Calcolatrice Matematica

Fattoriale di n (scritto come n!) è il prodotto di tutti i numeri interi positivi fino a n. Ad esempio, 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

I fattoriali sono fondamentali nel calcolo combinatorio e nella probabilità.

Le disposizioni contano le disposizioni in cui l'ordine conta (nPr). Le combinazioni contano le selezioni in cui l'ordine non conta (nCr).

Usa le disposizioni per le classifiche e le combinazioni per i gruppi.

Per calcolare un fattoriale n!, moltiplica tra loro tutti i numeri interi positivi da 1 fino a n. Ad esempio, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, e 6! = 6 × 120 = 720.

Il metodo manuale più rapido utilizza la regola ricorsiva n! = n × (n−1)!, in modo che ogni nuovo fattoriale sia semplicemente il risultato precedente moltiplicato per il numero intero successivo. Questa calcolatrice online applica tale ricorsione internamente, mostrando poi ogni moltiplicazione come un passaggio.

Come nota Wolfram MathWorld, il fattoriale è definito per tutti i numeri interi non negativi e 0! è fissato a 1 per mantenere coerente la ricorsione.

La formula del fattoriale è n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1, con il caso base 0! = 1. Analogamente, i fattoriali soddisfano la ricorrenza n! = n × (n−1)!, che permette di costruire ogni valore a partire da quello precedente.

La Digital Library of Mathematical Functions del NIST estende questo concetto oltre i numeri interi tramite la funzione gamma, dove n! = Γ(n+1).

Per il calcolo combinatorio usi anche due formule derivate:

• disposizioni nPr = n!/(n−r)!
• combinazioni nCr = n!/[r!(n−r)!]

Queste tre espressioni coprono la maggior parte dei problemi di conteggio che incontrerai in probabilità e matematica discreta.

0! è uguale a 1 per definizione, e non si tratta di una scelta arbitraria. C'è esattamente un modo per disporre un insieme vuoto di oggetti — non fare nulla — quindi il conteggio delle disposizioni è uno.

Impostare 0! = 1 mantiene anche valida la ricorsione n! = n × (n−1)!, poiché 1! = 1 × 0! funziona solo se 0! = 1. Inoltre, fa sì che formule come nCr = n!/[r!(n−r)!] restituiscano il risultato corretto quando r = 0 o r = n.

Khan Academy ed Encyclopaedia Britannica presentano entrambe 0! = 1 come la convenzione standard alla base del calcolo combinatorio e del binomio di Newton.

I fattoriali crescono più rapidamente di qualsiasi funzione esponenziale, motivo per cui il calcolo manuale diventa rapidamente impraticabile. Per illustrare:

• 5! = 120
• 10! = 3.628.800
• 20! = 2.432.902.008.176.640.000 — già più di 2,4 quintilioni

Intorno a 170! il valore è di circa 7,26 × 10^306, vicino al limite della normale precisione invirgola mobile a doppia precisione, motivo per cui molti strumenti limitano l'input a 170.

Questa crescita super-esponenziale (formalmente n! cresce come l'approssimazione di Stirling √(2πn)(n/e)^n, descritta nel NIST DLMF) spiega perché i fattoriali compaiono nei denominatori delle serie di Taylor, dove riducono i termini abbastanza velocemente da far convergere la serie.

Un doppio fattoriale n!! moltiplica un numero intero sì e uno no scendendo da n, fermandosi a 1 (n dispari) o 2 (n pari). Per i numeri dispari, 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105; per i numeri pari, 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384.

Non equivale a calcolare un fattoriale due volte — (n!)! sarebbe enorme in confronto. I doppi fattoriali compaiono negli integrali delle potenze di seno e coseno e nelle formule per il volume delle sfere ad alta dimensionalità.

Wolfram MathWorld cataloga il doppio fattoriale come funzione a sé stante e l'OEIS elenca i doppi fattoriali dispari 1, 3, 15, 105, 945 come sequenza A001147.

Un sottofattoriale !n conta i derangements (o permutazioni senza punti fissi) — permutazioni in cui nessun elemento rimane nella sua posizione originale. Per tre elementi {1, 2, 3}, solo {2, 3, 1} e {3, 1, 2} sono validi, quindi !3 = 2; allo stesso modo !4 = 9 e !5 = 44.

Il sottofattoriale segue la formula !n = n! × Σ (−1)^k / k! per k = 0 a n, ed è strettamente legato a problemi di probabilità come il problema del guardaroba, in cui la probabilità che nessuno riceva il proprio cappello si avvicina a 1/e ≈ 0.3679 all'aumentare di n.

L'OEIS registra i numeri di derangement 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265 come sequenza A000166.

I fattoriali sono alla base di qualsiasi problema che conti disposizioni o selezioni.

• In probabilità, il numero di mani di poker distinte da 5 carte estratte da un mazzo di 52 è la combinazione 52C5 = 2.598.960.
• Nella pianificazione e nella logistica, n! fornisce il numero di ordinamenti per n attività o tappe.
• Nel calcolo infinitesimale, i fattoriali si trovano nei denominatori delle serie di Taylor e Maclaurin, controllando la velocità con cui i termini si riducono affinché funzioni come e^x e sin x possano essere approssimate.

Compaiono anche nel teorema binomiale, nelle distribuzioni statistiche come la poissoniana e la binomiale, e in crittografia. La Khan Academy usa questi conteggi combinatori come fondamento del suo programma di probabilità.

Diversi errori traggono in inganno quando si lavora con i fattoriali:

• L'errore più frequente è dimenticare che 0! = 1, il che invalida le formule di combinazione e disposizione nei casi limite.
• Un altro è confondere il doppio fattoriale n!! (un intero sì e uno no) con l'applicazione del fattoriale due volte — 5!! = 15, ma (5!)! è astronomicamente più grande.
• Gli studenti confondono anche disposizioni e combinazioni: usa nPr quando l'ordine conta e nCr quando non conta, quindi 5P2 = 20 ma 5C2 = 10.
• Fai attenzione a input negativi o non interi, poiché il fattoriale elementare non è definito in quei punti (solo la funzione gamma lo estende).
• Infine, ricorda che i fattoriali crescono troppo rapidamente — oltre circa 170! la maggior parte delle calcolatrici perde precisione, come chiarisce l'analisi della crescita di Wolfram MathWorld.

Sia le disposizioni che le combinazioni sono costruite direttamente a partire dai fattoriali.

Una disposizione nPr = n!/(n−r)! conta le disposizioni ordinate, quindi scegliere e ordinare 2 elementi su 5 dà 5P2 = 5!/3! = 120/6 = 20.

Una combinazione nCr = n!/[r!(n−r)!] conta le selezioni non ordinate, quindi 5C2 = 5!/(2!·3!) = 120/(2×6) = 10 — esattamente la metà di 5P2 perché ogni coppia può essere ordinata in due modi. Le combinazioni sono anche chiamate coefficienti binomiali e generano il triangolo di Tartaglia. Poiché nC2 = n(n−1)/2 è di secondo grado in n, invertire la domanda — trovare quanti elementi producono un dato numero di coppie, come nel classico problema della stretta di mano — si riduce a un risolutore di equazioni di secondo grado.

Encyclopaedia Britannica descrive queste come le operazioni fondamentali del calcolo combinatorio, e questa calcolatrice scientifica online calcola nPr e nCr con tutti i passaggi dettagliati.