Kalkulator Gerak Parabola

Empat persamaan penting (dengan asumsi diluncurkan dari permukaan tanah, tanpa hambatan udara):

• Jangkauan R = v₀²sin(2θ)/g — maksimum pada θ = 45°.
• Ketinggian maksimum H = v₀²sin²(θ)/(2g).
• Waktu tempuh di udara T = 2v₀sin(θ)/g.

Persamaan-persamaan ini menguraikan kecepatan luncur ke dalam komponen: v_x = v₀cos(θ) tetap konstan sepanjang penerbangan; v_y = v₀sin(θ) - gt berkurang hingga nol di titik puncak, lalu bertambah ke arah bawah.

Pada waktu t berapa pun: posisi horizontal x = v₀cos(θ)t, posisi vertikal y = v₀sin(θ)t - ½gt².

Contoh: bola meriam yang ditembakkan pada kecepatan 100 m/s pada sudut 45°: R = 100²×sin(90°)/9.81 = 1.019 m, H = 100²×sin²(45°)/(2×9.81) = 255 m, T = 2×100×sin(45°)/9.81 = 14,4 detik.

Dalam ruang hampa, jangkauan maksimum terjadi pada sudut 45° untuk kecepatan luncur berapa pun. Namun, sudut komplementer (misalnya, 30° dan 60°) menghasilkan jangkauan yang sama — 30° menghasilkan trajektori yang datar dan cepat, sedangkan 60° menghasilkan trajektori yang tinggi dan lambat.

Untuk peluncuran dari ketinggian tertentu (tebing, bukit), sudut optimal bergeser di bawah 45° karena proyektil memiliki jarak vertikal ekstra untuk ditempuh. Dari ketinggian h, sudut optimal ≈ arctan(v₀/√(v₀² + 2gh)), yang mendekati 45° seiring bertambahnya v₀ relatif terhadap h.

Dengan adanya hambatan udara, sudut optimal turun menjadi 30-40° untuk sebagian besar proyektil nyata karena trajektori yang tinggi menghabiskan lebih banyak waktu di ketinggian tempat hambatan udara terakumulasi.

Perhitungan artileri juga harus memperhitungkan:

• angin,
• efek Coriolis (rotasi Bumi),
• serta sifat aerodinamis dari peluru.

Aplikasi olahraga: lemparan bebas bola basket (kecepatan awal ~7 m/s, sudut ~52°, ketinggian rilis ~2.4 m, ring pada 3.05 m, jarak 4.6 m) memiliki rentang sudut dan kecepatan sukses yang sempit. Pukulan golf (kecepatan awal 70 m/s, sudut 10-12° dengan putaran ke belakang) menggunakan efek Magnus (gaya angkat yang diinduksi oleh putaran) untuk mencapai jangkauan 250+ meter — jauh melebihi prediksi ruang hampa pada sudut tersebut.

Hambatan udara (gaya seret Fd = ½ρv²CdA) secara signifikan memengaruhi trajektori: bola baseball yang dipukul pada kecepatan 45 m/s pada sudut 35° menempuh jarak sekitar 120 meter dalam ruang hampa, tetapi hanya 95-100 meter dengan hambatan udara — pengurangan sebesar 20%. Gaya seret meningkat seiring kuadrat kecepatan, sehingga proyektil yang lebih cepat akan terpengaruh secara proporsional lebih besar.

Kecepatan terminal terjadi ketika gaya seret sama dengan gravitasi:

• sekitar 30 m/s untuk bola baseball,
• 55 m/s untuk penerjun payung (posisi melebar),
• dan 90 m/s untuk penerjun payung (posisi kepala di bawah).

Untuk menghitung jangkauan horizontal di atas tanah datar, gunakan R = v₀²·sin(2θ)/g, dengan v₀ adalah kecepatan awal, θ adalah sudut luncur, dan g adalah percepatan gravitasi (9.81 m/s² di Bumi).

• Pertama, kuadratkan kecepatan awal,
• lalu kalikan dengan sinus dari dua kali sudut luncur,
• dan bagi dengan g.

Sebagai contoh, bola yang diluncurkan pada kecepatan 25 m/s pada sudut 30°: R = 25² × sin(60°) / 9.81 = 625 × 0.8660 / 9.81 ≈ 55,2 meter. Istilah sudut ganda inilah yang menjelaskan mengapa sudut 30° dan 60° memberikan jangkauan yang sama.

HyperPhysics (Georgia State University) menurunkan hasil ini dari persamaan gerak horizontal dan vertikal yang independen.

Gerak parabola menggunakan satuan dasar dan turunan SI yang ditentukan oleh BIPM dan NIST.

• Kecepatan (v₀) diukur dalam meter per detik (m/s),
• sudut luncur (θ) dalam derajat atau radian,
• jarak dan ketinggian (R, H) dalam meter (m),
• serta waktu tempuh di udara (T) dalam detik (s).

Percepatan gravitasi g memiliki satuan meter per detik kuadrat (m/s²), dengan nilai standar 9.80665 m/s² menurut NIST.

Menjaga agar setiap besaran berada dalam satuan SI yang konsisten menjamin rumus menghasilkan satuan meter dan detik secara langsung. Jika Anda memasukkan kecepatan dalam km/jam atau kaki, konversikan terlebih dahulu: 1 km/jam = 0,2778 m/s, dan 1 kaki = 0,3048 m, jika tidak, hasilnya akan mengalami inkonsistensi dimensi.

Kecepatan benturan adalah kecepatan total saat proyektil mendarat, yang ditemukan dengan menggabungkan komponen kecepatan horizontal dan vertikal menggunakan teorema Pythagoras: v = √(vₓ² + v_y²).

Komponen horizontal bernilai konstan pada vₓ = v₀·cos(θ), sedangkan komponen vertikal saat mendarat adalah v_y = v₀·sin(θ) − g·t.

Untuk objek yang sekadar dijatuhkan dari ketinggian h (θ = 0, v₀ = 0), kecepatan benturan disederhanakan menjadi v = √(2gh): dijatuhkan dari ketinggian 45 m, v = √(2 × 9.81 × 45) = √882.9 ≈ 29,7 m/s.

Khan Academy menjelaskan bahwa dalam ruang hampa, kecepatan luncur sama dengan kecepatan mendarat ketika ketinggian peluncuran dan pendaratan identik, karena energi bersifat kekal.

Dalam gerak parabola, arah horizontal dan vertikal dianalisis secara terpisah karena gravitasi hanya bekerja secara vertikal.

Kecepatan horizontal vₓ = v₀·cos(θ) bersifat konstan (tidak ada gaya horizontal dalam ruang hampa), sehingga posisi horizontal bertambah secara linier: x = v₀·cos(θ)·t. Secara vertikal, gravitasi menghasilkan percepatan ke bawah yang konstan g, sehingga menghasilkan y = v₀·sin(θ)·t − ½g·t².

Sifat independen ini, yang pertama kali diartikulasikan oleh Galileo dan dijelaskan secara rinci oleh Encyclopaedia Britannica, berarti peluru yang ditembakkan secara horizontal dan peluru yang dijatuhkan dari ketinggian yang sama akan menghantam tanah secara bersamaan.

HyperPhysics memperlakukan kedua komponen tersebut sebagai dua masalah kinematika satu dimensi yang satu-satunya variabel bersama mereka adalah waktu t.

Ketika proyektil diluncurkan dari titik yang ditinggikan, waktu tempuh di udara diperoleh dari penyelesaian persamaan posisi vertikal 0 = h + v₀·sin(θ)·t − ½g·t² dengan rumus kuadrat: t = [v₀·sin(θ) + √((v₀·sin(θ))² + 2gh)] / g. Di sini h adalah ketinggian peluncuran di atas permukaan pendaratan.

Untuk peluncuran dari tingkat tanah (h = 0), ini mereduksi ke rumus standar T = 2·v₀·sin(θ)/g.

Karena nilai diskriminan bertambah seiring dengan h, tambahan ketinggian akan selalu meningkatkan waktu terbang dan jangkauan horizontal. Hanya akar positif yang bermakna secara fisik, karena proyektil mendarat setelah diluncurkan.

Khan Academy mendemonstrasikan pendekatan kuadrat ini untuk masalah peluncuran dari tebing dan atap.

Persamaan proyektil memodelkan banyak aktivitas di dunia nyata.

• Dalam bola basket, lemparan bebas yang dilepaskan pada kecepatan sekitar 7 m/s mendekati sudut 52° mengikuti jalur parabola menuju ring setinggi 3.05 m.
• Dalam balistik dan artileri, penembak menetapkan sudut elevasi menggunakan tabel jangkauan yang diturunkan dari R = v₀²·sin(2θ)/g, lalu mengoreksinya terhadap hambatan udara, angin, dan rotasi Bumi (efek Coriolis).
• Insinyur sipil dan mekanik menerapkan kinematika yang sama pada desain pancuran air, jangkauan selang pemadam kebakaran, dan peluncuran paket dari sistem konveyor.
• Insinyur dirgantara menggunakan prinsip dasar proyektil sebagai garis dasar ruang hampa sebelum menambahkan hambatan aerodinamis dan gaya angkat.

Encyclopaedia Britannica mencatat bahwa hasil parabola yang ideal ini tetap menjadi aproksimasi pertama yang esensial di bidang sains olahraga dan teknik.

Kesalahan yang paling sering terjadi adalah tertukarnya mode sudut dan satuan.

• Kalkulator secara default menggunakan radian, jadi sin(45°) harus menggunakan mode derajat atau nilai radian 0,7854, bukan 45.
• Kesalahan lainnya adalah lupa bahwa hanya komponen vertikal yang terpengaruh gravitasi — kecepatan horizontal vₓ = v₀·cos(θ) tidak pernah berubah dalam ruang hampa.
• Siswa juga sering salah menggunakan T = 2v₀sin(θ)/g ketika ketinggian peluncuran dan pendaratan berbeda; rumus cepat itu hanya berlaku untuk permukaan datar.
• Konvensi tanda juga penting: anggap akselerasi ke bawah bernilai −g secara konsisten.
• Terakhir, jangan menyamakan ketinggian maksimum dengan setengah jangkauan, dan ingat bahwa model ini mengabaikan hambatan udara, sesuai asumsi gerak ideal NIST dan HyperPhysics.

Karena g muncul di penyebut setiap rumus proyektil, gravitasi yang lebih lemah menghasilkan penerbangan yang lebih panjang, lebih tinggi, dan lebih lambat. Jangkauan berbanding terbalik dengan g: R = v₀²·sin(2θ)/g.

Menggunakan nilai standar gaya NIST:

• g Bumi adalah 9,81 m/s²,
• g Bulan sekitar 1,62 m/s²,
• dan g Mars sekitar 3,72 m/s².

Sebuah proyektil yang diluncurkan pada 20 m/s dengan sudut 45° menempuh jarak sekitar 40,8 m di Bumi tetapi sekitar 246,9 m di Bulan (40,8 × 9,81 / 1,62) — sekitar enam kali lebih jauh. Waktu penerbangan dan ketinggian maksimum meningkat dengan faktor yang sama.

Itulah sebabnya kalkulator ini memungkinkan Anda mengedit g untuk memodelkan kondisi di bulan, Mars, atau kondisi yang disesuaikan dengan laboratorium.