Calcolatrice di Fibonacci

A partire da 1, 1, ogni numero successivo è la somma dei due precedenti.

Questo crea la famosa sequenza: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Man mano che i numeri di Fibonacci crescono, il rapporto tra termini consecutivi si avvicina alla sezione aurea φ ≈ 1,618.

Questo rapporto compare ovunque in natura, nell'arte e nell'architettura.

Un numero di Fibonacci è qualsiasi termine della sequenza in cui ciascun valore è uguale alla somma dei due precedenti, iniziando con 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. La regola è F(n) = F(n-1) + F(n-2), con i due valori iniziali F(1) = F(2) = 1.

Prendendo il nome dal matematico italiano del XIII secolo Leonardo Pisano, noto come Fibonacci, la sequenza fu resa popolare nel suo libro del 1202 Liber Abaci attraverso un problema sulla popolazione di conigli.

Come nota Wolfram MathWorld, è una delle sequenze di interi più studiate in matematica, catalogata come sequenza A000045 nell'OEIS.

Per trovare direttamente l'ennesimo numero di Fibonacci senza elencare ogni termine precedente, usa la formula di Binet: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, dove φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887 è la sezione aurea e ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887.

Poiché |ψ| è minore di 1, ψⁿ tende a zero, quindi F(n) è semplicemente l'intero più vicino a φⁿ/√5. Ad esempio, φ¹⁰/√5 ≈ 55,004, che arrotondato dà F(10) = 55.

La Digital Library of Mathematical Functions (DLMF) del NIST documenta questa formula in forma chiusa insieme alle relative identità dei numeri di Lucas.

Il decimo numero di Fibonacci è 55 se la sequenza parte da F(1) = 1. Contando i termini in ordine si ottiene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, quindi la decima voce è 55.

La numerazione conta: alcune fonti, comprese parti della lista OEIS, partono da F(0) = 0, il che sposta ogni posizione di uno e renderebbe il decimo valore elencato pari a 34.

Questa calcolatrice online utilizza la comune convenzione basata su 1 F(1) = F(2) = 1. Conferma sempre se una fonte conta da F(0) o F(1) prima di confrontare i risultati.

Un intero positivo N è un numero di Fibonacci se e solo se 5N² + 4 o 5N² − 4 è un quadrato perfetto. Questo test deriva dalla struttura algebrica alla base della formula di Binet e consente di verificarne l'appartenenza senza generare l'intera sequenza.

Prendi N = 13: 5 × 13² − 4 = 5 × 169 − 4 = 841 = 29², un quadrato perfetto, quindi 13 è di Fibonacci.

Al contrario, N = 20 fallisce entrambi i controlli (5 × 400 + 4 = 2004 e 5 × 400 − 4 = 1996 non sono quadrati), quindi 20 non è un numero di Fibonacci.

Khan Academy spiega il ragionamento sui quadrati perfetti che sostiene questa identità.

La somma dei primi n numeri di Fibonacci è uguale a F(n+2) − 1, un'identità ordinata che evita di sommare i termini uno per uno. Per i primi 10 numeri, 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, che corrisponde a F(12) − 1 = 144 − 1 = 143.

Vale la pena conoscere anche due identità correlate:

• la somma dei primi n termini con indice dispari è uguale a F(2n)
• la somma dei quadrati F(1)² + … + F(n)² è uguale a F(n) × F(n+1)

Wolfram MathWorld elenca queste formule di sommatoria tra i classici risultati in forma chiusa della sequenza.

Il rapporto tra numeri di Fibonacci consecutivi converge verso la sezione aurea φ ≈ 1,6180339887 man mano che i termini crescono. I primi rapporti oscillano attorno a φ: 55/34 ≈ 1,6176 e 89/55 ≈ 1,6182, stringendosi ad ogni passaggio.

Ciò accade perché la formula di Binet rende φⁿ il termine dominante. Secondo l'Encyclopaedia Britannica, φ soddisfa l'equazione φ² = φ + 1, quindi φ ≈ 1,618 e il suo reciproco 1/φ ≈ 0,618 differiscono esattamente di 1.

La stessa costante compare nelle diagonali del pentagono e nelle spirali logaritmiche, motivo per cui i rapporti di Fibonacci ricorrono nella geometria e nel design.

I numeri di Fibonacci compaiono in molto più che semplici libri di testo.

• In natura, i capolini dei girasoli, le squame delle pigne e i gusci di nautilus si dispongono lungo spirali legate a Fibonacci che si compattano in modo efficiente, un fenomeno documentato dall'Encyclopaedia Britannica.
• In informatica, fanno da benchmark per la ricorsione e la programmazione dinamica — nello stesso modo in cui una calcolatrice matematica fa per l'altra classica definizione ricorsiva — e compaiono negliheap di Fibonacci e negli algoritmi di ricerca.
• Nelle finanze, i trader usano i livelli di ritracciamento di Fibonacci (23,6%, 38,2%, 61,8%) derivati dai rapporti della sequenza.
• I team software Agile usano persino una scala in stile Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13) per la stima degli story point perché i divari crescenti riflettono la crescente incertezza nei compiti più grandi.

Diversi errori comuni traggono in inganno le persone:

• L'errore più frequente è la confusione degli indici: mischiare la convenzione F(0) = 0 con la convenzione F(1) = 1 sposta ogni termine di una posizione e produce risposte sfasate di un passo.
• Una seconda insidia consiste nel fidarsi della formula di Binet per n molto grandi su una calcolatrice scientifica online standard, dove l'arrotondamento in virgola mobile può produrre l'intero più vicino sbagliato; l'addizione iterativa o l'aritmetica a interi grandi rimane esatta.
• Altri presumono erroneamente che ogni numero grande sia di Fibonacci senza applicare il test del quadrato perfetto 5N² ± 4, o dimenticano che l'1 compare due volte all'inizio.
• Infine, ricorda che nessun indice di conteggio negativo restituisce un termine inferiore a F(1) in questo strumento.

I numeri di Fibonacci appartengono a una più ampia famiglia di ricorrenze del secondo ordine che condividono la regola termine = precedente + penultimo ma usano valori iniziali differenti.

I numeri di Lucas iniziano con 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18 e sono catalogati come sequenza OEIS A000032; soddisfano L(n) = φⁿ + ψⁿ e sono strettamente legati a Fibonacci attraverso identità come F(2n) = F(n) × L(n). I numeri di Pell (1, 2, 5, 12, 29) seguono un moltiplicatore diverso.

Lo studio di questi parenti stretti, come descritto in dettaglio da Wolfram MathWorld, chiarisce perché la sezione aurea governi il tasso di crescita dell'intera famiglia.