Kalkulator Lambung Syiling

Mod simulator menjalankan lambungan syiling rawak sebenar dan melaporkan kiraan muka dan ekor yang diperhatikan berserta carta peratusan semasa. Kerana ia menggunakan keacokan sebenar, 100 pelancaran mungkin memberi anda 47 muka atau 56 muka — anda boleh menekan 'Lancar' semula untuk melihat varians.

Mod kebarangkalian mengira kebarangkalian binomial tepat tanpa sebarang keacokan: jawapannya adalah deterministik dan sepadan dengan nilai buku teks.

Gunakan Simulator untuk mengajar hukum nombor besar; gunakan Kebarangkalian untuk kerja rumah dan jawapan tepat.

Dengan 10 pelancaran syiling adil, pesongan daripada 50/50 adalah sangat besar — pembahagian 7-3 berlaku 11.7% daripada masa. Dengan 1,000 pelancaran, gaya 7-3 (700 muka) adalah hampir mustahil dari segi astronomi (P ≈ 10^-38).

Siri berturut-turut adalah biasa: dalam 100 lambungan adil, rentetan muka terpanjang puratanya adalah kira-kira 7.

Untuk mengesan syiling yang bias, jalankan sekurang-kurangnya 1,000 pelancaran dan bandingkan dengan sisihan piawai yang dijangkakan sebanyak √(n × p × (1-p)). Keputusan yang melebihi 3 SP daripada min amat mencadangkan bias.

Kalkulator lambungan syiling memodelkan setiap lambungan sebagai cubaan Bernoulli bebas: satu peristiwa dengan dua hasil, muka dengan kebarangkalian p dan ekor dengan kebarangkalian 1 - p.

Dalam mod simulator, ia melukis nombor pseudo-rawak untuk setiap lambungan dan dikira sebagai muka apabila lukisan jatuh di bawah p, kemudian menjumlahkan muka dan ekor yang diperhatikan. Dalam mod kebarangkalian, ia menilai taburan binomial, yang memberikan peluang tepat k muka dalam n pelancaran sebagai C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).

Wolfram MathWorld menyifatkan pautan Bernoulli-kepada-binomial ini sebagai asas kebarangkalian diskret. Oleh itu, kalkulator memisahkan persampelan sebenar daripada matematik tepat, supaya anda boleh membandingkan hasil yang diperhatikan dengan jangkaan teoretikal.

Pada satu lambungan tunggal syiling adil, kebarangkalian muka adalah 50% dan kebarangkalian ekor adalah 50%, peluang 1-kepada-1 yang sama rata. Ini adalah sifat penentu bagi cubaan Bernoulli yang adil, di mana kedua-dua hasil adalah sama berkemungkinan dan saling eksklusif.

Setiap lambungan juga bebas, bermakna muka sebelumnya tidak mengubah kebarangkalian lambungan seterusnya.

Menurut kajian Stanford oleh Diaconis, Holmes dan Montgomery, syiling yang dilambung secara fizikal membawa sedikit bias ke arah sisi yang bermula menghadap ke atas, sekitar 0.51 berbanding 0.50. Untuk hampir setiap tujuan praktikal atau pendidikan, menganggap satu lambungan sebagai 50/50 yang bersih adalah tepat.

Untuk mengira kebarangkalian tepat N muka dalam M pelancaran, gunakan formula binomial P(X = N) = C(M, N) × p^N × (1-p)^(M-N).

Pertama, cari pekali binomial C(M, N) = M! / (N! × (M-N)!), yang mengira susunan berbeza bagi N muka di kalangan M pelancaran. Kemudian darabkan dengan p dkuasakan kepada N dan (1-p) dkuasakan kepada baki pelancaran.

Bagi syiling adil yang dilambung 10 kali, tepat 5 muka ialah C(10, 5) × 0.5^10 = 252 / 1024 ≈ 24.61%. Wolfram MathWorld menganggap ini sebagai contoh binomial kanun. Mod kebarangkalian kalkulator melaksanakan pengiraan faktorial ini dengan tepat, mengelakkan ralat pembundaran yang biasa berlaku dalam kerja manual.

Kebarangkalian kumulatif menjawab soalan seperti 'sekurang-kurangnya N kepala' atau 'selebih-lebihnya N kepala' dengan menjumlahkan beberapa sebutan binomial tepat berbanding melaporkan satu nilai tunggal.

Kebarangkalian selebih-lebihnya N kepala menambah P(X = 0) hingga P(X = N), manakala sekurang-kurangnya N kepala menambah P(X = N) hingga P(X = M). Hasil tambah kumulatif ini membina fungsi taburan kumulatif taburan binomial, yang digunakan oleh Wolfram MathWorld dan teks statistik standard untuk menerbitkan kebarangkalian ekor.

Sebagai contoh, sekurang-kurangnya 60 kepala daripada 100 lantunan saksama adalah kira-kira 2.8%, memandangkan 60 terletak dua sisihan piawai di atas purata 50. Kalkulator ini mengira ketiga-tiga pandangan — tepat, selebih-lebihnya, dan sekurang-kurangnya — supaya anda boleh merangka soalan dalam mana-mana cara.

Hukum nombor besar menyatakan bahawa apabila bilangan lantunan bertambah, nisbah kepala yang diperhatikan menumpu ke arah kebarangkalian sebenar, biasanya 50% untuk duit syiling yang saksama.

Ia tidak berjanji bahawa kepala dan ekor akan seimbang dalam jangka masa pendek; siri 10 lantunan boleh mendarat 7-3 dengan mudah, tetapi siri 10,000 lantunan hampir selalu berada dalam lingkungan kira-kira satu peratus daripada 50%. Encyclopaedia Britannica menyifatkan ini sebagai teorem asas kebarangkalian, berbeza daripada 'kekeliruan perjudian' bahawa hasil yang sepatutnya mesti muncul.

Mod simulator menjadikan kesan itu kelihatan: lantun beberapa dozen kali untuk melihat ayunan liar, kemudian lantun beribu-ribu kali untuk melihat peratusan itu stabil.

Kalkulator lantunan duit syiling berfungsi untuk beberapa tujuan praktikal selain daripada menyelesaikan pertikaian biasa.

• Guru menggunakan mod simulator untuk menunjukkan hukum nombor besar, varians persampelan, dan bentuk taburan binomial tanpa duit syiling fizikal.
• Pelajar menggunakan mod kebarangkalian untuk menyemak jawapan kerja rumah dengan nilai yang tepat dan bebas hingar.
• Penyelidik dan penganalisis meminjam matematik binomial yang sama untuk intuisi ujian A/B, memandangkan belahan 50/50 adalah garis asas hipotesis nol dalam banyak eksperimen.
• Pereka permainan dan hobi menggunakannya untuk pengacakan saksama atau untuk memodelkan duit syiling yang berat sebelah.

Oleh kerana setiap lantunan adalah bebas, alat ini juga merupakan pengenalan yang kemas kepada pemikiran Monte Carlo, di mana percubaan rawak berulang menghampiri kebarangkalian teoretikal.

Peluncur pincang menetapkan kebarangkalian kepala p dari 0 hingga 1, membolehkan anda menyimulasikan duit syiling yang berat sebelah berbanding yang saksama.

Nilai 0.6 melantunkan kepala kira-kira 60% daripada masa secara purata, manakala 0.4 menyebelahi ekor; titik penamat 0 dan 1 memaksa sentiasa ekor atau sentiasa kepala. Kedua-dua mod simulator dan kebarangkalian menghormati nilai ini, jadi formula binomial menggunakan p pilihan anda dalam P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).

Duit syiling fizikal sebenar jarang menunjukkan pincang melebihi kira-kira 0.51, seperti yang didokumentasikan oleh kajian Stanford Diaconis, jadi nilai p yang besar adalah paling baik dianggap sebagai senario pengajaran atau 'apa jikalau' berbanding model duit syiling biasa.

Siri panjang berasa mencurigakan tetapi merupakan ciri normal lantunan rawak, bukan bukti duit syiling yang dicurangi.

Dalam urutan lantunan saksama, larian jangkaan terpanjang berkembang secara kasar dengan logaritma asas-2 bagi bilangan lantunan, jadi dalam 100 lantunan, larian terpanjang sebelah pihak puratanya sekitar enam atau tujuh berturut-turut. Ini bermakna siri berbilang lantunan kerap muncul merentas sesi, dan menganggapnya sebagai isyarat untuk pertaruhan pada arah bertentangan ialah kekeliruan perjudian yang diberi amaran oleh Encyclopaedia Britannica.

Oleh kerana setiap lantunan adalah bebas, siri kepala tidak pernah meningkatkan peluang lantunan seterusnya menjadi ekor. Untuk membezakan pincang tulen daripada kebetulan, bandingkan jumlah dengan jangkaan taburan berbanding banyak lantunan daripada bertindak balas terhadap larian pendek.

• Kesilapan paling kerap ialah kekeliruan perjudian — mempercayai bahawa selepas beberapa kepala, ekor sudah 'pasti tiba'. Setiap lantunan adalah bebas, jadi peluang kekal 50/50 tanpa menghiraukan sejarah.
• Ralat kedua ialah menjangkakan belahan 50/50 yang tepat dalam sampel kecil; walaupun 10 lantunan mendarat tepat 5 kepala hanya kira-kira 24.6% daripada masa.
• Ketiga ialah mengelirukan 'tepat N kepala' dengan 'sekurang-kurangnya N kepala', yang merupakan kuantiti kumulatif yang sangat berbeza.
• Orang ramai juga terlalu membaca siri pendek sebagai bukti duit syiling yang berat sebelah, sedangkan siri memang dijangka berlaku.
• Akhir sekali, menggunakan sampel kecil untuk menilai kesaksamaan adalah tidak boleh diharap: Encyclopaedia Britannica menyatakan bahawa hanya bilangan percubaan yang besar mendedahkan kebarangkalian sebenar, jadi lakukan banyak lantunan sebelum membuat kesimpulan bahawa duit syiling itu berat sebelah.