La nostra calcolatrice online gratuita calcola il punteggio standard (z-score) da un valore grezzo, la media della popolazione e la deviazione standard. Converte anche i punteggi z in percentili e probabilità usando la distribuzione normale standard. Usala per statistiche, voti di esami, controllo qualità e test delle ipotesi.
Inserisci il tuo punteggio grezzo o osservazione (x).
Inserisci la media della popolazione (μ) e la deviazione standard (σ).
Visualizza il tuo z-score, il rango percentile e la probabilità.
Comprendi cosa significa il tuo punteggio z rispetto alla distribuzione.
Il punteggio z misura quante deviazioni standard un valore si discosta dalla media. Un punteggio z di 0 significa che il valore è uguale alla media. Punteggi z positivi sono superiori alla media; quelli negativi sono inferiori. Il percentile è la probabilità cumulativa P(Z < z) dalla distribuzione normale standard.
z = (x − μ) / σ
z = 0 significa che ti trovi esattamente sulla media
z = ±1 copre circa il 68% di una distribuzione normale
z = ±2 copre circa il 95% di una distribuzione normale
z = ±3 copre circa il 99,7% di una distribuzione normale (la regola del 68-95-99,7)
Uno z-score superiore a 2,0 significa che sei nel top ~2,3% della distribuzione
Usa z-score negativi quando il valore è inferiore alla media
Calcola i punteggi z, convertili in percentili e trova i valori di probabilità usando la nostra calcolatrice online gratuita. Funziona con punteggi di esami, dati di controllo qualità, misurazioni scientifiche e qualsiasi set di dati distribuito normalmente.
La formula della calcolatrice matematica è z = (x − μ) / σ, dove x è il tuo valore grezzo, μ è la media e σ è la deviazione standard.
Inserisci questi tre valori nella calcolatrice scientifica online per ottenere istantaneamente il punteggio z, insieme al percentile e alla probabilità corrispondenti.
Converti qualsiasi punteggio z in un rango percentile utilizzando la distribuzione normale standard cumulativa.
I punteggi z seguono la distribuzione normale standard (media=0, DS=1).
La regola del 68-95-99.7 stabilisce che:
La nostra calcolatrice online visualizza il tuo punteggio z sulla curva di distribuzione normale.
Un punteggio z, chiamato anche punteggio standard, rappresenta il numero di deviazioni standard in cui un punto dati si trova rispetto alla media della sua distribuzione.
Un punteggio z di 0 si posiziona esattamente sulla media, +1.5 si trova a una deviazione standard e mezza sopra di essa e −2 a due deviazioni standard sotto.
Poiché ridimensiona qualsiasi variabile a un'unità comune, il punteggio z consente di confrontare valori misurati su scale diverse — ad esempio, un voto di un test rispetto all'altezza.
Secondo Wolfram MathWorld, il punteggio standard normalizza una variabile normale portandola a una distribuzione con media 0 e deviazione standard 1, che rappresenta la base di quasi tutti i test statistici parametrici.
Il punteggio z viene calcolato come z = (x − μ) / σ, dove x è l'osservazione grezza, μ è la media della popolazione e σ è la deviazione standard della popolazione.
Sottrai la media per centrare i dati su zero, quindi dividi per la deviazione standard per esprimere la distanza in unità standardizzate. Quando disponi solo di un campione, sostituisci la media campionaria x̄ e la deviazione standard campionaria s.
Per un punteggio di 85 con media 70 e DS 10, z = (85 − 70) / 10 = 1.5.
Khan Academy nota che questa trasformazione preserva la forma della distribuzione pur standardizzandone il centro e la dispersione.
Per trasformare un punteggio z in una probabilità, calcola la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) della distribuzione normale standard, Φ(z), che fornisce P(Z < z).
Per z = 1.5, Φ(1.5) ≈ 0.9332, quindi circa il 93.32% dei valori si trova al di sotto di esso e il 6.68% al di sopra.
La CDF è definita tramite la funzione degli errori, erf, come documentato nel NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF §7). Poiché la curva normale è simmetrica, Φ(−z) = 1 − Φ(z).
La calcolatrice scientifica online gestisce questa integrazione automaticamente, così non dovrai mai consultare una tabella z stampata.
Diversi punteggi z ricorrono costantemente in statistica.
In base alla regola del 68-95-99.7 descritta dall'Encyclopaedia Britannica, circa il 68% dei dati si trova entro ±1, il 95% entro ±2 e il 99.7% entro ±3 deviazioni standard dalla media. Memorizzare questi punti di riferimento velocizza l'interpretazione.
I punteggi z compaiono molto oltre l'aula scolastica.
Ogni volta che devi confrontare osservazioni tratte da scale o dataset differenti, standardizzarle in punteggi z, come illustra Khan Academy, rende il confronto significativo.
Per invertire il processo e trovare un punteggio z da un percentile, applica la funzione normale inversa (probit), Φ⁻¹(p).
Inserisci il percentile come proporzione compresa tra 0 e 1:
I valori inferiori al 50° percentile producono punteggi z negativi, riflettendo posizioni al di sotto della media.
Il NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods tabula questi quantili della normale standard, e la modalità inversa di questa calcolatrice matematica li calcola direttamente da qualsiasi percentile inserito.
In un test z, la statistica del test è un punteggio z che misura quanto una media campionaria si trovi lontana da un valore ipotizzato sotto l'ipotesi nulla.
Lo confronti rispetto ai valori critici:
In modo equivalente, converti il punteggio z in un valore p usando la CDF della normale standard e rifiuta quando p è inferiore alla tua soglia di significatività α.
Britannica nota che il test z presuppone una deviazione standard della popolazione nota e una distribuzione di campionamento approssimativamente normale, condizioni spesso soddisfatte dal Teorema del Limite Centrale per grandi campioni.
Come avverte Wolfram MathWorld, applicare le probabilità della curva normale a dati fortemente asimmetrici produce percentili fuorvianti.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.