Wolfram MathWorld dan NIST Digital Library of Mathematical Functions sama-sama memperlakukan identitas Bézout sebagai hasil landasan dari teori bilangan dasar, karena identitas ini menjamin bahwa kombinasi linear yang sama dengan FPB akan selalu ada.

Beberapa kesalahan umum sering menjebak orang saat menghitung KPK dan FPB:

• Kesalahan yang sering terjadi adalah menukar keduanya: FPB tidak pernah lebih besar daripada masukan terkecil, sementara KPK tidak pernah lebih kecil daripada masukan terbesar, jadi periksalah jawaban Anda terhadap batas tersebut.

• Kesalahan lainnya adalah berasumsi bahwa KPK × FPB = hasil kali berlaku untuk tiga angka atau lebih, padahal tidak.

• Orang-orang juga lupa bahwa FPB dan KPK didefinisikan untuk bilangan bulat positif, bukan pecahan atau desimal, sehingga masukan harus berupa bilangan utuh.

• Terakhir, ketika angka-angka saling prima, ingatlah bahwa FPB adalah 1 (bukan 0), dan KPK sama dengan hasil kali keduanya.

Memverifikasi dengan identitas KPK×FPB = a×b dapat menangkap sebagian besar kesalahan perhitungan dua angka.