Penukar Perduar, Heks & Asas

Perduaan (asas 2) hanya menggunakan 0 dan 1. Untuk menukar perduaan kepada perpuluhan, darabkan setiap digit dengan 2 yang dikuasakan kepada kedudukannya (bermula dari 0 di sebelah kanan) dan jumlahkan hasilnya.

Contoh: 1101 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

Heksadesimal (asas 16) menggunakan 0-9 dan A-F. Ia popular dalam pengaturcaraan kerana setiap digit heks mewakili tepat 4 bit perduaan.

FF dalam heks = 255 dalam perpuluhan = 11111111 dalam perduaan.

• Komputer menggunakan perduaan secara dalaman.
• Heksadesimal menyediakan cara padat untuk mewakili data perduaan.
• Oktal digunakan dalam sistem yang lebih lama.
• Perpuluhan mesra manusia.

Setiap asas mempunyai tujuan tersendiri dalam pengkomputeran dan matematik.

Sesuatu asas nombor (juga dipanggil radiks) ialah kiraan digit unik yang digunakan oleh sistem nombor kedudukan untuk mewakili nilai. Asas 10 menggunakan sepuluh digit (0-9); asas 2 menggunakan dua (0 dan 1).

Dalam mana-mana sistem kedudukan, tempat setiap digit mempunyai berat yang sama dengan asas yang dikuasakan kepada kedudukan tersebut, mengira dari sifar di sebelah kanan. Jadi perpuluhan 253 bermaksud 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰.

Menurut Wolfram MathWorld, prinsip kedudukan ini membolehkan sekumpulan kecil simbol menyatakan nombor yang besar sewenang-wenangnya, sebab itulah penukaran asas pada asasnya hanyalah menyatakan semula kuantiti yang sama dengan nilai tempat yang berbeza.

Untuk menukar nombor perpuluhan kepada sebarang asas sasaran, bahagikan secara berulang dengan asas itu dan kumpul baki, kemudian baca dari bawah ke atas.

Menukar 156 kepada heksadesimal: 156 ÷ 16 = 9 baki 12 (C), dan 9 ÷ 16 = 0 baki 9, jadi membaca ke atas memberikan 9C. Sahkan: 9×16 + 12 = 144 + 12 = 156.

Khan Academy mengajar teknik bahagi-dan-rekod yang sama ini untuk perduaan dan asas lain. Ia berfungsi untuk sebarang radiks dari 2 hingga 36 kerana setiap pembahagian mengasingkan digit yang paling tidak signifikan dahulu, membina hasil satu nilai tempat pada satu masa.

Oleh kerana 8 dan 16 adalah kuasa bagi 2, anda boleh menukar perduaan secara terus dengan mengumpulkan bit dan bukannya melalui perpuluhan. Kumpulkan digit perduaan kepada set tiga (dari kanan) untuk oktal, atau set empat untuk heksadesimal, dengan menambah sifar di depan mengikut keperluan.

Contoh: perduaan 11010110 dikumpulkan sebagai 1101 0110 → D6 dalam heks, atau sebagai 011 010 110 → 326 dalam oktal. Sahkan kedua-duanya berbanding perpuluhan: 214.

Wolfram MathWorld menyatakan jalan pintas pengumpulan ini adalah tepat kerana satu digit oktal dipetakan kepada tiga bit dan satu digit heks dipetakan kepada empat bit.

Formula teras untuk membaca sebarang asas ke dalam perpuluhan ialah Nilai = Σ(dₙ × asasⁿ), di mana setiap digit dₙ didarabkan dengan asas yang dikuasakan kepada kedudukannya n dikira dari sifar di sebelah kanan.

Untuk heksadesimal 2AF: 2×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 512 + 160 + 15 = 687.

Encyclopaedia Britannica menyifatkan struktur hasil tambah berwajaran ini sebagai ciri penentu tatatanda kedudukan, membezakannya daripada sistem bukan kedudukan seperti angka Rom. Formula yang sama mengendalikan bahagian pecahan menggunakan eksponen negatif, jadi digit selepas titik radiks membawa berat asas⁻¹.

Asas yang berbeza menguasai tugas pengkomputeran yang berbeza:

• Heksadesimal mengekod alamat memori, kod warna RGB seperti #FF5733, alamat MAC, dan longgokan bait kerana dua digit heks mewakili satu bait 8-bit dengan kemas.
• Oktal kekal dalam keizinan fail Unix: chmod 755 memberikan kebenaran baca-tulis-laksana kepada pemilik dan baca-laksana kepada orang lain, memandangkan setiap digit oktal dipetakan kepada tiga bit keizinan.
• Perduaan mendasari segala-galanya pada peringkat perkakasan, daripada logik CPU kepada topeng subrangkaian rangkaian.

Memahami asas ini membantu pengatur cara menyahpepijat data peringkat rendah, dan Britannica menyatakan peranan pusat sistem perduaan dalam reka bentuk semua komputer digital moden.

Asas 36 ialah asas terbesar yang muat dengan selesa ke dalam set aksara alfanumerik standard, menggunakan sepuluh digit 0-9 ditambah 26 huruf A-Z untuk nilai 10 hingga 35. Itu memberikan tepat 36 simbol berbeza.

Ia popular untuk mengekod nombor besar secara padat sebagai rentetan pendek, seperti pemendek URL dan ID unik, kerana ia memuatkan lebih banyak maklumat setiap aksara berbanding perpuluhan atau heks.

Bagi mana-mana asas melebihi 10, huruf hanya memanjangkan set digit: A=10, B=11, sehinggalah Z=35. Penukar ini menyokong setiap asas dari 2 hingga 36 menggunakan konvensyen ini.

Setiap kedudukan dalam nombor perduaan membawa berat yang merupakan kuasa dua, jadi mengetahui kuasa ini menjadikan penukaran perduaan menjadi pantas. Dari kanan, beratnya ialah 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, kemudian 256, 512, dan 1024 (iaitu 2¹⁰).

Inilah sebabnya mengapa bait 8-bit memegang nilai 0 hingga 255: hasil tambah lapan berat pertama (1 hingga 128) ialah 255.

Wolfram MathWorld meng katalogkan kuasa dua sebagai salah satu jujukan integer paling asas dalam pengkomputeran. Menghafalnya sehingga 1024 membolehkan anda menukar nombor perduaan kecil secara mental tanpa pembahagian berulang, manakala untuk nilai yang lebih besar kalkulator logaritma dengan cepat memberitahu anda berapa banyak bit yang diperlukan oleh nombor, kerana kiraan bit hanyalah logaritma asas-2 yang dibundarkan ke atas.

• Ralat yang paling kerap berlaku ialah salah mengira eksponen kedudukan dengan bermula dari satu dan bukannya sifar; digit paling kanan sentiasa mempunyai kedudukan 0, memberikan berat asas⁰ = 1.
• Satu lagi kesilapan biasa ialah terlupa untuk meletakkan sifar pada perduaan kepada kumpulan lengkap tiga atau empat sebelum memetakan kepada oktal atau heksadesimal, yang menganjakkan setiap digit.
• Orang ramai juga mengelirukan huruf heks, menulis D sebagai 14 dan bukannya 13 (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).
• Akhir sekali, apabila menggunakan kaedah bahagi-baki, baki mesti dibaca dari pembahagian terakhir ke atas, bukan mengikut urutan ia dihasilkan.

Menyemak semula dengan formula kedudukan dapat mengesan keempat-empat kesilapan ini.