Kalkulator Z-Score

Rumus skor-z adalah z = (x − μ) / σ, dengan x adalah nilai mentah Anda, μ adalah rata-rata, dan σ adalah simpangan baku.

Masukkan ketiga nilai ini ke dalam kalkulator untuk mendapatkan skor-z secara instan, beserta persentil dan probabilitas yang bersesuaian.

Ubah z-score apa pun menjadi peringkat persentil menggunakan distribusi normal standar kumulatif.

• Z-score 0 = persentil ke-50 (rata-rata).
• Z-score 1,0 = persentil ke-84.
• Z-score 1,96 = persentil ke-97,5 (digunakan dalam interval kepercayaan 95%).

Z-score mengikuti distribusi normal standar (rata-rata=0, SD=1).

Aturan 68-95-99,7 menyatakan bahwa:

• 68% data berada dalam z=±1
• 95% dalam z=±2
• 99,7% dalam z=±3

Kalkulator kami memvisualisasikan z-score Anda pada kurva distribusi normal.

Sebuah z-score, yang juga disebut skor standar, adalah jumlah deviasi standar suatu titik data dari rata-rata distribusinya.

Z-score 0 berada tepat di rata-rata, +1,5 berada satu setengah deviasi standar di atasnya, dan −2 berada dua deviasi standar di bawahnya.

Karena mengonversi ulang variabel apa pun ke satuan yang sama, z-score memungkinkan Anda membandingkan nilai yang diukur pada skala yang berbeda — misalnya skor ujian terhadap tinggi badan.

Menurut Wolfram MathWorld, skor standar menstandarisasi variabel normal ke distribusi dengan rata-rata 0 dan deviasi standar 1, yang menjadi dasar dari hampir setiap uji statistik parametrik.

Z-score dihitung sebagai z = (x − μ) / σ, di mana x adalah pengamatan mentah, μ adalah rata-rata populasi, dan σ adalah deviasi standar populasi.

Anda mengurangi dengan rata-rata untuk memusatkan data pada nol, lalu membagi dengan deviasi standar untuk menyatakan jarak dalam satuan standar. Ketika Anda hanya memiliki sampel, gunakan rata-rata sampel x̄ dan deviasi standar sampel s.

Untuk skor 85 dengan rata-rata 70 dan SD 10, z = (85 − 70) / 10 = 1,5.

Khan Academy mencatat bahwa transformasi ini mempertahankan bentuk distribusi sekaligus menstandarisasi pusat dan sebarannya.

Untuk mengubah z-score menjadi probabilitas, evaluasi fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi normal standar, Φ(z), yang menghasilkan P(Z < z).

Untuk z = 1,5, Φ(1,5) ≈ 0,9332, jadi sekitar 93,32% nilai berada di bawahnya dan 6,68% di atasnya.

CDF ditentukan melalui fungsi galat, erf, sebagaimana didokumentasikan dalam NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF §7). Karena kurva normal bersifat simetris, Φ(−z) = 1 − Φ(z).

Kalkulator menangani integrasi ini secara otomatis, sehingga Anda tidak perlu membaca tabel z tercetak.

Beberapa z-score muncul secara terus-menerus dalam statistika.

• Z senilai 1,0 menandai persentil ke-84 dan −1,0 persentil ke-16.
• Nilai kritis 1,645 bersesuaian dengan persentil ke-95 (satu sisi), sedangkan 1,96 menghasilkan persentil ke-97,5 dan menentukan interval kepercayaan dua sisi 95% yang umum.
• Z senilai 2,576 menandai persentil ke-99,5, yang digunakan untuk kepercayaan 99%.

Di bawah aturan 68-95-99,7 yang dijelaskan oleh Encyclopaedia Britannica, sekitar 68% data terletak dalam ±1, 95% dalam ±2, dan 99,7% dalam ±3 deviasi standar dari rata-rata. Menghafal jangkar ini mempercepat interpretasi.

Z-score muncul jauh di luar ruang kelas.

• Ujian terstandarisasi melaporkannya agar skor dari bentuk tes yang berbeda dapat dibandingkan secara adil.
• Dalam kontrol kualitas manufaktur, para insinyur menandai setiap pengukuran di luar ±3 deviasi standar sebagai pencilan (outlier), karena kurang dari 0,3% dari proses normal yang seharusnya jatuh di sana.
• Keuangan menggunakan z-score dalam model seperti Altman Z-score untuk risiko kebangkrutan, dan layanan kesehatan mengandalkannya untuk grafik pertumbuhan serta skor kepadatan tulang.

Kapan pun Anda harus membandingkan pengamatan yang berasal dari skala atau kumpulan data yang berbeda, menstandardisasikannya ke dalam z-score, seperti yang diilustrasikan oleh Khan Academy, membuat perbandingan tersebut bermakna.

Untuk membalikkan proses dan menemukan z-score dari persentil, terapkan fungsi normal invers (probit), Φ⁻¹(p).

Masukkan persentil sebagai proporsi antara 0 dan 1:

• persentil ke-90 menghasilkan z sekitar 1,282
• persentil ke-95 menghasilkan 1,645
• persentil ke-99 menghasilkan sekitar 2,326

Nilai di bawah persentil ke-50 menghasilkan z-score negatif, mencerminkan posisi di bawah rata-rata.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods mentabulasi kuantil dari distribusi normal standar ini, dan mode balik kalkulator ini menghitungnya secara langsung dari persentil apa pun yang Anda masukkan.

Dalam z-test, statistik uji adalah z-score yang mengukur seberapa jauh rata-rata sampel berada dari nilai yang dihipotesiskan di bawah hipotesis nol.

Anda membandingkannya dengan nilai kritis:

• untuk uji dua sisi pada tingkat 5%, tolak hipotesis nol jika |z| melebihi 1,96
• pada tingkat 1% jika |z| melebihi 2,576

Secara ekuivalen, ubah z-score menjadi nilai p menggunakan CDF normal standar dan tolak ketika p berada di bawah ambang batas signifikansi Anda α.

Britannica mencatat bahwa z-test mengasumsikan deviasi standar populasi yang diketahui dan distribusi sampling yang mendekati normal, kondisi yang sering dipenuhi oleh Teorema Limit Pusat untuk sampel besar.

• Kesalahan yang paling sering terjadi adalah membagi dengan varians alih-alih deviasi standar — ingat σ adalah akar kuadrat dari varians, jadi selalu bagi dengan σ.
• Kesalahan lainnya adalah mencampuradukkan statistik populasi dan sampel: gunakan μ dan σ untuk populasi penuh tetapi x̄ dan s untuk sampel.
• Orang juga kerap bingung antara z-score dan persentil; z senilai 1,0 bukanlah persentil ke-100 melainkan ke-84.
• Terakhir, z-score hanya membawa arti probabilitas biasa ketika datanya mendekati normal.

Sebagaimana diperingatkan oleh Wolfram MathWorld, menerapkan probabilitas kurva normal pada data yang sangat condong (skewed) menghasilkan persentil yang menyesatkan.