Calcolatrice di Deviazione Standard

La differenza principale risiede nel denominatore: la deviazione standard campionaria divide per (n-1) mentre la deviazione standard della popolazione divide per n.

Usa la deviazione standard campionaria quando i tuoi dati sono un sottoinsieme di una popolazione più ampia (il che è più comune negli scenari reali).

Usa la deviazione standard della popolazione solo quando disponi dei dati per ciascun membro dell'intera popolazione che stai studiando.

Per la popolazione: σ = √[Σ(xi - μ)² / N], dove μ è la media della popolazione e N è la dimensione della popolazione.

Per il campione: s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)], dove x̄ è la media campionaria e n è la dimensione del campione.

La divisione per (n-1) nella formula del campione è chiamata correzione di Bessel e fornisce una stima non distorta della deviazione standard della popolazione.

La deviazione standard ti aiuta a comprendere la variabilità dei dati.

In una distribuzione normale, circa il 68% dei valori rientra in una deviazione standard dalla media, il 95% entro due deviazioni standard e il 99,7% entro tre deviazioni standard (la regola empirica).

Confronta le deviazioni standard tra diversi set di dati per capire quale presenta maggiore variabilità.

La deviazione standard è una misura di quanto un insieme di numeri sia disperso attorno alla sua media. Risponde alla domanda: in media, a che distanza si trova ciascun punto dati dal centro?

Una piccola deviazione standard indica che i valori sono concentrati strettamente attorno alla media, mentre una grande deviazione standard significa che sono ampiamente dispersi.

Secondo l'Encyclopaedia Britannica, la deviazione standard è la misura di dispersione più utilizzata in statistica perché viene espressa nelle stesse unità dei dati originali, a differenza della varianza. È alla base di qualsiasi ambito, dal controllo qualità alla finanza, consentendo di confrontare a colpo d'occhio la coerenza tra diversi set di dati.

Per calcolare la deviazione standard a mano, segui cinque passaggi:

• Per prima cosa, trova la media sommando tutti i valori e dividendo per il totale, che è esattamente ciò che fa la nostra calcolatrice online in un solo clic se vuoi prima verificare quel dato.
• Secondo, sottrai la media da ciascun valore per ottenere gli scarti.
• Terzo, eleva al quadrato ciascuno scarto in modo che i valori negativi non annullino quelli positivi.
• Quarto, somma gli scarti al quadrato e dividi per n nel caso di una popolazione o per n-1 nel caso di un campione per ottenere la varianza.
• Quinto, estrai la radice quadrata della varianza.

La Khan Academy illustra questa stessa procedura con esempi pratici. Questa calcolatrice automatizza ogni passaggio e mostra i valori intermedi così puoi verificare il tuo lavoro.

Consideriamo il classico set di dati 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. La somma è 40 su 8 valori, quindi la media è 5.

Gli scarti dalla media sono -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4 e i loro quadrati sono 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, la cui somma è 32.

Per una popolazione, dividi per N = 8 per ottenere una varianza di 4, e la radice quadrata fornisce una deviazione standard della popolazione pari esattamente a 2. Questo esempio compare nella voce sulla deviazione standard di Wolfram MathWorld.

Per un campione, divideresti 32 per n-1 = 7, ottenendo una varianza di circa 4,571 e una deviazione standard campionaria di circa 2,138.

La formula della deviazione standard della popolazione è sigma = sqrt(somma di (xi - mu)^2 / N), dove mu è la media della popolazione e N è il numero dei valori.

La formula campionaria è s = sqrt(somma di (xi - xbar)^2 / (n-1)), dove xbar è la media campionaria. L'unica differenza è il denominatore.

L'e-Handbook NIST/SEMATECH di metodi statistici definisce entrambe e spiega che dividere per n-1, noto come correzione di Bessel, produce una stima non distorta della varianza della popolazione a partire da un campione.

La varianza è semplicemente il valore sotto radice quadrata, quindi la deviazione standard è sempre la radice quadrata della varianza e condivide le unità dei dati originali.

La deviazione standard campionaria divide la somma degli scarti al quadrato per n-1 anziché per n perché un campione tende a sottostimare la vera dispersione dell'intera popolazione.

Quando calcoli gli scarti dalla media campionaria invece della media della popolazione sconosciuta, perdi un grado di libertà, quindi il divisore viene ridotto di uno per compensare. Questa regolazione, chiamata correzione di Bessel, produce uno stimatore non distorto della varianza della popolazione.

L'e-Handbook del NIST conferma che n-1 è la scelta standard per i dati campionari. Usa n-1 ogni volta che i tuoi numeri costituiscono un sottoinsieme tratto da un gruppo più ampio, il che copre la maggior parte dei sondaggi, degli esperimenti e della raccolta di dati nel mondo reale.

La deviazione standard compare in moltissimi campi:

• In finanza, misura la volatilità dei rendimenti di un investimento, quindi una deviazione standard più elevata segnala un rischio maggiore.
• Nella produzione e nel controllo qualità, guida i processi Sei Sigma che mantengono i prodotti entro i limiti di tolleranza.
• In ambito educativo, descrive quanto strettamente i punteggi dei test si raggruppano attorno alla media della classe.
• Nella meteorologia e nella scienza del clima, rileva la variabilità della temperatura tra le stagioni.

L'Encyclopaedia Britannica osserva che la deviazione standard è fondamentale per la distribuzione normale, che modella innumerevoli fenomeni naturali. Poiché è espressa nelle stesse unità dei dati, i professionisti la usano per confrontare la coerenza, stabilire soglie e segnalare osservazioni insolite.

Per i dati che seguono una distribuzione normale (a campana), la regola empirica stabilisce che circa il 68% dei valori rientra in una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due deviazioni standard e circa il 99,7% entro tre.

Quindi, se i punteggi di un test hanno una media di 70 e una deviazione standard di 10, circa il 68% degli studenti ottiene un punteggio compreso tra 60 e 80.

Wolfram MathWorld descrive questo schema come una proprietà distintiva della distribuzione normale. La regola trasforma un numero astratto di dispersione in una probabilità concreta, aiutandoti a valutare quanto sia comune o raro un determinato valore all'interno del tuo set di dati.

• L'errore più frequente è confondere le formule per il campione e per la popolazione usando il denominatore sbagliato; dividere per n quando dovresti usare n-1 sottostima la dispersione per i dati campionari.
• Un altro errore è dimenticare di elevare gli scarti al quadrato, il che permette alle differenze positive e negative di annullarsi a vicenda arrivando a zero.
• Le persone spesso confondono la varianza con la deviazione standard, riportando il valore al quadrato anziché la sua radice quadrata.
• Arrotondare la media troppo presto propaga errori in ogni passaggio successivo, quindi mantieni la massima precisione fino alla fine.
• Infine, la deviazione standard riassume bene solo dati simmetrici e all'incirca normali; per dati fortemente asimmetrici può risultare fuorviante, come avverte la Khan Academy.