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Le statistiche descrittive condensano un insieme di dati in numeri di riassunto significativi.

• Le misure di tendenza centrale (media, mediana, moda) indicano dove si trova il centro dei dati.
• Le misure di dispersione (intervallo, varianza, deviazione standard, IQR) indicano quanto sono distribuiti i valori.
• Le misure di forma (asimmetria e curtosi) descrivono la simmetria e il comportamento delle code della distribuzione.

Insieme, queste statistiche offrono un quadro completo dei tuoi dati senza dover esaminare ogni singolo valore.

Quando i tuoi dati rappresentano un'intera popolazione, dividi per N per ottenere la varianza e la deviazione standard della popolazione. Quando i tuoi dati sono un campione estratto da una popolazione più ampia, dividi per N-1 (correzione di Bessel) per ottenere una stima non distorta.

La deviazione standard campionaria è sempre leggermente superiore alla deviazione standard della popolazione per lo stesso insieme di dati.

Per N grandi la differenza è trascurabile, ma per piccoli campioni la correzione è significativa.

• La media è la somma di tutti i valori divisa per il conteggio
• la mediana è il valore centrale dei dati ordinati
• la moda è il valore che si verifica più frequentemente

Per l'insieme di dati {68, 72, 76, 78, 82, 85, 88, 90, 91, 95}, sapere come calcolare la media dà un valore di 825 diviso per 10, ovvero 82.5. Con un conteggio pari di 10 valori, la mediana calcola la media dei due numeri centrali, (82 + 85) / 2 = 83.5. Nessun valore si ripete, quindi questo insieme non ha moda.

Come spiega Khan Academy, queste tre misure di tendenza centrale rispondono a domande diverse, quindi riportarle tutte e tre offre un quadro più completo rispetto a ciascuna presa singolarmente.

La varianza è la media delle deviazioni al quadrato dalla media, e la deviazione standard è la radice quadrata della varianza.

Prima devi:

• sotttrarre la media da ciascun valore
• elevare al quadrato ciascun risultato
• sommarli

La varianza della popolazione divide tale somma per N; la varianza campionaria divide per N-1. Per i 10 punteggi di test con media 82.5, la varianza campionaria è di circa 78.28 e la deviazione standard campionaria è di circa 8.85.

Wolfram MathWorld nota che elevare al quadrato le deviazioni rimuove i segni negativi e dà più peso agli scostamenti maggiori dalla media, motivo per cui la deviazione standard è la principale misura di dispersione nella statistica.

I quartili dividono i dati ordinati in quattro parti uguali:

• Q1 è il 25esimo percentile
• Q2 è la mediana
• Q3 è il 75esimo percentile

L'intervallo interquartile (IQR) è pari a Q3 meno Q1 e cattura la dispersione del 50% centrale dei dati. Per {68, 72, 76, 78, 82, 85, 88, 90, 91, 95}, Q1 è 76, Q3 è 90, quindi IQR = 90 - 76 = 14.

Il riassunto a cinque numeri — minimo, Q1, mediana, Q3, massimo — è 68, 76, 83.5, 90, 95. L'e-Handbook of Statistical Methods di NIST/SEMATECH descrive questo riassunto come la base per il diagramma a scatola (box plot).

L'asimmetria misura la non simmetria di una distribuzione, e la curtosi misura il peso delle sue code.

Un'asimmetria pari a zero indica una distribuzione simmetrica; un valore positivo segnala una coda destra più lunga e un valore negativo una coda sinistra più lunga.

La curtosi confronta il peso delle code con la distribuzione normale, che ha una curtosi pari a 3, o una curtosi in eccesso pari a 0. Una curtosi più elevata implica code più pesanti e valori anomali più estremi.

Secondo Wolfram MathWorld, questi terzi e quarti momenti standardizzati estendono la descrizione di un insieme di dati oltre il centro e la dispersione, rivelando caratteristiche di forma che la media e la deviazione standard non possono cogliere da sole.

Il coefficiente di variazione (CV) è la deviazione standard divisa per la media, espressa in percentuale: CV = (DS / media) x 100%.

Poiché è adimensionale, il CV consente di confrontare la variabilità tra set di dati misurati in unità diverse o su scale differenti. Per i 10 punteggi di test, il CV è all'incirca 8,85 / 82,5 x 100%, ovvero circa il 10,7%, indicando una variabilità relativamente bassa.

L'Enciclopedia Britannica descrive il CV come una misura standardizzata di dispersione. Una regola pratica comune considera un CV inferiore al 15% come basso e uno superiore al 30% come alto, sebbene le soglie ideali dipendano dal tuo settore e contesto.

Il rango percentile indica la percentuale di valori in un set di dati che si trova al di sotto di un determinato valore, basandosi quindi direttamente su come calcolare le percentuali. Una formula semplice è: rango percentile = (numero di valori inferiori a x / conteggio totale) x 100.

Se 7 punteggi d'esame su 10 sono inferiori al tuo, il tuo rango percentile è 70, il che significa che hai ottenuto un punteggio superiore al 70% del gruppo. I percentili costituiscono la base di molti sistemi di rendicontazione standardizzati, dai punteggi dei test alle tabelle di crescita pediatrica.

Khan Academy sottolinea che i percentili descrivono la posizione relativa piuttosto che il valore assoluto, motivo per cui un punteggio grezzo diventa molto più interpretabile una volta noto il percentile a cui corrisponde.

Le statistiche descrittive compaiono in quasi tutti i campi quantitativi.

• Nel settore manifatturiero, i programmi Six Sigma utilizzano le deviazioni standard per quantificare i tassi di diftosità e la capacità di processo.
• In finanza, la deviazione standard misura la volatilità dei rendimenti, mentre la media stima il rendimento atteso.
• Le agenzie di sanità pubblica si affidano a mediane e percentili per sintetizzare i risultati tra le popolazioni, e gli educatori li usano per interpretare le prestazioni ai test.

L'e-Handbook of Statistical Methods del NIST/SEMATECH mostra come le statistiche di sintesi supportino il controllo qualità e l'analisi sperimentale. Che tu stia correggendo esami, monitorando una linea di produzione o confrontando portafogli di investimento, queste misure trasformano numeri grezzi in decisioni che puoi difendere.

La regola empirica, o regola 68-95-99,7, descrive come i dati si distribuiscono in una distribuzione normale:

• Circa il 68% dei valori rientra in una deviazione standard dalla media
• circa il 95% rientra in due deviazioni standard
• e circa il 99,7% rientra in tre

Ad esempio, se un test ha una media di 82,5 e una deviazione standard di circa 8,85, circa il 95% dei punteggi si troverebbe tra 64,8 e 100,2 se i dati fossero distribuiti normalmente.

L'Enciclopedia Britannica nota che questa regola è il motivo per cui la deviazione standard è così ampiamente utilizzata: converte una dispersione astratta in intervalli di probabilità concreti su cui è possibile ragionare.

• L'errore più frequente è confondere le formule per il campione e per la popolazione: dividere per N quando i tuoi dati sono solo un campione sottostima la vera variabilità, quindi usa N-1 (correzione di Bessel) per i campioni.
• Un altro errore è non ordinare i dati prima di trovare la mediana o i quartili, il che produce risultati privi di significato.
• Le persone confondono anche la moda (il valore più frequente) con la media, o riportano una moda per dati in cui ogni valore è unico.
• Infine, ricorda che la media è sensibile ai valori anomali mentre la mediana è robusta, quindi un singolo valore estremo può distorcere la tua media.

Conferma sempre quale statistica risponde al meglio alla tua specifica domanda prima di trarre conclusioni.